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第二十八章 锐角三角函数应用举例
典例体系（本专题共60题61页）
考点1：与仰角、俯角有关的应用问题
典例：（2020·吉林东北师大附中月考）东北师大附中为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图为该测温门截面示意图，已知测温门顶部距地面高，为了解自己的有效测温区间，身高的小明做了如下实验：当他在地面处时， 测温门开始显示额头温度， 此时测得的仰角；在地面处时， 测温门停止显示额头温度， 此时测得的仰角求小明在地面的有效测温区间的长度．（额头到地面的距离以身高计算，结果精确到米）（参考数据：，，，，）
【答案】长度为解：延长BC交AD于点E，
，小明身高为，
故，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
即，，
∴，，
∴，，
∴，
易得四边形BCMN是矩形，
∴，
故长度为．
方法或规律点拨
本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意构造直角三角形是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机在点A处测得前方海面的点F处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），此时的俯角为30°．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800m到达B点，此时测得点F的俯角为45°．请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A，B，C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.7）
【答案】1046米解：∵∠BCF＝90°，∠FBC＝45°，
∴BC＝CF，
∵∠CAF＝30°，
∴tan 30°＝＝＝＝，
解得：CF＝≈1046（m）．
答：竖直高度CF约为1046米．
2．（2020·河南初三一模）五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征.某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆高度的活动.如图，他们在地面处竖直放置标杆，并在地面上水平放置一个平面镜，使得，，在同一水平线上.该小组在标杆的处通过平面镜恰好观测到旗杆顶点（此时），在处分别测得旗杆顶点的仰角为、平面镜的俯角为，米，问旗杆的高度约为多少米？（结果保留整数）
（参考数据：，，）
【答案】旗杆的高度约为14米．
解：过点作于，则，
设米，则米，
∴，
在中
∴
即
∴
即：米
答：旗杆的高度约为14米．
3．（2020·河南初三一模）第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会．其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为30°，此时，两人的水平距离EC为38m．已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．(结果保留整数．参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73)
【答案】钟楼AB的高度约为56m．
【详解】解：如图，过D作DF⊥AB于F，
则BF＝ED＝10，DF＝BE，
设AB＝x，则AF＝x﹣10，
在Rt△AFD中，∠ADF＝30°，
∴DF＝，
∴CB＝BE﹣EC＝DF﹣EC＝（x﹣10）﹣38，
在Rt△ACB中，∠ACB＝53°，tan53°＝，
∴，解得：x≈56，
答：钟楼AB的高度约为56m．
4．如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高.
【答案】AB=7米．
【详解】解：在Rt△ABD中，
∵∠ADB=45°，
∴BD=AB．
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=30°，
∴BC=AB．
设AB=x（米），
∵CD=14，
∴BC=x+14．
∴x+14=x
∴x=7
即铁塔AB的高为7米．
5．（2021·深圳实验学校中学部初三月考）在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为20m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
【答案】()米．
【详解】解：，
，
在中，
，
，
在中，
，，
，
则．
即．
．
由题意知：
答：塑像的高为．
6．极具特色的“八卦楼”(又称“威镇阁”)是漳州的标志性建筑，它建立在一座平台上．为了测量“八卦楼”的高度AB，小华在D处用高1.1米的测角仪CD，测得楼的顶端A的仰角为22o；再向前走63米到达F处，又测得楼的顶端A的仰角为39o(如图是他设计的平面示意图)．已知平台的高度BH约为13米，请你求出“八卦楼”的高度约多少米
(参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin39°≈ ，tan39°≈ )
【答案】38.5米
【解析】解：在Rt△ACG中，tan22°=，∴CG=AG．
在Rt△ACG中tan39°=，∴EG=AG．
∵CG－EG=CE．∴AG－AG=63．∴AG=50.4．
∵GH=CD=1.1，BH=13，∴BG=13－1.1=11.9．
∴AB=AG－BG=50.4－11.9=38.5（米）．
答：“八卦楼”的高度约为38.5米．
7．（2020·河南初三其他）如图，宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB，某人从C点测得吊灯顶端A的仰角为，吊灯底端B的仰角为，从C点沿水平方向前进6米到达点D，测得吊灯底端B的仰角为．请根据以上数据求出吊灯AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，≈1.73）
【答案】吊灯AB的长度约为1.1米．
【详解】解：延长CD交AB的延长线于点E，则∠AEC＝90°，
∵∠BDE＝60°，∠DCB＝30°，
∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DCB＝∠CBD，
∴BD＝CD＝6（米）
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，
∴BE＝BD sin∠BDE═6×sin60°＝3≈5.19（米），
DE＝BD＝3（米），
在Rt△AEC中，tan∠ACE＝，
∴AE＝CE tan∠ACE＝（6+3）×tan35°≈9×0.70＝6.30（米），
∴AB＝AE﹣BE≈6.30﹣5.19≈1.1（米），
∴吊灯AB的长度约为1.1米．
8．如图，为探测某座山的高度AB，某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31°，此时飞机的飞行高度为CH=4千米；保持飞行高度与方向不变，继续向前飞行2千米到达D处，测得山顶A处的俯角为50°．求此山的高度AB．（参考数据：tan31°≈0.6，tan50°≈1.2）
【答案】山的高度AB约为1.6千米
【解析】解：由题意知CH=BE=4千米．设AE=x千米．
Rt△ADE中，∵∠ADE =50°， ∴，∴．
Rt△ACE中，∵∠ACE =31°，∴，即．解得：x=2.4．
∴ AB=BE-AE=4-2.4=1.6（米）．
答：山的高度AB约为1.6千米．
点睛：本题主要考查了仰角俯角的计算，正确理解图形中的两个直角三角形之间的联系是解题的关键．
9．如图，是一辆吊车的示意图，小明站在距吊车底部点B为10米的A处看到吊车的起重臂顶端P处的仰角a为45°，已知吊车的起重臂底端C处与地面的距离（线段BC的长）为3．2米，起重
臂CP与水平方向的夹角β为53．1°，小明的眼睛D处距地面为1．6米，求吊车的起重臂CP的长度和点P到地面的距离．（参考数据：sin53．1°=0．8，cos53．1°=0．6, tan53．1°≈）
【答案】吊车的起重臂CP的长度为6米，点P到地面的距离为8米．
【分析】解：过点P作PE⊥AB于E，分别过点C和点D作CM⊥PE于M，作DN⊥PE于点N，如图所示，
则ME=BC=3.2m，EN=AD=1.6m，
因此MN=ME-EN=3.2-1.6=1.6（m）．
设PM=x米，则PN=PM+MN=x+1.6（米）,
在Rt△PCM中，CM==．
在Rt△PND中，ND==．
因为CM+ND=BE+EA=BA=10（米），所以,
解得，x=4．8．因此PM=4．8米．所以，在Rt△PCM中，PC==（米）．
PE=PM+ME=4．8+3．2=8（米）．
答：吊车的起重臂CP的长度为6米，点P到地面的距离为8米．
10．（2020·陕西交大附中分校初三其他）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73）
【答案】炎帝塑像DE的高度约为64m．
【详解】解：设DE=xm，则DC=(x+54)m，
在Rt△DCB中，tan∠DBC=，
∴BC===(x+54)，
在Rt△ECA中，tanA=，
∴AC=≈=90，
由题意得，90﹣(x+54)=22，
解得，x≈64，
答：炎帝塑像DE的高度约为64m．
考点2：与坡角、坡度有关的应用问题
典例：（2020·江苏宿迁·初三二模）如图，是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端出发，先沿水平方向向右行走米到达点再经过段坡度(或坡比)为坡长为米的斜坡到达点然后再沿水平方向向右行走米到达点均在同一平面内)．在处测得建筑物顶端的仰角为求建筑物的高度． (参考数据：，)
【答案】建筑物AB的高度约为21.7米
【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．
在Rt△CDN中，
∵，设CN＝4k，DN＝3k，
∴CD＝10，
∴(3k)2＋(4k)2＝100，
∴k＝2，
∴CN＝8，DN＝6，
∵四边形BMNC是矩形，
∴BM＝CN＝8，BC＝MN＝20，EM＝MN＋DN＋DE＝66，
在Rt△AEM中，tan24°＝，
∴，
∴AB＝21．7
答：建筑物AB的高度约为21．7米．
方法或规律点拨
本题考查动点问题，涉及矩形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是用时间t根据题意表示出对应的线段长，然后利用相似三角形对应边成比例列式求出t的值．
巩固练习
1．如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB//DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度．小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．
（参考数值：，，）
【答案】13
【详解】解：
如图设AB为x，
已知坡度．即，
可得EM＝5，DM＝12.
已知∠AEB＝45°，则AB＝EB＝MN＝x°，
即tan31°＝＝0.6,
解得x＝13.
故铁塔高度为13.
2．（2020·河南东方二中初三期中）如图，在坡角为28°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为10米，落在广告牌上的影子CD的长为6米，求铁塔AB的高．（AB、CD均与水平面垂直，结果保留一位小数，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88）
【答案】铁塔AB的高为10.1m
【详解】解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，
在Rt△BFD中，
∵∠DBF=28°，BD=10，
∴DF=BD×sin∠DBF≈10×0.47=4.7，
BF=BD×cos∠DBF≈10×0.88=8.8，
∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，
∴四边形BFCE为矩形，
∴BF=CE=8.8，CF=BE=CD﹣DF=1.3，
在Rt△ACE中，∠ACE=45°，
∴AE=CE=8.8，
∴AB=8.8+1.3=10.1．
答：铁塔AB的高为10.1m．
3．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．求大树BC的高度约为多少米？（≈1.732，结果精确到0.1）
【答案】约为15.3米
【详解】解：作DH⊥AE于点H，作DG⊥BC于点G，如图，
则四边形DGCH为矩形，
在Rt△ADH中，
∵，
∴AH＝2DH，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴．
∴DH＝CG＝3m，
∴AH＝2DH＝6m，
设BC＝xm，则BG＝（x﹣3）m，
在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝xm，
∴CH＝DG＝（x+6）m，
在Rt△BDG中，∠BDG＝30°，
∵tan30°＝，
∴，
解得，x＝≈15.3．
答：大树BC的高度约为15.3米．
4．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度，AB=10米，AE=21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈，cos53°≈0.60）
【答案】
【详解】解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，
Rt△ABH中，i=tan∠BAH==，
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB=5米；
∴AH=5米，
∴BG=HE=AH+AE=（5+21）米，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=（5+21）米．
Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=21米，
∴DE=AE=28米，
∴CD=CG+GE﹣DE=26+5﹣28=（5﹣2）m.
答：宣传牌CD高为（）米．
5．某校有一露天舞台,纵断面如图所示,AC垂直于地面,AB表示楼梯,AE为舞台面,楼梯的坡角∠ABC=45°,坡长AB=2m,为保障安全,学校决定对该楼梯进行改造,降低坡度,拟修新楼梯AD,使∠ADC=30°
(1)求舞台的高AC(结果保留根号)
(2)楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处的文化墙PM是否要拆除 请说明理由.
【答案】（1）m；（2）不需拆除文化墙PM，理由见解析.
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=45°,坡长AB=2m,
∴AC=AB·sin∠ABC=m
答：舞台的高AC为m；
（2）不需拆除文化墙PM，理由如下，
由题意可知：CM=3m
在Rt△ADC中，∠ADC=30°，AC=m
∴DC=m
∵m＜3m
∴DC＜CM
∴不需拆除文化墙PM.
6．如图，梯形ABCD是某水库大坝的横断面，其坝顶宽5米，坝底宽33米，坝的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，求：水坝横截面的面积．
【答案】水坝横截面的面积为152平方米
【详解】∵i1=1:2,背水坡的坡度i2=2:3
设AE=DF=2x米，则BE=4x米，CF=3x米
∵AD=5米
∴EF=5米
∵BC=33米
∴AE=8米
∴水坝横截面的面积为平方米．
7．一个长方体箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3ｍ，已知木箱高BE=，斜面坡角为300，求木箱端点E距地面AC的高度．
【答案】木箱端点E距地面AC的高度是3ｍ．
【详解】解：连接AE，在Rt△ABE中，已知AB=3ｍ，BE=，
∴根据勾股定理得．
又∵，∴．
在Rt△AEF中，，
∴．
答：木箱端点E距地面AC的高度是3ｍ．
8．如图，AB是垂直于水平面的一座大楼，离大楼20米（BC＝20米）远的地方有一段斜坡CD（坡度为1：0.75），且坡长CD＝10米，某日下午一个时刻，在太阳光照射下，大楼的影子落在了水平面BC，斜坡CD，以及坡顶上的水平面DE处（A、B、C、D、E均在同一个平面内）．若DE＝4米，且此时太阳光与水平面所夹锐角为24°（∠AED＝24°），试求出大楼AB的高．（其中，sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
【答案】21.5米．
【详解】解：延长ED交AB于G，作DH⊥BF于H，
∵DE∥BF，
∴四边形 DHBG是矩形，
∴DG＝BH，DH＝BG，
∵＝，CD＝10，
∴DH＝8，CH＝6，
∴GE＝20+4+6＝30，
∵tan24°＝＝0.45，
∴AG＝13.5，
∴AB＝AG+BG＝13.5+8＝21.5．
答：大楼AB的高为21.5米．
9．（2019·四川初三其他）如图，一勘测人员从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他的垂直高度上升了米；然后再从点处沿坡角为的坡面以米/分钟的速度到达山顶点时，用了分钟．
（1）求点到点之间的水平距离；
（2）求山顶点处的垂直高度是多少米？(结果保留整数)
【答案】（1）点与点间的水平距离为米；（2）山顶点处的垂直高度约为米．
【详解】解：（1）过点作于点，则为点与点的水平距离，
∵的坡度是，
∴，
∵DF＝15米，
∴BF＝45米，即点与点间的水平距离为米；
（2）在中，(米)，
(米)，
(米)，
答：点与点间的水平距离为米，山顶点处的垂直高度约为米．
10．郑东新区是中国河南省郑州市规划建设中的一个城市新区，在2019年春节期间，小明一家人前去观看郑东新区“大玉米”灯光秀．小明想利用刚学过的知识测量大屏幕“新”字的高度：如图，小明先在如意湖湖边A处，测得“新”字底端D的仰角为58°，再沿着坡面AB向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为45°，坡面AB的坡度，AB＝50m，AE＝75m（假设A、B、C、D、E在同一平面内）．
（1）求点B到水平面的距离BF；
（2）求“新”字的高度CD．（结果精确到0.1m，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，，）
【答案】（1）BF=25；（2）“新”字的高度CD约为23.5米．
【详解】解：作BH⊥CE于H，
∵坡面AB的坡度，
∴tan∠BAF＝，
∴∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝25；
（2）由勾股定理得，AF＝，
在Rt△DAE中，tan∠DAE＝，
则DE＝AE tan∠DAE≈75，
∴BH＝FE＝25+75，
∵∠CBH＝45°，
∴CH＝BH＝25+75，
∴CD＝CH+HE﹣DE＝25+75+25﹣120＝25﹣20＝23.25≈≈23.5（米）
答：“新”字的高度CD约为23.5米．
11．（2020·大庆市第五十七中学月考）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=20m，汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的长度．（结果精确到1m，参考数据：）
【答案】AF的长度约15 米．
【详解】解：在Rt△ABE 中，∠BEA=90°，∠BAE=45°，BE=20m. ∴AE=20m
在Rt△BEF 中,∠BEF=90°，∠F=30 °，BE=20m
∴AF=EF-AE=
答：AF的长度约15 米．
考点3：与方位角有关应用问题
典例：（2020·辽宁二模）如图，在一条笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘小船从处沿北偏西方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达处，从处测得小船在它的北偏东的方向上．
（1）求的距离；
（2）小船沿射线的方向继续航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求点与点之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）
【答案】（1）海里；（2）海里．
【详解】解：（1）如图，过点作于点，
在中，，，
∵，
∴
在中，，，
∴．
∴海里
（2）如图，过点作于点，
在中，，，
∴
在中，．
在中，，，
∴海里．
∴点与点之间的距离为海里．
法或规律点拨
本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含30°角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键．
巩固练习
1．（2020·海南海口·初三三模）如图，小岛A在港口P的南偏西45方向，距离港口81海里处，甲船从A出发，沿AP方向以9海里时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以18海里时的速度驶离港口，现两船同时出发，求出发后几小时乙舶在甲船的正东方向（结果精确到0.1小时）（参考数据：＝1.414，≈1.72）
【答案】出发后约3.7小时乙船在甲船的正东方向．
【详解】
解：设出发后x小时乙船在甲船的正东方向，如图所示，此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处．连接CD，过点P作PE⊥CD，垂足为E．则点E在点P的正南方向．
由题可知，PC＝81﹣9x，PD＝18x．
∵在Rt△CEP中，∠CPE＝45°，
∴PE＝PC cos45°．
∵在Rt△PED中，∠EPD＝60°，
∴PE＝PD cos60°．
∴PC cos45°＝PD cos60°．
∴（81﹣9x）cos45°＝18x cos60°．
解得x＝9（﹣1）≈9×0.41≈3.7．
答：出发后约3.7小时乙船在甲船的正东方向．
2．（2020·宁波市惠贞书院初二期末）如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点处测得小岛在北偏东方向，之后轮船继续向正东方向行驶到达处，这时小岛在船的北偏东方向海里处．
（1）求轮船从处到处的航速．
（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？
【答案】（1）海里/小时．（2）小时．
【详解】
（1）过作，
由题意得海里，，，
（海里），
（海里），
（海里），
（海里），
速度：（海里/小时）．
（2）如图，
由题意，，点在的东南方向，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴（海里），
（海里），
（小时），
经过小时后到达．
3．（2020·福建初二月考）如图，早上8：00，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？
【答案】轮船继续向前航行，有触礁的危险
【详解】解：过点作于，依题意得（海里），
，，则，
∴∴（海里）．
在Rt △PBD中，由∠PBD=30゜，
∴（海里）（海里），
∴轮船继续向前航行，有触礁的危险．
4．（2019·郑州市第六十三中学初三三模）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）参考数据：（sin67°≈；cos67°≈；tan67°≈；≈1.73）
【答案】地到地之间高铁线路的长约为．
【详解】解：如解图，过点作于点，
∵地位于地北偏东方向，距离地，
∴，
∴，
．
∵地位于地南偏东方向，
∴，
∴，
∴．
答：地到地之间高铁线路的长约为．
5．（2020·江苏连云港·二模）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得，，求出点D到AB的距离．
（参考数据，，）
【答案】214m.
【详解】解：如图，过点D作于E，过D作于F，则四边形EBFD是矩形，
设，
在Rt△ADE中，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
在Rt△CDF中，，，
∴，
又，
即：，
解得：，
故：点D到AB的距离是214m．
6．（2020·河南初三二模）如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：，，）
【答案】有危险；渔船自B处开始，沿南偏东小于45度的方向航行，能够安全通过这一海域．
【详解】解：如图，过点P作PC垂直于AB所在直线，垂足为C，
根据题意可得，，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∵，
∴如果渔船不改变航向有触礁的危险，
∵，
∴若改变航向，刚好到暗礁区域边界时的，
此时，
即如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东小于45度的方向航行，能够安全通过这一海域．
7．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．
（1）求景点B与C的距离；
（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
【答案】（1）10km；（2）km.
【详解】（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，
∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，
∴∠CAB=∠C=30°，
∴BC=AB=10km，
即景点B、C相距的路程为10km；
（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，
∵BC=10km，C位于B的北偏东30°的方向上，
∴∠CBE=60°，
在Rt△CBE中，CE=BC=5km．
8．如图，一艘渔船正以海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？
【答案】（1）小岛C到航线AB的距离为16海里；（2）这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能；渔船进去危险区，那么经过分钟可穿过危险区．
【详解】（1）作CD⊥AB交AB于点D，如图1所示
由题意可知：∠CAB＝90°-60°＝30°，∠CBD＝90°-30°＝60°
∴∠ACB＝∠CBD-∠CAB＝30°
∴∠CAB＝∠ACB
∵∴AB＝CB＝＝
在Rt△CBD中
∴小岛C到航线AB的距离为16海里；
（2）∵CD＝16＜20
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能
设M为开始进入危险区的位置，N为离开危险区的位置，如图2所示：
即CM＝CN＝20
∵CD⊥AB
∴DM＝DN
在Rt△CMD中
DM＝
∴MN＝2DM＝24
∴可穿过危险区的时间为：小时
即分钟
∴渔船进去危险区，那么经过分钟可穿过危险区．
9．（2020·河南初三二模）2019年12月17日，经中央军委批准，中国第一艘国产航母命名为“中国人民解放军海军山东舰”，在海南三亚某军港交付海军．如图，现测得“山东舰”上午9时在市的南偏西25°方向，在市的南偏西55°方向，此时，“山东舰”沿着方向以的速度航行．已知市在市的北偏西72°方向，且，两市之间的距离为，请问“山东舰”大约几点钟到达市？（结果保留整数．参考数据：，，，）
【答案】“山东舰”大约下午14时到达市．
【详解】解：过点作于点，如解图所示：
由题意，可知，，，
∵在中，，
∴，
，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：“山东舰”大约下午14时到达市．
考点4：生活中物品的测量问题
典例：（2020·河南郑州外国语中学初三月考）如图是小米洗漱时的侧面示意图．洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小米身高160cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．
（1）此时小米头部E点与地面DK相距多少？
（2）若小米的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，她应向前或向后移动多少厘米？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.18，≈1.41，结果精确到0.1）
【答案】（1）140.3cm；（2）14.7cm
【详解】解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．
∵EF+FG＝160，FG＝100，
∴EF＝60，
∵∠FGK＝80°，
∴FN＝100 sin80°≈98
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，
∴FM＝60 cos45°＝30≈42．3，
∴MN＝FN+FM≈140．3，
∴此时小米头部E点与地面DK相距约为140.3cm．
（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．
∵AB＝48，O为AB中点，
∴AO＝BO＝24，
∵EM＝60 sin45°≈42．3，
∴PH≈42．3，
∵GN＝100 cos80°≈18，CG＝15，
∴OH＝24+15+18＝57，OP＝OH﹣PH＝57﹣42．3＝14．7，
∴他应向前14.7cm．
方法或规律点拨
本题考查解直角三角形的应用，解提的关键是将题目抽象为数学问题，作辅助线构造出直角三角形．
1．（2020·全国初三其他）如今，不少人购买家具时追求简约大气的风格，图（1）是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意选择，图（2）为其侧面示意图，其中为镜面，为放置物品的收纳架，、为等长的支架，为水平地面，且，，，，如图（3）将镜面顺时针旋转，求此时收纳镜顶部端点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，）
【答案】端点到地面的距离约为
解：如图（3），
过点作于点，过点作于点，
∵，，
∴，
过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
如图（2）中∵，
∴，
∴，
∵表示端点到地面的距离，
∴．
答：端点到地面的距离约为．
2．2019年2月24日，华为发布旗下最新款折叠屏手机MateX，如图是这款手机的示意图，当两块折叠屏的夹角为30°时（即∠ABC＝30°），测得AC之间的距离为40mm，此时∠CAB＝45°．求这款手机完全折叠后的宽度AB长是多少？（结果保留整数，参考数据：）
【答案】77.27（mm）
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝40mm，∠A＝45°，
，
∵∠B＝30°，
∴BC＝2CD＝40（mm），
∴由勾股定理可知：BD＝20（mm），
∴AB＝AD+BD
＝20+20
≈77.27（mm），
3．如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=1.5米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=60°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD=1.3米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=45°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.01米参考数据：≈1.73，≈1.41）
【答案】3.05米
【详解】解：如图：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=，
∴AB=BC tan60°=1.5×1.73=2.595，
∴GM=AB=2.595，
在Rt△AGF中，∵∠FAG=∠FHE=45°，sin∠FAG=，
∴sin45°=，
∴FG=1.76，
∴DM=FG+GM﹣DF≈3.05米．
答：篮框D到地面的距离是3.05米．
4．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长，拉杆的伸长距离最大时可达，点、、在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒，与水平地面切于点，在拉杆伸长至最大的情况下，当点距离水平地面时，点到水平面的距离为，设AF∥MN．
（1）求的半径长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在端拉旅行箱时，为，，求此时拉杆的伸长距离．（精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）圆形滚轮的半径的长是；（2）拉杆BC的伸长距离为．
【详解】
（1）作于点，交于点.
则，.
设圆形滚轮的半径的长是.
则，即，
解得：.
则圆形滚轮的半径的长是；
（2）在中，.
则
∴AC==80(cm)
∴.
5．寒假在家学习网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，此时感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，使电脑变化至位置（如图3），侧面示意图为图4，已知，于点C，．
（1）求的度数；
（2）显示屏的顶部比原来升高了多少．（结果保留到，参考数据：取1.73）
【答案】（1）；（2）15.2cm
【详解】解:（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，
∴，
∴∠CAO′=30°；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，
∵，
∴BD=OB·sin∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOD=60°，
∴BD=OB·sin∠BOD=24×，
∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，
∴∠AO′C=60°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠AO′B′＋∠AO′C=180°，
∴O′B′＋O′C-BD=24＋12-≈15.2．
∴显示屏的顶部B′比原来升高了约15.2cm．
6．图1是放置在水平面上的可折叠式台灯；图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂BC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠ABC＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为23°时，台灯光线效果最佳．问：此时点D处到桌面的距离是多少？（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42，取1.73）．
【答案】46.3cm
【详解】解：过D作DH⊥AB于H，过C作CE⊥AB于E，作CF⊥DH于点F，
则HF＝CE＝BC sin60°＝40×＝20≈34.6（cm），
DF＝CD sin∠DCF＝30sin23°≈11.7（cm），
∴DH＝DF+FH＝34.6+11.7＝46.3（cm），
答：点D处到桌面的距离是46.3cm．
7．摇椅是老年人很好的休闲工具，右图是一张摇椅放在客厅的侧面示意图，摇椅静止时，以O为圆心OA为半径的的中点P着地，地面NP与相切，已知∠AOB=60°，半径OA=60cm，靠背CD与OA的夹角∠ACD=127°，C为OA的中点，CD=80cm，当摇椅沿滚动至点A着地时是摇椅向后的最大安全角度．
（1）静止时靠背CD的最高点D离地面多高？
（2）静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是多少时？才能使摇椅向后至最大安全角度时点D不与墙壁MN相碰．
（精确到1cm，参考数据π取3.14，sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75，sin67°=0.92，cos67°=0.39，tan67°=2.36，=1.41，=1.73）
【答案】（1）244cm（2）静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是96cm时，才能使摇椅向后至最大安全角度时点D不与墙壁MN相碰
【解析】解：（1）如图，作CJ∥PN交OP于J，DH⊥CJ于H．
在 中，
在 中，
∴静止时靠背CD的最高点D离地面的高为210.4+34.0≈244（cm）．
（2）如图．当时，作于H．
在中，
∴静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是96cm时，才能使摇椅向后至最大安全角度时点D不与墙壁MN相碰.
8．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长， AB与墙壁的夹角，喷出的水流BC与AB形成的夹角，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
（参考数据： ）．
【答案】安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．
【详解】过点B作于点G，延长EC、GB交于点F，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．
9．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（结果精确到0.1）
（1）如图2，，．
①填空：_________°；
②求投影探头的端点到桌面的距离．
（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为时，求的大小．（参考数据：，，，）
【答案】（1）①160°，②;(2) 当投影探头的端点到桌面的距离为时，为33.2°．
【详解】解：（1）①过点作，如图1，则，
，
，
，
，
故答案为160；
②过点作于点，如图2，
则，
投影探头的端点到桌面的距离为：；
（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，如图3，
则，，，，，
，
，
，
．
10．如图①所示的旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同，四边形为形如矩形的旅行箱一侧的示意图，为的中点，∥．现将放置在地面上的箱子打开，使箱盖的一端点靠在墙上，为墙角，图②为箱子打开后的示意图．箱子厚度，宽度．
（1）图②中，_________，当点与点重合时，的长为_________；
（2）若，求的长（结果取整数值，参考数据：，，）
【答案】（1）15，100；（2）
【详解】解：（1）15，100
（2）∵，，∠CDO=53°，∠ECD=90°
∴∠ECB=180°-90°-(90°-53°)=53°
∴，
∴
∴的长为．
11．如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边，可绕点开合，在边上有一固定点，支柱可绕点转动，边上有六个卡孔，其中离点最近的卡孔为，离点最远的卡孔为.当支柱端点放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康.现测得的长为，为，支柱为.
(1)当支柱的端点放在卡孔处时，求的度数；
(2)当支柱的端点放在卡孔处时，，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.(结果精确到十分位)
【答案】(1)；(2)相邻两个卡孔的间距为.
【详解】解：(1)如图1，作，垂足为点，
在中，根据勾股定理，.
同理，(，为同一点).
∵，，，
，
解得.
在中，
∴，
即.
(2)如图2，作，垂足为点，
在中，.
.
在中，，
∴.(，为同一点)
∴.
.
∴相邻两个卡孔的间距为.
考点5：锐角三角函数在几何问题中的应用
典例：（2020·保定市第三中学分校初三期末）如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动，当点不与点、重合时，过点作于点，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为．
（1）①的长为______；
②的长用含的代数式表示为______；
（2）当为矩形时，求的值；
（3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式．
【答案】（1）①25；②3t；（2）；（3）当0＜t≤时，S=-3t2+48t；当＜t＜3，S=t2 14t+96．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15．
∴AB==25．
∴sin∠CAB＝，
由题可知AP=5t，
∴PN=AP sin∠CAB=5t =3t．
故答案为：①25；②3t．
（2）当 PQMN为矩形时，∠NPQ=90°，
∵PN⊥AB，
∴PQ∥AB，
∴，
由题意可知AP=CQ=5t，CP=20-5t，
∴，
解得t=，
即当 PQMN为矩形时t=．
（3）当 PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，
Ⅰ．如解图（3）1所示． PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，
由（1）题可知：cosA=sinB=，cosB=，AP=5t，BQ=15-5t，PN=QM=3t．
∴AN=AP cosA=4t，BG=BQ cosB=9-3t，QG=BQ sinB=12-4t，
∵． PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，
∴0＜3t≤12-4t，
∴0＜t≤．
∴NG=25-4t-（9-3t）=16-t．
∴当0＜t≤时， PQMN与△ABC重叠部分图形为 PQMN，S与t之间的函数关系式为S=PN NG=3t （16-t）=-3t2+48t．
Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM， PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN时，
即：0＜12-4t＜3t，解得：＜t＜3，
PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN的面积S=NG(PN+QG)= (16 t)(3t+12 4t)= t2 14t+96．
综上所述：当0＜t≤时，S=-3t2+48t．
当＜t＜3，S=t2 14t+96．
方法或规律点拨
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．
巩固练习
1．（2021·深圳实验学校中学部初三月考）如图，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB//CD．
（1）求证：四边形ACDB为菱形；
（2）求四边形ACDB的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ACDB的面积为．
【详解】（1）证明：由已知得：，，
由已知尺规作图痕迹得：是的角平分线，
，
又，
，
，
，
又，，
，
四边形是菱形，
（2）解：设菱形的边长为，
四边形是菱形，
，
，，
，
即，
解得：，
过点作于点，
在中，， ，，
，
四边形的面积为：．
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若sin C＝，BC＝12，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC的面积为48.
【详解】(1)∵AD是BC上的高
∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵=，=
又已知
∴=．
∴AC=BD．
(2)在Rt△ADC中，，故可设AD=12k，AC=13k．
∴CD==5k．
∵BC=BD+CD，又AC=BD，
∴BC=13k+5k=18k
由已知BC=12， ∴18k=12．
∴k=．
∴AD=12k=12=8．
3．如图，在中，是边上的中线，分别过点，点作的平行线交于点，与交于点连接．
求证：四边形是菱形；
若，求的值．
【答案】（1）详见解析；（2）
【详解】（1）证明：，
四边形是平行四边形．
是边上的中线，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
（2）解：过点作于．
平行四边形
设
则
在中，；
．
，
，
，
是边上的中线，
，
在中，，
．
4．如图，在△ADC中，∠A＝30°，∠ACD＝90°，点B在AC上∠DBC＝45°，点E在BC的延长线上，且AB＝2，CE＝3，过E作EF⊥AE于E，交BD延长线于F．求EF的长．
【答案】EF＝＋4．
【详解】解：设BC＝x，
∵∠DBC＝45°，∠ACD＝90°，EF⊥AE，
∴EF＝BE，BC＝DC，
∴AC＝2＋x，
∵tanA＝，∠A＝30°，
∴，
∴2＋x＝x，
∴x＝＋1，即：BC＝＋1，
∵BE＝BC＋CE＝＋1＋3，EF＝BE，
∴EF＝＋4．
5．如图，在矩形ABCD中，E是AD上的一点，沿CE将△CDE对折，点D刚好落在AB边的点F上．
（1）求证：△AEF∽△BFC．
（2）若AB＝20cm，BC＝16cm，求tan∠DCE．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）∵在矩形ABCD中，沿CE将△CDE对折，点D刚好落在AB边的点F上
∴△CDE≌△CFE
∴∠EFC＝∠D＝90°
∴∠AFE+∠BFC＝90°
∵∠A＝90°
∴∠AEF+∠AFE＝90°
∴∠AEF＝∠BFC
又∵∠A＝∠B
∴△AEF∽△BFC；
（2）∵四边形ABCD为矩形，AB＝20cm，BC＝16cm
∴CD＝20cm，AD＝16cm
∵△CDE≌△CFE
∴CF＝CD＝20cm
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝12cm
∴AF＝AB﹣BF＝8cm
∵△AEF∽△BFC
∴
∴
∴AE＝6
∴DE＝AD-AE＝16-6＝10cm
∴在Rt△DCE中，tan∠DCE＝．
6．（2019·全国初三期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=
（1）试求的值；
（2）试求△BCD的面积.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）作 ，垂足为 ，
∵ ，
∴
在 中，
∴
（2）作,垂足为,
在中， ，令 , ，
则 ，
又在中，，
则 ，
于是 ，即 ，
解得 ，
∴.
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连结AE．
（1）如果∠B=25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE=2，，求的值．
【答案】（1）∠CAE=40°；（2）
【详解】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA = EB，
∴∠EAB=∠B=25°．
∴∠CAE=40°．
（2）∵∠C=90°，
∴．
∵CE=2，
∴AE=3．
∴AC=．
∵EA = EB=3，
∴BC=5．
∴，
∴．
8．（2020·湖南初三期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cos ∠ABE的值．
【答案】（1）5；（2）.
【解析】解：(1)在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，sinA＝，而BC＝8，
∴AB＝10.∵D是AB的中点，
∴CD＝AB＝5.
(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6.
∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC，
∴BE＝.
在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝ ＝，
即cos∠ABE的值为.
9．（2020·全国初三期末）如图， ABCD中，连接AC，AB⊥AC，tanB＝，E、F分别是BC，AD上的点，且CE＝AF，连接EF交AC与点G．
（1）求证：G为AC中点；
（2）若EF⊥BC，延长EF交BA的延长线于H，若FH＝4，求AG的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAG＝∠ECG，
在△AFG和△CEG中，
∵，
∴△AFG≌△CEG（AAS），
∴AG＝CG，
∴G为AC中点；
（2）解：∵EF⊥BC，AD∥BC，
∴AF⊥HF，∠HAF＝∠B，
∴∠AFH＝90°，
Rt△AFH中，tanB＝＝tan∠HAF＝＝，
∴＝，
∵FH＝4，
∴AF＝CE＝3，
Rt△CEG中，cos∠C＝＝，
∴，
∴AG＝CG＝．
10．（2020·内蒙古初三月考）在一次数学活动课上，数学老师在同一平面内将一副直角三角板如图位置摆放，点在的延长线上，，，，，，试求的长．
【答案】15-
【详解】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝AC·tan60°＝，
∵AB∥CF，
∴∠BCM＝∠ABC＝30°．
∴BM＝BC sin30°＝×＝，
CM＝BC cos30°＝×＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝，
∴CD＝CM MD＝15 ．
11．（2020·成都市棕北中学月考）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，，若不改变矩形的形状和大小．
（1）当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．当时，求点的坐标．
（2）如图2、3，长方形中，在轴上，且与重合．将矩形折叠，折痕的一个端点在边上，另一个端点在边上，且，顶点的对应点为，连接．
①如图2，当顶点的对应点落在边上时，求折痕的长．
②如图3，当顶点的对应点落在长方形内部，的纵坐标为6，求的长．
【答案】（1）；（2）①；②．
【详解】解：（1）过点作轴于点，在中，
，则，，
在中，，
点的坐标为
（2）①由折叠可知：，，
，
又
过点作轴于点，则四边形是矩形，
，在中
在中，，
故折痕的长为
②过点作交于点，
的纵坐标为6，
由折叠可知：，
在中，
，
故的坐标为，
连接 交于
由折叠可知：为中点，
的坐标为，
设直线的解析式为：，
把点，点代入得
解得：，
直线，
当时，，解得：，
点的坐标为，
．
12．如图，在中，，过点作的平行线交的平分线于点，过点作的平行线交于点，交于点，连接，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
∵四边形是菱形
∴，
，
，
，
，
四边形是菱形，，
，
，
．
13．（2019·浙江初三学业考试）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
（1）求∠ACD度数；
（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）
【答案】(1) 25°；（2）2.1.
【解析】解：（1）延长AC交ON于点E，如图，
∵AC⊥ON，
∴∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，
∵∠O=25°，
∴∠OCE=65°，
∴∠ACB=∠OCE=65°，
∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
在Rt△ABC中，∵cos∠ACB=，
∴BC=AC cos65°=5×0.42=2.1，
∴AD=BC=2.1．
14．如图①，在中，．将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，且．在旋转过程中，点可以恰好落在的中点处，如图②．
求的度数；
当点到的距离等于的一半时，求的度数．
【答案】(1)；(2)．
将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，
∴
∵点可以恰好落在的中点处，
∴点是的中点．
∵，
∴，
∴，
即是等边三角形．
∴．
∵，
∴；
如图，过点作于点，
点到的距离等于的一半，即．
在中，，，
∴，
∵，
∴．
∴，即．
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第二十八章 锐角三角函数应用举例
典例体系（本专题共60题61页）
考点1：与仰角、俯角有关的应用问题
典例：（2020·吉林东北师大附中月考）东北师大附中为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图为该测温门截面示意图，已知测温门顶部距地面高，为了解自己的有效测温区间，身高的小明做了如下实验：当他在地面处时， 测温门开始显示额头温度， 此时测得的仰角；在地面处时， 测温门停止显示额头温度， 此时测得的仰角求小明在地面的有效测温区间的长度．（额头到地面的距离以身高计算，结果精确到米）（参考数据：，，，，）
方法或规律点拨
本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意构造直角三角形是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机在点A处测得前方海面的点F处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止），此时的俯角为30°．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800m到达B点，此时测得点F的俯角为45°．请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A，B，C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.7）
2．（2020·河南初三一模）五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征.某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆高度的活动.如图，他们在地面处竖直放置标杆，并在地面上水平放置一个平面镜，使得，，在同一水平线上.该小组在标杆的处通过平面镜恰好观测到旗杆顶点（此时），在处分别测得旗杆顶点的仰角为、平面镜的俯角为，米，问旗杆的高度约为多少米？（结果保留整数）
（参考数据：，，）
3．（2020·河南初三一模）第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会．其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为30°，此时，两人的水平距离EC为38m．已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．(结果保留整数．参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73)
4．如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高.
5．（2021·深圳实验学校中学部初三月考）在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为20m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
6．极具特色的“八卦楼”(又称“威镇阁”)是漳州的标志性建筑，它建立在一座平台上．为了测量“八卦楼”的高度AB，小华在D处用高1.1米的测角仪CD，测得楼的顶端A的仰角为22o；再向前走63米到达F处，又测得楼的顶端A的仰角为39o(如图是他设计的平面示意图)．已知平台的高度BH约为13米，请你求出“八卦楼”的高度约多少米
(参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin39°≈ ，tan39°≈ )
7．（2020·河南初三其他）如图，宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB，某人从C点测得吊灯顶端A的仰角为，吊灯底端B的仰角为，从C点沿水平方向前进6米到达点D，测得吊灯底端B的仰角为．请根据以上数据求出吊灯AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，≈1.73）
8．如图，为探测某座山的高度AB，某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31°，此时飞机的飞行高度为CH=4千米；保持飞行高度与方向不变，继续向前飞行2千米到达D处，测得山顶A处的俯角为50°．求此山的高度AB．（参考数据：tan31°≈0.6，tan50°≈1.2）
点睛：本题主要考查了仰角俯角的计算，正确理解图形中的两个直角三角形之间的联系是解题的关键．
9．如图，是一辆吊车的示意图，小明站在距吊车底部点B为10米的A处看到吊车的起重臂顶端P处的仰角a为45°，已知吊车的起重臂底端C处与地面的距离（线段BC的长）为3．2米，起重
臂CP与水平方向的夹角β为53．1°，小明的眼睛D处距地面为1．6米，求吊车的起重臂CP的长度和点P到地面的距离．（参考数据：sin53．1°=0．8，cos53．1°=0．6, tan53．1°≈）
10．（2020·陕西交大附中分校初三其他）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73）
考点2：与坡角、坡度有关的应用问题
典例：（2020·江苏宿迁·初三二模）如图，是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端出发，先沿水平方向向右行走米到达点再经过段坡度(或坡比)为坡长为米的斜坡到达点然后再沿水平方向向右行走米到达点均在同一平面内)．在处测得建筑物顶端的仰角为求建筑物的高度． (参考数据：，)
方法或规律点拨
本题考查动点问题，涉及矩形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是用时间t根据题意表示出对应的线段长，然后利用相似三角形对应边成比例列式求出t的值．
巩固练习
1．如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB//DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度．小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．
（参考数值：，，）
2．（2020·河南东方二中初三期中）如图，在坡角为28°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为10米，落在广告牌上的影子CD的长为6米，求铁塔AB的高．（AB、CD均与水平面垂直，结果保留一位小数，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88）
3．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．求大树BC的高度约为多少米？（≈1.732，结果精确到0.1）
4．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度，AB=10米，AE=21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈，cos53°≈0.60）
5．某校有一露天舞台,纵断面如图所示,AC垂直于地面,AB表示楼梯,AE为舞台面,楼梯的坡角∠ABC=45°,坡长AB=2m,为保障安全,学校决定对该楼梯进行改造,降低坡度,拟修新楼梯AD,使∠ADC=30°
(1)求舞台的高AC(结果保留根号)
(2)楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处的文化墙PM是否要拆除 请说明理由.
6．如图，梯形ABCD是某水库大坝的横断面，其坝顶宽5米，坝底宽33米，坝的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，求：水坝横截面的面积．
7．一个长方体箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3ｍ，已知木箱高BE=，斜面坡角为300，求木箱端点E距地面AC的高度．
8．如图，AB是垂直于水平面的一座大楼，离大楼20米（BC＝20米）远的地方有一段斜坡CD（坡度为1：0.75），且坡长CD＝10米，某日下午一个时刻，在太阳光照射下，大楼的影子落在了水平面BC，斜坡CD，以及坡顶上的水平面DE处（A、B、C、D、E均在同一个平面内）．若DE＝4米，且此时太阳光与水平面所夹锐角为24°（∠AED＝24°），试求出大楼AB的高．（其中，sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
9．（2019·四川初三其他）如图，一勘测人员从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他的垂直高度上升了米；然后再从点处沿坡角为的坡面以米/分钟的速度到达山顶点时，用了分钟．
（1）求点到点之间的水平距离；
（2）求山顶点处的垂直高度是多少米？(结果保留整数)
10．郑东新区是中国河南省郑州市规划建设中的一个城市新区，在2019年春节期间，小明一家人前去观看郑东新区“大玉米”灯光秀．小明想利用刚学过的知识测量大屏幕“新”字的高度：如图，小明先在如意湖湖边A处，测得“新”字底端D的仰角为58°，再沿着坡面AB向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为45°，坡面AB的坡度，AB＝50m，AE＝75m（假设A、B、C、D、E在同一平面内）．
（1）求点B到水平面的距离BF；
（2）求“新”字的高度CD．（结果精确到0.1m，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，，）
11．（2020·大庆市第五十七中学月考）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=20m，汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的长度．（结果精确到1m，参考数据：）
考点3：与方位角有关应用问题
典例：（2020·辽宁二模）如图，在一条笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘小船从处沿北偏西方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达处，从处测得小船在它的北偏东的方向上．
（1）求的距离；
（2）小船沿射线的方向继续航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求点与点之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）
法或规律点拨
本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含30°角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键．
巩固练习
1．（2020·海南海口·初三三模）如图，小岛A在港口P的南偏西45方向，距离港口81海里处，甲船从A出发，沿AP方向以9海里时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以18海里时的速度驶离港口，现两船同时出发，求出发后几小时乙舶在甲船的正东方向（结果精确到0.1小时）（参考数据：＝1.414，≈1.72）
2．（2020·宁波市惠贞书院初二期末）如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点处测得小岛在北偏东方向，之后轮船继续向正东方向行驶到达处，这时小岛在船的北偏东方向海里处．
（1）求轮船从处到处的航速．
（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？
3．（2020·福建初二月考）如图，早上8：00，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？
4．（2019·郑州市第六十三中学初三三模）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）参考数据：（sin67°≈；cos67°≈；tan67°≈；≈1.73）
5．（2020·江苏连云港·二模）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得，，求出点D到AB的距离．
（参考数据，，）
6．（2020·河南初三二模）如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：，，）
7．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．
（1）求景点B与C的距离；
（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
8．如图，一艘渔船正以海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？
9．（2020·河南初三二模）2019年12月17日，经中央军委批准，中国第一艘国产航母命名为“中国人民解放军海军山东舰”，在海南三亚某军港交付海军．如图，现测得“山东舰”上午9时在市的南偏西25°方向，在市的南偏西55°方向，此时，“山东舰”沿着方向以的速度航行．已知市在市的北偏西72°方向，且，两市之间的距离为，请问“山东舰”大约几点钟到达市？（结果保留整数．参考数据：，，，）
考点4：生活中物品的测量问题
典例：（2020·河南郑州外国语中学初三月考）如图是小米洗漱时的侧面示意图．洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小米身高160cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．
（1）此时小米头部E点与地面DK相距多少？
（2）若小米的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，她应向前或向后移动多少厘米？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.18，≈1.41，结果精确到0.1）
方法或规律点拨
本题考查解直角三角形的应用，解提的关键是将题目抽象为数学问题，作辅助线构造出直角三角形．
1．（2020·全国初三其他）如今，不少人购买家具时追求简约大气的风格，图（1）是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意选择，图（2）为其侧面示意图，其中为镜面，为放置物品的收纳架，、为等长的支架，为水平地面，且，，，，如图（3）将镜面顺时针旋转，求此时收纳镜顶部端点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，）
2．2019年2月24日，华为发布旗下最新款折叠屏手机MateX，如图是这款手机的示意图，当两块折叠屏的夹角为30°时（即∠ABC＝30°），测得AC之间的距离为40mm，此时∠CAB＝45°．求这款手机完全折叠后的宽度AB长是多少？（结果保留整数，参考数据：）
3．如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=1.5米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=60°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD=1.3米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=45°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.01米参考数据：≈1.73，≈1.41）
4．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长，拉杆的伸长距离最大时可达，点、、在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒，与水平地面切于点，在拉杆伸长至最大的情况下，当点距离水平地面时，点到水平面的距离为，设AF∥MN．
（1）求的半径长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在端拉旅行箱时，为，，求此时拉杆的伸长距离．（精确到，参考数据：，，）
5．寒假在家学习网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，此时感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，使电脑变化至位置（如图3），侧面示意图为图4，已知，于点C，．
（1）求的度数；
（2）显示屏的顶部比原来升高了多少．（结果保留到，参考数据：取1.73）
6．图1是放置在水平面上的可折叠式台灯；图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂BC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠ABC＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为23°时，台灯光线效果最佳．问：此时点D处到桌面的距离是多少？（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42，取1.73）．
7．摇椅是老年人很好的休闲工具，右图是一张摇椅放在客厅的侧面示意图，摇椅静止时，以O为圆心OA为半径的的中点P着地，地面NP与相切，已知∠AOB=60°，半径OA=60cm，靠背CD与OA的夹角∠ACD=127°，C为OA的中点，CD=80cm，当摇椅沿滚动至点A着地时是摇椅向后的最大安全角度．
（1）静止时靠背CD的最高点D离地面多高？
（2）静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是多少时？才能使摇椅向后至最大安全角度时点D不与墙壁MN相碰．
（精确到1cm，参考数据π取3.14，sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75，sin67°=0.92，cos67°=0.39，tan67°=2.36，=1.41，=1.73）
8．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长， AB与墙壁的夹角，喷出的水流BC与AB形成的夹角，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
（参考数据： ）．
9．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（结果精确到0.1）
（1）如图2，，．
①填空：_________°；
②求投影探头的端点到桌面的距离．
（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为时，求的大小．（参考数据：，，，）
10．如图①所示的旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同，四边形为形如矩形的旅行箱一侧的示意图，为的中点，∥．现将放置在地面上的箱子打开，使箱盖的一端点靠在墙上，为墙角，图②为箱子打开后的示意图．箱子厚度，宽度．
（1）图②中，_________，当点与点重合时，的长为_________；
（2）若，求的长（结果取整数值，参考数据：，，）
11．如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边，可绕点开合，在边上有一固定点，支柱可绕点转动，边上有六个卡孔，其中离点最近的卡孔为，离点最远的卡孔为.当支柱端点放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康.现测得的长为，为，支柱为.
(1)当支柱的端点放在卡孔处时，求的度数；
(2)当支柱的端点放在卡孔处时，，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.(结果精确到十分位)
考点5：锐角三角函数在几何问题中的应用
典例：（2020·保定市第三中学分校初三期末）如图，在中，，，．点从点出发，沿向终点运动，同时点从点出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点到达终点时，、同时停止运动，当点不与点、重合时，过点作于点，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为．
（1）①的长为______；
②的长用含的代数式表示为______；
（2）当为矩形时，求的值；
（3）当与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式．
方法或规律点拨
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．
巩固练习
1．（2021·深圳实验学校中学部初三月考）如图，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB//CD．
（1）求证：四边形ACDB为菱形；
（2）求四边形ACDB的面积．
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若sin C＝，BC＝12，求△ABC的面积．
3．如图，在中，是边上的中线，分别过点，点作的平行线交于点，与交于点连接．
求证：四边形是菱形；
若，求的值．
4．如图，在△ADC中，∠A＝30°，∠ACD＝90°，点B在AC上∠DBC＝45°，点E在BC的延长线上，且AB＝2，CE＝3，过E作EF⊥AE于E，交BD延长线于F．求EF的长．
5．如图，在矩形ABCD中，E是AD上的一点，沿CE将△CDE对折，点D刚好落在AB边的点F上．
（1）求证：△AEF∽△BFC．
（2）若AB＝20cm，BC＝16cm，求tan∠DCE．
6．（2019·全国初三期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=
（1）试求的值；
（2）试求△BCD的面积.
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，连结AE．
（1）如果∠B=25°，求∠CAE的度数；
（2）如果CE=2，，求的值．
8．（2020·湖南初三期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cos ∠ABE的值．
9．（2020·全国初三期末）如图， ABCD中，连接AC，AB⊥AC，tanB＝，E、F分别是BC，AD上的点，且CE＝AF，连接EF交AC与点G．
（1）求证：G为AC中点；
（2）若EF⊥BC，延长EF交BA的延长线于H，若FH＝4，求AG的长．
10．（2020·内蒙古初三月考）在一次数学活动课上，数学老师在同一平面内将一副直角三角板如图位置摆放，点在的延长线上，，，，，，试求的长．
11．（2020·成都市棕北中学月考）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，，若不改变矩形的形状和大小．
（1）当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．当时，求点的坐标．
（2）如图2、3，长方形中，在轴上，且与重合．将矩形折叠，折痕的一个端点在边上，另一个端点在边上，且，顶点的对应点为，连接．
①如图2，当顶点的对应点落在边上时，求折痕的长．
②如图3，当顶点的对应点落在长方形内部，的纵坐标为6，求的长．
12．如图，在中，，过点作的平行线交的平分线于点，过点作的平行线交于点，交于点，连接，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
13．（2019·浙江初三学业考试）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
（1）求∠ACD度数；
（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）
14．如图①，在中，．将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，且．在旋转过程中，点可以恰好落在的中点处，如图②．
求的度数；
当点到的距离等于的一半时，求的度数．
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