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专题27.2.2成比例线段、平行线分线段成比例
典例体系（本专题共44题28页）
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一、知识点
1.比例线段
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．21·cn·jy·com
2.比例的基本性质
(1)基本性质： ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质： ＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)
＝.（b、d、···、n≠0）
3.平行线分线段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
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（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.21·世纪*教育网
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（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
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4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(－1)cm
二、考点点拨与训练
考点1：比例的性质
典例：（2020·四川师范大学附属中学初三月考）已知一次函数中，比例系数满足，那么直线与轴的交点坐标为______．2-1-c-n-j-y
方法或规律点拨
本题考查一次函数与比例的综合应用，根据比例的性质对a、b、c的取值进行讨论是解题关键．
巩固练习
1．（2020·保定市第三中学分校初三期末）若，设，，，则、、的大小顺序为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
2．（2020·上海浦东新·初三月考）已知，且所有字母均表示正实数，则下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·北京大峪中学初三月考）已知，那么x的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·中国科技大学附属中学初三月考）若，则的值为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
5．（2020·上海浦东新·初三月考）已知，则的值为________．
6．（2020·辽宁省实验中学分校初三期中）已知＝，则＝_____．
7．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）若，则_______．
8．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）已知，且，则的值为______．
9．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）若成立，则的值为______．
10．（2020·中国科技大学附属中学初三月考）已知；，且，求的值
11．（2020·安徽省潜山县第四中学初三月考）已知a，b，c是△ABC的三边，满足，且．
（1）求a，b，c的值．
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
12．（2019·全国初三课时练习）若P在线段AB上，点Q在AB的延长线上，，且，求PQ的长．
考点2：线段的比
典例：（2020·上海炫学培训学校有限公司期中）在比例尺为1：10000的地图上，相距2厘米的两地实际距离是_________米．21教育网
方法或规律点拨
本题考查了两条线段的比，解答关键是注意单一变化．
巩固练习
1．（2020·上海浦东新·初三月考）在一幅比例尺为的地图上，若量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地实际距离为（ ）2·1·c·n·j·y
A．125km B．12.5km C．1.25km D．1250km
2．（2019·全国初三期中）在一张比例尺为的地图上，量得、两地的距离是5，那么、两地的实际距离是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B．
C． D．
3．（2020·射阳县第 ( http: / / www.21cnjy.com )二初级中学月考）在一幅比例尺是1∶6000000的图纸上，量得两地的图上距离是2厘米，则两地的实际距离是_____千米．【出处：21教育名师】
4．（2020·江阴高新区实验中学月考）在比例尺为1:300的地图上，一条长为6cm的线段实际长为____m．
考点3：成比例线段的概念及判定
典例：（2019·广东惠来·初三期中）下列四条线段能成比例的是( )
A．a=4， b=6， c=5，d=10 B．a= ，b=3，c=2，d=
C．a=2，b= ，c= ，d= D．a=1，b=2，c=3， d=4
方法或规律点拨
本题主要考查了成比例的定义，关键在于理解线段成比例时，各个线段的顺序.
巩固练习
1．（2020·无锡市钱桥中学月考）下列各组的四条线段成比例的是（ ）
A．，3，2，， B．4，6，5，10 C．1，2，，2 D．2，3，4，1
2．（2019·河南南阳·初三期中）下列四条线段中，不能成比例的是（　　）
A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10 B．a＝2，b＝2，c＝，d＝5
C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
3．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）下列线段能成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
4．（2019·泉州市第六中学初三期中）下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．4cm，2cm，1cm，3cm
B．1cm，2cm，3cm，5cm
C．3cm，4cm，5cm，6cm
D．1cm，2cm，2cm，4cm
5．（2020·长春市第四十七中学初三月考）下列各组线段中，能成比例的是（ ）
A．1 cm，3 cm，4 cm，6 cm B．2 cm，1 cm，4 cm，1.5 cm
C．0.1 cm，0.2 cm，0.3 cm，0.4 cm D．3 cm，4 cm，6 cm，8 cm【版权所有：21教育】
考点4：平行线分线段成比例定理的应用
典例：（2020·河北承德·二模）如图，中，，，．点从点出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，点从点出发沿以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，点，同时出发，当其中一点到达点时停止运动，另一点也随之停止．设点，运动的时间是秒（）．21教育名师原创作品
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发现：
（1）__________；
（2）当点，相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长．
探究：
（1）当时，的面积为_________；
（2）点，分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
拓展：当时，直接写出此时的值．
方法或规律点拨
本题考查了勾股定理，一元一次方程中的动点问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，平行线截线段成比例，一元二次方程的判别式，题目较难，综合性较强，熟练掌握不同模块知识点是本题的关键．21*cnjy*com
巩固练习
1．（2020·辽宁沈阳·初三月考）如图，已知，，下列结论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
2．（2019·河南南阳·初三期中）如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（　　）
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A． B． C． D．
3．（2020·哈尔滨市实验学校月考）如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A． B． C． D．
4．（2020·哈尔滨市萧红中学初三月考）如图，在平行四边形中，分别是边上的点，连接相交于点，延长交的延长线于点，下列结论错误的是（ ）
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A． B． C． D．
5．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）如图，直线，若，，，则线段的长为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2020·哈尔滨市第四十七中学初三月考）如图，在中，点、、分别在，，边上，，，则下列比例式中错误的是（ ）
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A． B． C． D．
7．（2020·山东省平邑县第一中学初三月考）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4，则EF的长是（　　）
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A． B． C．6 D．10
8．（2019·乐清市英华学校初三月考）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则（ ）
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A． B．2 C． D．
9．（2020·福建省惠安荷山中学初 ( http: / / www.21cnjy.com )三月考）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=1，BC=2，DE=1.5，则EF的长为（　　）
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A． B．2 C． D．3
10．（2020·河北初三其他）如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（ ）
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A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
11．如图，，点，分别在，上，，，则长为（ ）．
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A．4 B．2 C． D．
12．（2019·全国初三单元测试）已知：如图中，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
13．（2019·郑州市第六十三中学初三三模）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，若，，则___________．21*cnjy*com
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14．（2019·全国初三单元测试）如图，，点在上，与交于点，，，则的长为______．
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15．（2019·全国初三单元测试）中，为上的一点，，是上一点，，求，的值．
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16．（2019·全国初三课时练习）如图，在中，AD平分∠BAC．求证.
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17．（2020·河北南宫·初二月考）如图，在中，、分别平分与它的邻补角，于点，于点，直线分别交、于点、．
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（1）求证：四边形为矩形．
（2）试猜想与的关系，并证明你的猜想．
（3）如果四边形是正方形，试判断的形状（直接写出结果，不用说明理由）．
考点5：黄金分割及其应用
典例：（2020·四川师范大学附属中学初三月考）已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长度为_____．21世纪教育网版权所有
方法或规律点拨
本题考查了主要黄金分割点，掌握黄金比例和分类讨论思想是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2020·沙坪坝·重庆一中初三开学考试）已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（　　）
A． B． C． D．
2．（2020·江苏泰兴市实验初级中学初三月考）已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB:PA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·山东乳山·初二期末）如图①，，点在线段上，且满足.如图②，以图①中的，长为边建构矩形，以长为边建构正方形，则矩形的面积为（ ）
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A． B． C． D．
4．（2020·银川外国语实验学校初三月考）已知是的黄金分割点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·广东南山·蛇口育才二中初三月考）已知点是线段的黄金分割点，且，，则为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·浙江衢州·初三期中） ( http: / / www.21cnjy.com )一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿________cm的鞋子才能好看？（精确到0.01cm）．
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7．（2020·安徽省潜山县第四中学初三月考）已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB=2，AP>BP，那么BP=________．21cnjy.com
8．（2020·安徽太和·初三二模）已知点是线段上的黄金分割点，，，那么__________．
9．（2020·甘肃七里河·初三期末）古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比是（0.618，称之为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此，若某位女性身高为165cm，肚脐到头顶高度为65cm，则其应穿鞋跟为_____cm的高跟鞋才能使人体近似满足黄金分割比例．（精确到1cm）
10．（2020·江苏初三 ( http: / / www.21cnjy.com )月考）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少_____m处．（结果精确到0.1m）
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11．（1）已知，求的值；
（2）已知点是线段的黄金分割点，且，，求的长度
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专题27.2.2成比例线段、平行线分线段成比例
典例体系（本专题共44题28页）
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一、知识点
1.比例线段
在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．www.21-cn-jy.com
2.比例的基本性质
(1)基本性质： ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质： ＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)
＝k.（b、d、···、n≠0）
3.平行线分线段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
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（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.21教育网
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（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
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4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(－1)cm
二、考点点拨与训练
考点1：比例的性质
典例：（2020·四川师范大学附属中学初三月考）已知一次函数中，比例系数满足，那么直线与轴的交点坐标为______．21教育名师原创作品
【答案】或
【解析】
∵，
①当时，
，
则与轴交点坐标为，
②，
则，
∴与轴交点为．
故答案为：或．
方法或规律点拨
本题考查一次函数与比例的综合应用，根据比例的性质对a、b、c的取值进行讨论是解题关键．
巩固练习
1．（2020·保定市第三中学分校初三期末）若，设，，，则、、的大小顺序为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a，
∴=，
==1，
==2．
∴A＜B＜C．
故选：B．
2．（2020·上海浦东新·初三月考）已知，且所有字母均表示正实数，则下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：四个选项分别十字相乘，
只有A选项是ay=bx不满足题意．
故选：A．
3．（2020·北京大峪中学初三月考）已知，那么x的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知，由内项之积等于外项之积，3x=10，x=．
故选：A．
4．（2020·中国科技大学附属中学初三月考）若，则的值为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】B
【解析】解：
2x=x－y，
x=﹣y，
∴=﹣1，
故选：B．
5．（2020·上海浦东新·初三月考）已知，则的值为________．
【答案】
【解析】解：设a=2k(k为不等于0的实数)，
则b=3k，
．
故答案为：．
6．（2020·辽宁省实验中学分校初三期中）已知＝，则＝_____．
【答案】
【解析】∵＝，
∴7a﹣7b＝3a+3b，
∴4a＝10b，
∴．
故答案为：．
7．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）若，则_______．
【答案】
【解析】
∴
，，.
故答案为：．
8．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）已知，且，则的值为______．
【答案】4
【解析】解：设，
则，，，
那么，
解得，，
则．
故答案为：4
9．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）若成立，则的值为______．
【答案】1或－2
【解析】当时，，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴或．
故答案为：1或－2．
10．（2020·中国科技大学附属中学初三月考）已知；，且，求的值
【答案】9
【解析】解：设=k，
则a=5k，b=7k，c=8k，
∵a+b+c=20，
∴5k+7k+8k=20，
解得k=1，
∴a=5，b=7，c=8，
∴2a+b-c=2×5+7-8=9．
11．（2020·安徽省潜山县第四中学初三月考）已知a，b，c是△ABC的三边，满足，且．
（1）求a，b，c的值．
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
【答案】（1），，；（2）
【解析】解：（1）∵，且，
∴，
∴，，，
∴，，，
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴，
∴，
12．（2019·全国初三课时练习）若P在线段AB上，点Q在AB的延长线上，，且，求PQ的长．
【答案】24
【解析】设AP＝3x，BP＝2x，
∵AB＝10，∴AB＝AP＋BP＝3x＋2x＝5x，即5x＝10，
∴x＝1，∴AP＝6，BP＝4.
∵＝，∴可设BQ＝y，则AQ＝AB＋BQ＝10＋y，
∴，
解得y＝20，
∴PQ＝PB＋BQ＝4＋20＝24.
考点2：线段的比
典例：（2020·上海炫学培训学校有限公司期中）在比例尺为1：10000的地图上，相距2厘米的两地实际距离是_________米．
【答案】200
【解析】解：设两地的实际距离为x厘米，
∵比例尺为1：10000，
∴2：x=1：10000，
∴x=20000厘米=200米．
故答案为200．
方法或规律点拨
本题考查了两条线段的比，解答关键是注意单一变化．
巩固练习
1．（2020·上海浦东新·初三月考）在一幅比例尺为的地图上，若量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地实际距离为（ ）21*cnjy*com
A．125km B．12.5km C．1.25km D．1250km
【答案】A
【解析】设实际距离是xcm,则,
1:500000=25：x,
解得：x=12500000.
12500000cm=125km,
故选A
2．（2019·全国初三期中）在一张比例尺为的地图上，量得、两地的距离是5，那么、两地的实际距离是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：设A，B两地的实际距离为x cm，
根据题意得：，
解得：x=100000，
∵100000cm=1000m，
∴A，B两地的实际距离是1000m．
故选B．
3．（2020·射阳县第二初级中学月考）在一 ( http: / / www.21cnjy.com )幅比例尺是1∶6000000的图纸上，量得两地的图上距离是2厘米，则两地的实际距离是_____千米．
【答案】120
【解析】比例尺是1∶6000000，
地图上两地的距离是2厘米，则实际是12000000厘米=120千米
故答案为：120．
4．（2020·江阴高新区实验中学月考）在比例尺为1:300的地图上，一条长为6cm的线段实际长为____m．
【答案】18
【解析】设两地的实际距离是xcm，
根据题意得：
6：x=1：300，
解得：x=6×300=1800cm=18m，
故答案为：18．
考点3：成比例线段的概念及判定
典例：（2019·广东惠来·初三期中）下列四条线段能成比例的是( )
A．a=4， b=6， c=5，d=10 B．a= ，b=3，c=2，d=
C．a=2，b= ，c= ，d= D．a=1，b=2，c=3， d=4
【答案】C
【解析】解：A.4：6≠5：10，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；
B. ：3≠2：，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；
C.2：＝：，则a：b＝c：d，即a，b，c，d不成比例；
D.1：2≠3：4，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；
方法或规律点拨
本题主要考查了成比例的定义，关键在于理解线段成比例时，各个线段的顺序.
巩固练习
1．（2020·无锡市钱桥中学月考）下列各组的四条线段成比例的是（ ）
A．，3，2，， B．4，6，5，10 C．1，2，，2 D．2，3，4，1
【答案】C
【解析】A选项不能成比例；
B选项不能成比例；
C选项可以，；
D选项不能成比例．
故选：C．
2．（2019·河南南阳·初三期中）下列四条线段中，不能成比例的是（　　）
A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10 B．a＝2，b＝2，c＝，d＝5
C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
【答案】C
【解析】解：A、4×10=5×8，能成比例；
B、2×5=2×，能成比例；
C、1×4≠2×3，不能成比例；
D、1×4=2×2，能成比例．
故选C．21·cn·jy·com
3．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）下列线段能成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【解析】在A选项中，，故A不能构成比例线段；
在B选项中，，故B能构成比例线段；
在C选项中，，故C不能构成比例线段；
在D选项中，，故D不能构成比例线段；
故选：B．
4．（2019·泉州市第六中学初三期中）下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．4cm，2cm，1cm，3cm
B．1cm，2cm，3cm，5cm
C．3cm，4cm，5cm，6cm
D．1cm，2cm，2cm，4cm
【答案】D
【解析】A.从小到大排列，由于1，所以不成比例，不符合题意；
B. 从小到大排列，由于1，所以不成比例，不符合题意；
C. 从小到大排列，由于3，所以不成比例，不符合题意；
D. 从小到大排列，由于1，所以成比例，符合题意；
故选D.
5．（2020·长春市第四十七中学初三月考）下列各组线段中，能成比例的是（ ）
A．1 cm，3 cm，4 cm，6 cm B．2 cm，1 cm，4 cm，1.5 cm
C．0.1 cm，0.2 cm，0.3 cm，0.4 cm D．3 cm，4 cm，6 cm，8 cm2-1-c-n-j-y
【答案】D
【解析】解：A、1×6≠ ( http: / / www.21cnjy.com )3×4，故不符合题意；
B、1×4≠2×1.5，故不符合题意；
C、0.1×0.4≠0.2×0.3，故不符合题意；
D、3×8=4×6，故正确．
故选：D．【版权所有：21教育】
考点4：平行线分线段成比例定理的应用
典例：（2020·河北承德·二模）如图，中，，，．点从点出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，点从点出发沿以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，点，同时出发，当其中一点到达点时停止运动，另一点也随之停止．设点，运动的时间是秒（）．
( http: / / www.21cnjy.com )
发现：
（1）__________；
（2）当点，相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长．
探究：
（1）当时，的面积为_________；
（2）点，分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
拓展：当时，直接写出此时的值．
【答案】发现（1）5；（2）相遇点在边上，AP＝1；探究：（1）1；（2）不能，理由见解析；拓展：
【解析】发现：（1）在中，
∴AB=5；
（2）点P运动到B需要：s
点Q运动到B点需要：s
当点相遇时，有．解得．
∴相遇点在边上，
此时．
探究：（1）当时，PC=1，BQ=2，即CQ=2
∴
故答案为1；
（2）不能
理由：若的面积是面积的一半，
即，化为．
∵，
∴方程没有实数根，
即的面积不能是面积的一半．
拓展：由题可知，点先到达边，当点还在边上时，存在，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com )
这时，．
∵，，
∴．
解得，
即当时，．
方法或规律点拨
本题考查了勾股定理，一元一次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程中的动点问题，平行线截线段成比例，一元二次方程的判别式，题目较难，综合性较强，熟练掌握不同模块知识点是本题的关键．
巩固练习
1．（2020·辽宁沈阳·初三月考）如图，已知，，下列结论正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：，，
∴
∴，故A错误；，故D正确；
不能确定和的值，故B、C错误
故选D．
2．（2019·河南南阳·初三期中）如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；
B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；
C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；
D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；
故选D．
3．（2020·哈尔滨市实验学校月考）如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A选项错误，
∵点D、点E是AB的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则；
B选项错误，无法证明；
C选项正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
则；
D选项错误，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
4．（2020·哈尔滨市萧红中学初三月考）如图，在平行四边形中，分别是边上的点，连接相交于点，延长交的延长线于点，下列结论错误的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，错误、正确，符合题意；
，正确，不符合题意；
，正确，不符合题意；
故选：．
5．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）如图，直线，若，，，则线段的长为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】∵，由平行线分线段成比例可得：，
∵，，，
∴．
故选B．
6．（2020·哈尔滨市第四十七中学初三月考）如图，在中，点、、分别在，，边上，，，则下列比例式中错误的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A．∵EF//AB，
∴，
∴，
故本选项正确；
B．∵EF//AB，∴，故本选项正确；
C．∵DE//BC，
∴，
∵EF//AB，
∴DE=BF，
∴，
∴，
故本选项正确；
D．∵EF//AB，
∴，
∵CF≠DE，
∴，
故本选项错误；
故选：D．
7．（2020·山东省平邑县第一中学初三月考）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4，则EF的长是（　　）
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A． B． C．6 D．10
【答案】C
【解析】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得：EF＝6．
故选：C．
8．（2019·乐清市英华学校初三月考）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则（ ）
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A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】解： AH=2，HB=1，BC=5，
AB=3，
，
；
故选A．
9．（2020·福建省惠安荷山中学初 ( http: / / www.21cnjy.com )三月考）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=1，BC=2，DE=1.5，则EF的长为（　　）21·世纪*教育网
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A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】解：∵AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，
∴，即：
∴EF=3
故选：D．
10．（2020·河北初三其他）如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（ ）
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A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【答案】B
【解析】如图，过O作，交AC于G，
∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又，
设，又，
，
故选B．
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11．如图，，点，分别在，上，，，则长为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】∵
∴
∵，
∴
∴
∴
故选：．
12．（2019·全国初三单元测试）已知：如图中，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点F作FM∥BC，交AE于M，
∵AF：FC=1：2，
∴AF：AC=1：3，
∴，
∴EC=3FM，
∵BD=DF，
∴=1，
∴BE=FM，
∴BE：EC=1：3,
故选B．
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13．（2019·郑州市第六十三中学初三三模）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，若，，则___________．www-2-1-cnjy-com
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【答案】9
【解析】解：，DE=6，
，即，
．
故答案为：9．
14．（2019·全国初三单元测试）如图，，点在上，与交于点，，，则的长为______．
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【答案】1.2
【解析】∵AB∥GH，
∴，即①，
∵GH∥CD，
∴，即②，
①+②，得，
∴，
解得．
故答案是：1.2.
15．（2019·全国初三单元测试）中，为上的一点，，是上一点，，求，的值．
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【答案】，．
【解析】
作交于，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，．
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16．（2019·全国初三课时练习）如图，在中，AD平分∠BAC．求证.
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【答案】见解析
【解析】如图，过点C作，交BA的延长线于点E，∵，∴，.
又∵AD平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴.
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17．（2020·河北南宫·初二月考）如图，在中，、分别平分与它的邻补角，于点，于点，直线分别交、于点、．
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（1）求证：四边形为矩形．
（2）试猜想与的关系，并证明你的猜想．
（3）如果四边形是正方形，试判断的形状（直接写出结果，不用说明理由）．
【答案】（1）答案见解析；（2）MN∥BC且MN=BC，证明见解析；（3）△ABC是直角三角形
【解析】（1）∵于点，于点，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵、分别平分与它的邻补角，
∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=(∠ACB+∠ACD)=90°，
∴∠AEC=∠AFC=∠ECF=90°，
∴四边形为矩形；
（2）MN∥BC且MN=BC，
证明：∵四边形为矩形，
∴AC=EF，AN=CN=EC=FC，
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，
∴MN∥BC，
∵AN=CN，
∴N是AC的中点，
∴，
∴点M是AB的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥BC且MN=BC；
（3）△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）
证明：∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EF，
∵EF∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形.
考点5：黄金分割及其应用
典例：（2020·四川师范大学附属中学初三月考）已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长度为_____．
【答案】或．
【解析】解：点是线段的黄金分割点，
①当时，如图
∴
∴
②当时，如图
∴，
∴
∴
综上：的长度在或．
方法或规律点拨
本题考查了主要黄金分割点，掌握黄金比例和分类讨论思想是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2020·沙坪坝·重庆一中初三开学考试）已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知AC:AB=BC:AC=，
∴AC:BC=.
故选A.
2．（2020·江苏泰兴市实验初级中学初三月考）已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB:PA的值为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意得：
；
故选A．
3．（2019·山东乳山·初二期末）如图①，，点在线段上，且满足.如图②，以图①中的，长为边建构矩形，以长为边建构正方形，则矩形的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由得，
AC=AB=×2=-1，BC=AB=×2=3-，
因为四边形CBDE为正方形，所以EC=BC，
AE=AC-CE=AC-BC=（-1）-（3-）=2-4，
矩形AEDF的面积：AE DE=（2-4）×（3-）=10-22．
故选C．【出处：21教育名师】
4．（2020·银川外国语实验学校初三月考）已知是的黄金分割点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：由题意知：，
所以．
故选：．
5．（2020·广东南山·蛇口育才二中初三月考）已知点是线段的黄金分割点，且，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，
∴
而AB=2，
∴
故选A.
6．（2019·浙江衢州·初三期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿________cm的鞋子才能好看？（精确到0.01cm）．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】10.16
【解析】设她应穿xcm高的鞋子，
根据题意，得=0.618．
解得，x≈10.16，
故答案为10.16
7．（2020·安徽省潜山县第四中学初三月考）已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB=2，AP>BP，那么BP=________．
【答案】
【解析】解：由于为线段的黄金分割点，
且，
则．
；
故答案为：
8．（2020·安徽太和·初三二模）已知点是线段上的黄金分割点，，，那么__________．
【答案】
【解析】∵点是线段上的黄金分割点，，
∴AP=,
故答案为：.
9．（2020·甘肃七里河·初三期末）古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比是（0.618，称之为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此，若某位女性身高为165cm，肚脐到头顶高度为65cm，则其应穿鞋跟为_____cm的高跟鞋才能使人体近似满足黄金分割比例．（精确到1cm）21cnjy.com
【答案】5
【解析】设她应选择高跟鞋的高度是xcm，
则 ≈0.618，
解得：x≈5，且符合题意．
故答案为5．
10．（2020·江苏初三月考） ( http: / / www.21cnjy.com )电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少_____m处．（结果精确到0.1m）
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】7.6
【解析】根据黄金比得：20×（1-0.618）≈7.6米或20×≈12.4米（舍去），
则主持人应走到离A点至少7.6米处．
故答案为7.6
11．（1）已知，求的值；
（2）已知点是线段的黄金分割点，且，，求的长度
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵
∴
∴
（2）∵点是线段的黄金分割点，且，
∴
∴
∴
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