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2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2-5二次函数与一元二次方程》
同步自主提升训练（附答案）
1．对于二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标是（﹣1，﹣2）
2．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
3．二次函数y＝ x2+mx+n的对称轴为x＝﹣1，点（﹣5， y1），（﹣3， y2）在此函数的图象上，则有（　　）
A． y1＞y2 B． y1＝y2
C． y2＞y1 D．以上均有可能
4．函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有1个公共点，则常数m的值是（　　）
A．1 B．2 C．0，1 D．1，2
5．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣4或x＞1 B．x＜﹣3或x＞1 C．﹣4＜x＜1 D．﹣3＜x＜1
6．如图是二次函数y1＝ax2+bx+c和一次函数y2＝kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜2 B．﹣1≤x≤2 C．x≤﹣1或x≥2 D．x＜﹣1或x＞2
7．设方程（x﹣1）（x﹣2）＝30的两实根分别为α、β，且α＜β，则α、β满足（　　）
A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1＜2＜β
8．如图，抛物线y＝x2+1与双曲线y＝的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式﹣1＞0的解集是（　　）
A．x＞1 B．x＜﹣1 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0
9．如图所示是二次函数y＝﹣x2+1的图象在x轴上方的一部分，对于这项图象与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（　　）
A．1 B． C． D．2
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣9＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
11．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（　　）
A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
12．二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（　　）
x 6.17 6.18 6.19
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02
A．﹣0.03＜x＜﹣0.01 B．﹣0.01＜x＜0.02
C．6.18＜x＜6.19 D．6.17＜x＜6.18
13．如图，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　 　．
14．抛物线经过坐标系（﹣1，0）和（0，3）两点，对称轴x＝1，如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是　 　．
15．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是　 　．
16．二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 　 　．
17．设函数y＝﹣x2+2（m﹣1）x+m+1的图象如图所示，它与x轴交于A，B两点，线段OA与OB的比为1：3，则m的值为　 　．
18．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 　 　．
19．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是　 　．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …
y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣2的根是　 　．
21．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为 　 　．
22．二次函数y＝ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为　 　．
23．已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0），若＜m＜1，则a的取值范围是　 　．
24．二次函数y＝x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是　 　．
25．若关于x的二次函数＝ax2+2x﹣5的图象与x轴有两个交点，且其中有且仅有一个交点在原点和A（1，0）之间（不含原点和A点），则a的取值范围是　 　．
26．小红根据学习函数的经验，对函数y＝|x（x﹣8）|的图象与性质进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
y … 20 9 0 7 12 15 m 15 12 7 0 9 20 …
其中m＝　 　；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以如表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质　 　；
（4）进一步探究函数图象发现：
①当x＝　 　时|x（x﹣8）|的值为0；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞8时，比较y1和y2的大小关系为：y1　 　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；
③若关于x的方程|x（x﹣8）|＝a有4个互不相等的解，则a的取值范围是　 　．
④当2≤x≤10时，y的取值范围是　 　．
27．已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴一定有公共点；
（2）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上；
（3）已知点A（a，﹣1），B（a+2，﹣1），线段AB与函数y＝﹣（x﹣1）2的图象有公共点，则a的取值范围是　 　．
28．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
【问题】
如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a＝　 　，点A的坐标为　 　．
【操作】
将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：　 　．
【探究】
在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是　 　．
【应用】结合上面的操作与探究，继续思考：
如图③，若抛物线y＝（x﹣h）2﹣4与x轴交于A，B两点（A在B左），将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象．
（1）求A、B两点的坐标；（用含h的式子表示）
（2）当1＜x＜2时，若新图象的函数值y随x的增大而增大，求h的取值范围．
29．有这样一个问题：探究函数y＝﹣x的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数y＝﹣x的自变量x的取值范围是　 　；
（2）下表是y与x的几组对应值，求m的值；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 1 2 3 4 …
y … ﹣ ﹣ m …
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是（﹣2，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）　 　．
（5）根据函数图象估算方程﹣x＝2的根为　 　．（精确到0.1）
30．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点的坐标为C（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的图象与x轴的另一个交点B的坐标；
（3）根据图象回答：当x取何值时，y＜0；
（4）连接AC、BC，求△ABC的面积．
参考答案
1．解：根据抛物线的性质由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，﹣2），对称轴为直线x＝1，故A，B，D错误，
令y＝0，即（x﹣1）2﹣2x2﹣2x﹣1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象与x轴有两个交点，
故C正确，
故选：C．
2．解：①由图象顶点（2，9）可得y＝a（x﹣2）2+9，
将（8，0）代入y＝a（x﹣2）2+9得0＝36a+9，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝y＝﹣x2+x+8，
故①错误．
②∵5.5﹣2＞2﹣（﹣1），
点A距离对称轴距离大于点B距离对称轴距离，
∴m＜n，
故②正确．
③∵图象对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴一个交点为（8，0），
∴图象与x轴的另一交点横坐标为2×2﹣8＝﹣4，
故③正确．
④由图象可得当x＝0时y＝8，x＝5.5时y＝m，x＝2时y＝9，
∴0＜x＜5.5时，m＜y≤9．
故④错误．
故选：C．
3．解：∵二次函数y＝x2+mx+n的对称轴为x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∵点（﹣5，y1）（﹣3，y2）在此函数的图象上，
∴y1＞y2，
故选：A．
4．解：①若m＝0，则函数y＝2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；
②若m≠0，则函数y＝mx2+2x+1，是二次函数．
根据题意得：△＝4﹣4m＝0，
解得：m＝1．
故m为0或1．
故选：C．
5．解：函数的对称轴为：x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），
则另外一个交点坐标为：（﹣3，0），
故：y＜0时，x＜﹣3或x＞1，
故选：B．
6．解：从图象可以看出，﹣1≤x≤2时，抛物线的函数值大于一次函数的值，
故选：B．
7．解：方程（x﹣1）（x﹣2）＝30，
整理，得x2﹣3x﹣28＝0
解得x1＝﹣4，x2＝7
因为方程的两实根分别为α、β，且α＜β，
所以α＝﹣4，β＝7
所以α＜1＜2＜β．
故选：D．
8．解：由﹣x2﹣1＜0得，x2+1＜，
∵点A的横坐标为1，如图所示，
∴不等式的解集是0＜x＜1．
故选：C．
9．解：∵二次函数y＝﹣x2+1，
当x＝0时，y＝1，
当y＝0时，﹣x2+1＝0，
∴x＝±1，
∴二次函数y＝﹣x2+1的图象与坐标轴的简单坐标为：（0，1），（1，0），（﹣1，0），
∴这三个交点围成的三角形的面积为：×1×2＝1，
而所求面积大于这个三角形的面积，
∴图象与x轴所围成的阴影部分的面积与其最接近的值为，
故选：B．
10．解：∵y＝ax2+bx+c的图象顶点纵坐标为8，向下平移9个单位即可得到y＝ax2+bx+c﹣9的图象，
此时，抛物线与x轴无点，
∴方程ax2+bx+c﹣9＝0无实数根．
故选：D．
11．解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，如果b＝0，那么此二次函数与两坐标轴的其中一个交点重合了，那么就只有2个交点，则于题意不符，
∴，
解得b＜1且b≠0．
故选：A．
12．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，
故x应取对应的范围为：6.18＜x＜6.19，
故选：C．
13．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝4时，y＝﹣x2+4x＝﹣16+16＝0，
当x＝2时，y＝4，
在1＜x＜4时有公共点时
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜4时有公共点时，0＜t≤4，
故答案为0＜t≤4．
14．解：∵函数的对称轴为x＝1，抛物线和x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（3，0），
则根据函数图象，当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3，
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
15．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴ax2+c＞mx+n的解集是x＜﹣1或x＞3，
∴ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3，
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
16．解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
17．解：设点A的坐标为（﹣a，0），点B的坐标为（3a，0）．
由根与系数的关系可知：﹣a+3a＝2（m﹣1），﹣a 3a＝﹣（m+1），
整理得：a＝m﹣1，3a2＝m+1
将a＝m﹣1代入得：3（m﹣1）2＝m+1．
解得：m＝2或m＝（舍去）．
故答案为：2．
18．解：∵直线y＝mx+n与直线y＝﹣mx+n关于y轴对称，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，
∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故答案为：x＜﹣3或x＞1．
19．解：∵x＝﹣2，y＝﹣3；x＝0时，y＝﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）．
故答案为（1，0）．
20．解：∵x＝﹣3，x＝﹣1的函数值都是﹣5，相等，
∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，
∵x＝﹣4时，y＝﹣2，
∴x＝0时，y＝﹣2，
∴方程ax2+bx+c＝﹣2的解是x1＝﹣4，x2＝0．
故答案为：x1＝﹣4，x2＝0．
21．解：∵由函数图象可知，当x＝1，3时，y＝0，
令t＝x﹣2，
∴a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝at2+bt+c＝0的解为：
t＝1或3，
解得x＝3或5，
∴不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为x＜3或x＞5．
故答案为：x＜3或x＞5．
22．方法一解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴a＞0．
﹣＝﹣3，即b2＝12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，
∴m的最大值为3，
方法二：解：一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则二次函数y＝ax2+bx的图象与直线y＝﹣m有交点，
由图象得，﹣m≥﹣3，解得m≤3，
∴m的最大值为3，
故答案为3．
23．解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），
∴当y＝0时，x1＝，x2＝﹣a，
∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且＜m＜1，
∴当a＞0时，＜＜1，解得1＜a＜2；
当a＜0时，＜﹣a＜1，解得﹣1＜a＜﹣．
故答案为：1＜a＜2或﹣1＜a＜﹣．
24．解：∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴交点个数为O．
故答案为0．
25．解：∵关于x的二次函数y＝ax2+2x﹣5的图象与x轴有两个交点，
∴△＝4+20a＞0，
解得a＞﹣．①
又∵有一个交点的横坐标在0和1之间（不含0和1），
∴当x＝0时，y＜0．
当x＝1时，y＞0，
即a﹣3＞0，
解得a＞3．②
结合①②得到：a＞3．
故答案为：a＞3．
26．解：（1）将x＝4，代入到y＝|x（x﹣8）|中，
得：y＝|4×（4﹣8）|＝16，
∴m＝16，
故答案为：16；
（2）如图：
（3）当x＞8时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
（4）①|x（x﹣8）|＝0，
x＝0或8，
故答案为：0或8；
②当x＞8时，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，
故答案为：＜；
③|x（x﹣8）|＝a有4个解，则a＞0，
∴方程可变为：x（x﹣8）＝a和x（x﹣8）＝﹣a，
这两个方程均有两个不相等的实数根，
有82+4a＞0，82﹣4a＞0，
解得：0＜a＜16，
故答案为：0＜a＜16；
④y＝|x（x﹣8）|＝|（x﹣4）2﹣16|，
∵2≤x≤10，
此时（x﹣4）2﹣16的最小值为﹣12，最大值为20，
所以y＝|x（x﹣8）|的最小值为0，最大值为20，
即0≤y≤20，
故答案为：0≤y≤20．
27．（1）证明：∵△＝4m2﹣4（2m﹣1）
＝4m2﹣8m+4
＝4（m﹣1）2≥0，
所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）证明：y＝x2﹣2mx+2m﹣1＝（x﹣m）2﹣（m﹣1）2，
二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1的顶点坐标为（m，﹣（m﹣1）2）
当x＝m时，y＝﹣（x﹣1）2＝﹣（m﹣1）2，
所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上；
（3）当y＝﹣1时，y＝﹣（x﹣1）2＝﹣1，解得x1＝0，x2＝2，
当a+2≥0且a≤2时，线段AB与函数y＝﹣（x﹣1）2的图象有公共点，
所以a的范围为﹣2≤a≤2．
故答案为﹣2≤a≤2．
28．解：【问题】
将点（0，0）代入y＝a（x﹣2）2﹣4，得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
则抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣4，
令y＝0得（x﹣2）2﹣4＝0，
解得x1＝0、x2＝4，
∴点A坐标为（4，0），
故答案为：1、（4，0）；
【操作】
因为翻折后抛物线与原抛物线开口方向相反、形状相同，且新抛物的顶点坐标为（2，4），
所以翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式y＝﹣（x﹣2）2+4，
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+4；
【探究】
在图2中，新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞4，
故答案为：0＜x＜2或x＞4；
【应用】
（1）令y＝0得（x﹣h）2﹣4＝0，
解得：x1＝h+2、x2＝h﹣2，
∴点A（h﹣2，0）B（h+2，0）；
（2）∵当1＜x＜2时，新图象的函数值y随x的增大而增大，
∴h﹣2≤1且2≤h或h+2≤1，
解得：2≤h≤3或h≤﹣1．
29．解：（1）函数y＝﹣x的自变量x的取值范围是：x≠0，
故答案为：x≠0；
（2）把x＝4代入y＝﹣x得，y＝﹣×4＝﹣，
∴m＝﹣，
（3）如图所示
，
（4）当x＞0时，y随x的增大而减小；
故答案为当x＞0时，y随x的增大而减小；
（5）由图象，得
x1＝0.8，x2＝﹣1.2，x3＝﹣3.9．
故答案为：x1＝0.8，x2＝﹣1.2，x3＝﹣3.9．
30．解：（1）由二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，﹣3）两点，
得，
解得．
则抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，或y＝（x﹣3）（x+1），
则该抛物线与x轴的交点坐标是：A（﹣1，0），B（3，0）；
（3）根据图象知，当﹣1＜x＜3时，y＜0；
（4）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴△ABC的面积是：AB OC＝×4×3＝6．

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