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专题28.2 解直角三角形及其应用
典例体系（本专题共50题34页）
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一、知识点
1.解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：
sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
3.解直角三角形的应用
4.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．
(2)坡度：坡面的铅直高度和水 ( http: / / www.21cnjy.com )平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平 ( http: / / www.21cnjy.com )线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．
5.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
二、考点点拨与训练
考点1：由已知函数值求未知函数值
典例：在中，，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，，
故选:D
方法或规律点拨
本题考查互余两角三角函数的关系，其中涉及正弦、余弦、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【版权所有：21教育】
巩固练习
1．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如下图所示
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在Rt中，=，故A不符合题意；
在Rt中，=，故B不符合题意；
∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°
∴∠A=∠BCD
∴=tan∠BCD=，故C不符合题意；
≠，故D符合题意．
故选D．
2．若锐角A满足tana＝，则sina的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵tana＝，
∴sina＝＝，
故选：B．
3．如果α是锐角，，那么cosα的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵α是锐角，sinα＝，
∴α＝60°，
∴cosα＝cos60°＝．
故选：A．
4．在中，∠C=90°，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ( http: / / www.21cnjy.com )
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵sinA==，设BC=3x，则AB=5x，
∵BC2+AC2=AB2 ∴AC=4x．
∴tanB=＝＝．
故选D．
5．已知α是锐角，cosα＝，则tanα的值是( )
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】由sin2α＋cos2α＝1，α是锐角，，得
，
，
故选：B．
6．已知：则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵sin2α+cos2α=1，，
∴+cos2α=1，
∴cos2α=，
∵α是锐角，
∴cosα=，
故选：D．2·1·c·n·j·y
7．在，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90，
∴∠A+∠B=90，
∴sin2A+sin2B=1，sinA>0，
∵sinB=，
∴sinA==.
故选B.
8．已知sinαcosα=，且0°<α<45°，则sinα－cosα的值为( )
A． B．－ C． D．±
【答案】B
【解析】解：∵sinαcosα=，
∴2sinα cosα=，
∴sin2α+cos2α-2sinα cosα=1- ，
即（sinα-cosα）2=，
∵0°＜α＜45°，
∴＜cosα＜1，0＜sinα＜，
∴sinα-cosα＜0，
∴sinα-cosα= －．
故选：B．
9．在中，，如果，那么的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因为，所以，
故选B．
10．在中，，，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，
则cosB=sinA=．
故选：D．
11．如图，，则等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ( http: / / www.21cnjy.com )
如图，作CA⊥x轴，BC⊥y轴，所以即，因为,OB=AC（均是点C纵坐标），所以，故答案选择A.21教育名师原创作品
12．如果α是锐角，且，那么的值为_____．
【答案】
【解析】解：∵sin2α+cos2α=1，sinα=，
∴+cos2α=1，
∴cos2α=，
∵α是锐角，
∴cosα=，
故答案为：．
13．在中，C=90°，tan A =3，tanB=________
【答案】
【解析】解：在中，C=90°，
∴，
∴.
故答案为.
14．已知：∠A+∠B＝90°，若sinA=，则cosB＝__________.
【答案】
【解析】由∠A+∠B＝90°，sinA＝，得：cosB＝sinA＝，
故答案为：．
15．如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝_____度．
【答案】70.
【解析】解：∵sinα＝cos20°，
∴α＝90°﹣20°＝70°．
故答案为：70．
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为_____.
【答案】
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA=，
故答案为：
考点2：几何图形中应用锐角三角函数
典例：在△ABC中，AB＝，tanB＝，AC＝2，则BC的长为_____．
【答案】3或7
【解析】如图，过点A作交于D，设，
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∵，
∴，
∵AB＝，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图所示，过点A作交于D，设，
同理可得：，，
∴；
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故答案是：3或7．
方法或规律点拨
本题主要考查了三角函数的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．
巩固练习
1．如图，已知，，，，平分，则点到射线的距离是( )
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图，过D点做AB垂线，交AB于点E,连接DE，
AD平分,
CD=DE
,由勾股定理
得
AB=5,
根据
得CD=DE=
则
再由勾股定理：
=
B到AD的距离就是底边AD边上的高，
则B到AD距离
故本题正确答案为C选项．
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2．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC边的长是（ ）
A．6 B．2 C．3 D．2
【答案】B
【解析】在△ABC中，∠C=90°，sinA=，
由BC=4即可求得AB=6，
根据勾股定理即可得AC=，
故选：B.
3．在中，，，下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
∴，
故选项A，B错误，
∵，
∴，
故选项C正确；选项D错误．
故选C．
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4．如图，中，，，．则________．
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【答案】
【解析】解：∵中，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝cm，则AB的长为_____．
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【答案】
【解析】解；过点C作CD⊥AB，交AB于D．
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∵∠B＝45°，
∴CD＝BD，
∵BC＝，
∴BD＝，
∵∠A＝30°，
∴tan30°＝，
∴AD＝＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝．
故答案为：．
6．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则边AC的长是 ．
【答案】.
【解析】解：∵BC=2，
∴AB==3
∴AC=
故答案为：.
7．在中，，，，则的长为______.
【答案】10或6
【解析】如图1，在中，，，过点A作AD⊥BC延长线于D点
∵
设AD=a，∴BD=2a
在RT△ABD中，AB2=BD2+AD2
∴（）2=（2a）2+a2，
解得a=4
∴AD=4,BD=8
∴CD=
∴BC=AD-CD=6;
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如图2，同理可求出BD=8,CD=2
∴BC=AD+CD=10
故答案为10或6．
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8．（2020·河南期末）如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为，交于点，．21cnjy.com
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（1）求的值：
（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）4
【解析】（1）∵，是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
由（1）知，
∴．
∴．
9．（2020·吉林长春·初三一模） ( http: / / www.21cnjy.com )（教材呈现）数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：
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（问题1）赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是　 　．
（问题2）小明发现只利用直角三角板也可以作∠AOB的角平分线，方法如下：
步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．
②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．
③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．
（1）请写出小明作法的完整证明过程．
（2）当tan∠AOB＝时，量得MN＝4cm，直接写出的面积．
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【答案】【问题1】SSS；【问题2】（1）见解析；（2）8．
【解析】解：问题1：由作图可知：OE＝OD，EC＝DC，OC＝OC，
∴（SSS），
故答案为SSS．
问题2：（1）证明：由作图可知：OM＝ON，
∠ONP＝∠OMP＝90°，OP＝OP，
∴（HL），
∴∠PON＝∠POM，
即OP平分∠AOB．
（2）解：作MH⊥OB于H，连接MN．
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∵tan∠AOB＝
∴可以假设MH＝4k，OH＝3k，则OM＝ON＝5k，
∴HN＝2k，
在中，
∵
∴
∴（负根已经舍弃），
∴ON＝5k＝，MH＝4k＝，
∴
考点3：解直角三角形
典例：如图，在中，．
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求的长；
求的面积．
【答案】（1）2；（2）．
【解析】解：（1）解：∵∠C=90°，∠A=30°，，
∴AB= ，
故答案为：2；
（2）∵，AB=2，
∴BC=，
∴．
方法或规律点拨
本题考查了解直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键．
巩固练习
1．如图，在中，于点，若．，，求的值．
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【答案】
【解析】解：，
．
．
在中
，
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2．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°.
(1)求BD和AD的长；
(2)求tanC的值．
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【答案】(1) BD＝3，AD＝3；(2) tanC＝.
【解析】（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°．
在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，
∴BD＝AB·sin30°＝3，
∴．
（2），
在Rt△BDC中，．
3．如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,BC=,∠B=60°,求△ABC的面积
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【答案】9
【解析】解：过点A作AD⊥BC于D
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在Rt△ABD中，AB=4, ∠B=60°
∴AD=AB·sin B=
∴S△ABC=BC·AD
=
=9
4．若为锐角，且，求．
【答案】
【解析】
如图，在中，，，，
∴，
∵，且为锐角，
∴=2，∴，
把代入原式得，
故答案是：
5．（2020·沙坪坝·重庆一中初三开学考试）如图，在中，是BC边上的高，，，．
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（1）求线段的长度：
（2）求的值．
【答案】（1）5；（2）
【解析】解：（1）∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵sinB=，AD=12，
∴AB=15，
∴BD=，21世纪教育网版权所有
∵BC=14，
∴DC=BC-BD=14-9=5；
（2）由（1）知，CD=5，AD=12，
∴AC=，【来源：21·世纪·教育·网】
∴cosC=．
6．（2020·华南师大（广东）教育文化传播有限公司月考）在△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B为锐角且cosB＝．21·世纪*教育网
（1）求△ABC的面积．
（2）求tanC．
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【答案】（1）12；（2）2．
【解析】（1）如图，过点A作AH⊥BC于H．
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∵cosB=，
∴∠B=60°，
∴BH=AB cosB=8=4，AH=，
∴S△ABC= BC AH=×6×=；
（2）在Rt△ACH中，
∵∠AHC=90°，AH=，CH=BC﹣BH=7﹣4=2，
∴tanC．
7．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
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本【答案】.
【解析】∵在直角△ABD中，tan∠BAD=，
∴BD=AD tan∠BAD=12×=9，
∴CD=BC-BD=14-9=5，
∴AC==13，
∴sinC=．
考点4：解直角三角形的实际应用
典例：如图，某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏西方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西方同．（以下结果保留根号）www-2-1-cnjy-com
（1）求B，C两处之问的距离；
（2）求海监船追到可疑船只所用的时间．
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【答案】（1）B，C两处之问的距离为海里；（2）海监船追到可疑船只所用的时间为小时．
【解析】（1）作于E，如图1所示：则，
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由题意得：（海里），，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
设，则，，
∴，
解得：，
∴；
答：B，C两处之问的距离为海里；
（2）作于F，如图2所示：
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则，，
∴，
∴海监船追到可疑船只所用的时间为（小时）；
答：海监船追到可疑船只所用的时间为小时．
方法或规律点拨
本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线是解题的关键．
巩固练习
1．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司 ( http: / / www.21cnjy.com )在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔．如图，在高为12米的建筑物DE的顶部测得信号发射塔AB顶端的仰角∠FEA＝56°，建筑物DE的底部D到山脚底部C的距离DC＝16米，小山坡面BC的坡度（或坡比）i＝1：0.75，坡长BC＝40米（建筑物DE、小山坡BC和网络信号发射塔AB的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB与水平线DC垂直），则信号发射塔AB的高约为 （　　）（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）21·cn·jy·com
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A．71.4米 B．59.2米 C．48.2米 D．39.2米
【答案】D
【解析】解：如图，延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，
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∵ED⊥DG，
∴四边形EDGH是矩形，
∴GH＝ED＝12，
∵小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即，
设BG＝4x，CG＝3x，则BC＝5x，
∵BC＝40，
∴5x＝40，
解得x＝8，
∴BG＝32，CG＝24，
∴EH＝DG＝DC+CG＝16+24＝40，
BH＝BG﹣GH＝32﹣12＝20，
在Rt△AEH中，∠AEH＝56°，
∴AH＝EH tan56°≈40×1.48≈59.2，
∴AB＝AH﹣BH＝59.2﹣20＝39.2（米）．
答：信号发射塔AB的高约为39.2米．
故选：D．
2．如图，甲、乙两船同时 ( http: / / www.21cnjy.com )从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（　　）
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A．南偏西40° B．南偏西30° C．南偏西20° D．南偏西10°
【答案】C
【解析】甲船沿北偏西30°方向航行 ( http: / / www.21cnjy.com )，乙船沿南偏西70°方向航行，得出∠BOA的度数，由两船的航行速度相同，得出AO=BO，得出∠BAO=50°，以及求出∠BAD的度数，得出点B位于点A的方向，故本题选C．
3．一座建于若干年前的水 ( http: / / www.21cnjy.com )库大坝的横截面如图所示，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了_____平方米．
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【答案】10
【解析】作AE⊥BC于E．
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∵原来的坡度是1：0.75，
∴，
∵AE=4，
∴BE=3，
设整修后的斜坡为AB′，
由整修后坡度为1：2，则，
∴B′E=8，
∴
∵修整后的大坝横截增加部分为ABB′
∴增加面积为
故答案为10.
4．汾河是山西最大的河流，被山西人称为母亲河，对我省的历史文化有深远的影响．在“我爱汾河，保护汾河”实践活动中，小李所在学习小组要测量汾河河岸某段的宽度，如图，河岸，小李在河岸上点处用测角仪观察河岸上的小树，测得，然后沿河岸走了米到达处，再一次观察小树，测得，则可求出河的宽度为________________米．（参考计算：，，，结果精确到米）．www.21-cn-jy.com
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【答案】
【解析】解：过点A作AM⊥GH，设AM＝h，
在Rt△ACM中，，
CM＝，
在Rt△ABM中，∠ABH＝45°，BM＝AM＝h，
∵BC＝BM－CM，
∴，
解得：h＝93.9，
故填：93.9．
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5．如图，梯形是拦水坝的横断面图，（图中是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），，，，拦水坝的横断面的面积是________（结果保留三位有效数字，参考数据：，）2-1-c-n-j-y
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【答案】52.0
【解析】解：如图，过点A作于点F，
，
，
，
∵，
∴，
∵，
，
，
∴．
故答案是：52.0．
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6．如图，在大楼AC的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡DE＝4米，坡角∠DEB＝41°，小红在斜坡下的点E处测得楼顶A的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶A的仰角为45°，其中点B，C，E在同一直线上求大楼AC的高度．（结果精确到整数．参考数据：≈1.73，sin41°≈0.6，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87）
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【答案】大楼AC的高度约为13米．
【解析】解：如图，作DF⊥AC于F，
设CE＝x，
在Rt△DEB中，sin∠DEB＝，
∴DB＝DE sin∠DEB≈4×0.6＝2.4，
cos∠DEB＝，
∴BE＝DE cos∠DEB≈4×0.75＝3，
在Rt△AEC中，tan∠AEC＝，
∴AC＝CE tan∠AEC＝x，
∵∠ADF＝45°，
∴FA＝FD，
∴x﹣2.4＝x+3，
解得，x＝，
∴AC＝x≈13，
答：大楼AC的高度约为13米．
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7．如图是一矩形广告牌，米，为测量其高度，某同学在处测得点仰角为，该同学沿方向后退6米到处，此时测得广告牌上部灯杆顶端点仰角为．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆的高为2.25米，求广告牌的高度(或的长)．(精确到1米，参考数据：，)21教育网
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【答案】广告牌的高度为17米
【解析】依题意：米,米,米,
如图设直线交于,交于,
则.
设m则,
在中,
∵,
∴,
∵,则,
在中,
∵,
∴,
解得,∴(米),
∴广告牌的高度为17米.
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7．兰州白塔山山势起伏，山中白塔七级八面，上有绿项，下筑圆基，几经强烈地震仍屹立未动，显示了我国古代劳动人民在建筑艺术上的智慧与才能．21*cnjy*com
问题提出：如何测量白塔的高MN．
方案设计：九年级三班的白亮同 ( http: / / www.21cnjy.com )学去测量白塔的高，如图，他在点A处测得塔尖M的仰角是30°，向前走了50米到达点B处，又测得塔尖M的仰角是60°．【来源：21cnj*y.co*m】
问题解决：根据上述方案和数据，求白塔的高度MN（结果精确到1m，参考数据：≈1.73）．
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【答案】白塔的高度MN约为43米
【解析】解：∵∠MBN是△ABM的一个外角，
∴∠AMB＝∠MBN﹣∠MAB＝30°，
∴∠AMB＝∠MAB，
∴BM＝AB＝50，
在Rt△MBN中，sin∠MBN＝，
∴MN＝BM sin∠MBN＝50×＝25≈43，
答：白塔的高度MN约为43米．
9．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：）
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【答案】
【解析】解：如图，过点A作于点D，
根据题意，，，，
，
，
．
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10．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面CD垂直的位置时的示意图，已知米，米，(参考数据：)
（1）求的长
（2）若米，求两点的距离（精确0.01)
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【答案】（1）0.8；（2）1.04 m
【解析】（1）过B作BE⊥AC于E，则四边形CDBE为矩形，CE=BD=0.26米，AC=0.66米，
∴AE=AC-EC=0.66-0.26=0.40米，
在Rt△AEB中，α=30°，AB=2AE=2×0.40=0.80米，
（2）过N作NF⊥MO交射线MO于F点，则FN∥EB，
∴∠ONF=α=30°，
∵ON=0,6米，
∴OF=ON=0,3米，
∵OM=ON=0.6米，
∴MF=0.9米，
∴∠FON=90 -30 =60 ，
∴∠M=∠MNO=∠FON=30 ，
在Rt△MFN中，
MN=．
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11．二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物．学完三角函数知识后，某校”数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度．如图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰角为，向塔方向前进38米在E处测得塔顶端A的仰角为，求二七纪念塔AB的高度（精确到1米，参考数据）．21*cnjy*com
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【答案】二七纪念塔AB的高度约为64米
【解析】解：在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
．
答：二七纪念塔AB的高度约为64米．
12．如图，小明的家在某住宅楼的最顶层，他家对面有一建筑物，他很想知道建筑物的高度，他首先量出到地面的距离为，又测得从处看建筑物底部的俯角为，看建筑物顶部的仰角为且，都与地面垂直，点，，，在同一平面内．【出处：21教育名师】
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（1）求与之间的距离（结果保留根号）；
（2）求建筑物的高度（结果精确到）．
参考数据：，，，．
【答案】（1）与之间的距离；（2）建筑物的高度约为
【解析】解：（1）作于，
则四边形为矩形，，
，，
在中，
则
答：与之间的距离；
（2）在中，，
则
m
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答：建筑物的高度约为51m．
13．图1所示的是某景区的“关帝圣像”，它从2007年1月开始铸造，共用铜吨，铁吨，甚是伟岸壮观．其侧面示意图如图2所示．在处测得圣像顶的仰角为，在点处测得圣像顶的仰角为．已知于点于点米，米，求圣像的高度． (结果保留整数．参考数据：，，)
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【答案】圣像的高度约为米
【解析】解：设米，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵米，
∴米，
在中，，
，
∴，
解得，
答：圣像的高度约为米．
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专题28.2 解直角三角形及其应用
典例体系（本专题共50题34页） ( http: / / www.21cnjy.com )
一、知识点
1.解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．21cnjy.com
2.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：
sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
3.解直角三角形的应用
4.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．
(2)坡度：坡面的铅直高 ( http: / / www.21cnjy.com )度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. 21世纪教育网版权所有
(3)方向角：平面上，通过 ( http: / / www.21cnjy.com )观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．www.21-cn-jy.com
5.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
二、考点点拨与训练
考点1：由已知函数值求未知函数值
典例：在中，，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
方法或规律点拨
本题考查互余两角三角函数的关系，其中涉及正弦、余弦、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．www-2-1-cnjy-com
巩固练习
1．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（ ）
A． B． C． D．
2．若锐角A满足tana＝，则sina的值是（　　）
A． B． C． D．
3．如果α是锐角，，那么cosα的值是（　　）
A． B． C． D．
4．在中，∠C=90°，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知α是锐角，cosα＝，则tanα的值是( )
A． B．2 C．3 D．
6．已知：则（ ）
A． B． C． D．
7．在，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知sinαcosα=，且0°<α<45°，则sinα－cosα的值为( )
A． B．－ C． D．±
9．在中，，如果，那么的值是（ ）
A．1 B． C． D．
10．在中，，，则的值为(　　)
A． B． C． D．
11．如图，，则等于（ ）
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A． B． C． D．
12．如果α是锐角，且，那么的值为_____．
13．在中，C=90°，tan A =3，tanB=________
14．已知：∠A+∠B＝90°，若sinA=，则cosB＝__________.
【答案】
15．如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝_____度．
16．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为_____.
考点2：几何图形中应用锐角三角函数
典例：在△ABC中，AB＝，tanB＝，AC＝2，则BC的长为_____．
方法或规律点拨
本题主要考查了三角函数的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．
巩固练习
1．如图，已知，，，，平分，则点到射线的距离是( )
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A． B． C． D．
2．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC边的长是（ ）
A．6 B．2 C．3 D．2
3．在中，，，下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，中，，，．则________．
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5．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝cm，则AB的长为_____．
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6．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则边AC的长是 ．
7．在中，，，，则的长为______.
8．（2020·河南期末）如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为，交于点，．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）求的值：
（2）若，求的长．
9．（2020·吉林长春 ( http: / / www.21cnjy.com )·初三一模）（教材呈现）数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：2-1-c-n-j-y
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（问题1）赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是　 　．
（问题2）小明发现只利用直角三角板也可以作∠AOB的角平分线，方法如下：
步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．
②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．
③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．
（1）请写出小明作法的完整证明过程．
（2）当tan∠AOB＝时，量得MN＝4cm，直接写出的面积．
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考点3：解直角三角形
典例：如图，在中，．
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求的长；
求的面积．
方法或规律点拨
本题考查了解直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键．
巩固练习
1．如图，在中，于点，若．，，求的值．
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2．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°.
(1)求BD和AD的长；
(2)求tanC的值．
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3．如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,BC=,∠B=60°,求△ABC的面积
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4．若为锐角，且，求．
5．（2020·沙坪坝·重庆一中初三开学考试）如图，在中，是BC边上的高，，，．
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（1）求线段的长度：
（2）求的值．
6．（2020·华南师大（广东）教育文化传播有限公司月考）在△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B为锐角且cosB＝．21·世纪*教育网
（1）求△ABC的面积．
（2）求tanC．
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7．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
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本考点4：解直角三角形的实际应用
典例：如图，某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏西方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西方同．（以下结果保留根号）21*cnjy*com
（1）求B，C两处之问的距离；
（2）求海监船追到可疑船只所用的时间．
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方法或规律点拨
本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线是解题的关键．
巩固练习
1．为扩大网络信号的辐射范 ( http: / / www.21cnjy.com )围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔．如图，在高为12米的建筑物DE的顶部测得信号发射塔AB顶端的仰角∠FEA＝56°，建筑物DE的底部D到山脚底部C的距离DC＝16米，小山坡面BC的坡度（或坡比）i＝1：0.75，坡长BC＝40米（建筑物DE、小山坡BC和网络信号发射塔AB的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB与水平线DC垂直），则信号发射塔AB的高约为 （　　）（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）21·cn·jy·com
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A．71.4米 B．59.2米 C．48.2米 D．39.2米
2．如图，甲、乙两船同时从港口O出 ( http: / / www.21cnjy.com )发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（　　）
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A．南偏西40° B．南偏西30° C．南偏西20° D．南偏西10°
3．一座建于若干年前的水库大坝的横 ( http: / / www.21cnjy.com )截面如图所示，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了_____平方米．
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4．汾河是山西最大的河流，被山西人称为母亲河，对我省的历史文化有深远的影响．在“我爱汾河，保护汾河”实践活动中，小李所在学习小组要测量汾河河岸某段的宽度，如图，河岸，小李在河岸上点处用测角仪观察河岸上的小树，测得，然后沿河岸走了米到达处，再一次观察小树，测得，则可求出河的宽度为________________米．（参考计算：，，，结果精确到米）．【来源：21cnj*y.co*m】
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5．如图，梯形是拦水坝的横断面图，（图中是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），，，，拦水坝的横断面的面积是________（结果保留三位有效数字，参考数据：，）【出处：21教育名师】
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6．如图，在大楼AC的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡DE＝4米，坡角∠DEB＝41°，小红在斜坡下的点E处测得楼顶A的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶A的仰角为45°，其中点B，C，E在同一直线上求大楼AC的高度．（结果精确到整数．参考数据：≈1.73，sin41°≈0.6，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87）
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7．如图是一矩形广告牌，米，为测量其高度，某同学在处测得点仰角为，该同学沿方向后退6米到处，此时测得广告牌上部灯杆顶端点仰角为．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆的高为2.25米，求广告牌的高度(或的长)．(精确到1米，参考数据：，)【版权所有：21教育】
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7．兰州白塔山山势起伏，山中白塔七级八面，上有绿项，下筑圆基，几经强烈地震仍屹立未动，显示了我国古代劳动人民在建筑艺术上的智慧与才能．21教育名师原创作品
问题提出：如何测量白塔的高MN．
方案设计：九年级三班的白 ( http: / / www.21cnjy.com )亮同学去测量白塔的高，如图，他在点A处测得塔尖M的仰角是30°，向前走了50米到达点B处，又测得塔尖M的仰角是60°．21*cnjy*com
问题解决：根据上述方案和数据，求白塔的高度MN（结果精确到1m，参考数据：≈1.73）．
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9．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：）
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10．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与底面CD垂直的位置时的示意图，已知米，米，(参考数据：)2·1·c·n·j·y
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（2）若米，求两点的距离（精确0.01)
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11．二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物．学完三角函数知识后，某校”数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度．如图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰角为，向塔方向前进38米在E处测得塔顶端A的仰角为，求二七纪念塔AB的高度（精确到1米，参考数据）．21教育网
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12．如图，小明的家在某住宅楼的最顶层，他家对面有一建筑物，他很想知道建筑物的高度，他首先量出到地面的距离为，又测得从处看建筑物底部的俯角为，看建筑物顶部的仰角为且，都与地面垂直，点，，，在同一平面内．
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（1）求与之间的距离（结果保留根号）；
（2）求建筑物的高度（结果精确到）．
参考数据：，，，．
13．图1所示的是某景区的“关帝圣像”，它从2007年1月开始铸造，共用铜吨，铁吨，甚是伟岸壮观．其侧面示意图如图2所示．在处测得圣像顶的仰角为，在点处测得圣像顶的仰角为．已知于点于点米，米，求圣像的高度． (结果保留整数．参考数据：，，)
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