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1.1等腰三角形
一．选择题
1．已知一个等腰三角形的底角为50°，则这个三角形的顶角为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
2．若等腰三角形的周长为26cm，底边为11cm，则腰长为（　　）
A．11cm B．11cm或7.5cm
C．7.5cm D．以上都不对
3．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（　　）
A．三角形中有一个内角小于或等于60°
B．三角形中有两个内角小于或等于60°
C．三角形中有三个内角小于或等于60°
D．三角形中没有一个内角小于或等于60°
5．下列说法：
（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；
（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；
（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．
其中不正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在△ABC中，AB＝AC，那么在这个三角形中，三线重合的线段是（　　）
A．∠A的平分线，AB边上的中线，AB边上的高
B．∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高
C．∠B的平分线，AC边上的中线，AC边上的高
D．∠C的平分线，AB边上的中线，AB边上的高
7．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中的等腰三角形共有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在∠ECF的边CE上有两点A、B，边CF上有一点D，其中BC＝BD＝DA且∠ECF＝27°，则∠ADF的度数为（　　）
A．54° B．91° C．81° D．101°
9．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，则下列结论错误的是（　　）
A．∠CED＝30° B．∠BDE＝120° C．DE＝BD D．DE＝AB
10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
二．填空题
11．如图，已知：AB＝AC，D是BC边的中点，则∠1+∠C＝　 　度．
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　．
13．一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则三角形底边长为　 　．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　 　个．
15．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．
17．如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝2cm，求DF的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B＝∠DEF；
（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
参考答案
一．选择题
1．已知一个等腰三角形的底角为50°，则这个三角形的顶角为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
解：180°﹣50°×2
＝180°﹣100°
＝80°．
故这个三角形的顶角的度数是80°．
故选：C．
2．若等腰三角形的周长为26cm，底边为11cm，则腰长为（　　）
A．11cm B．11cm或7.5cm
C．7.5cm D．以上都不对
解：∵11cm是底边，
∴腰长＝（26﹣11）＝7.5cm，
故选：C．
3．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴AD是BC的线段垂直平分线，
∵E是AD上一点，
∴EB＝EC，
∴∠EBD＝∠ECD，
∵∠CED＝50°，
∴∠ECD＝40°，
又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，
∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，
故选：C．
4．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（　　）
A．三角形中有一个内角小于或等于60°
B．三角形中有两个内角小于或等于60°
C．三角形中有三个内角小于或等于60°
D．三角形中没有一个内角小于或等于60°
解：用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
第一步应先假设三角形中没有一个内角小于或等于60°，
故选：D．
5．下列说法：
（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；
（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；
（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．
其中不正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，∴（1）错误；
如图：
∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，
∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．
在△BDC和△CEB中
∴△BDC≌△CEB（SAS）．
∴BD＝CE，∴（2）正确；
如图：
∵在△ABD中，∠BDA＝90°，则AC＝AB＞BD，
∴等腰三角形的腰一定大于其腰上的高，
当该三角形是等腰直角三角形时，等腰三角形的腰等腰该腰上的高，∴（3）错误；
∵等腰三角形的一边长为8，一边长为16，
∴只能三边是16，16，8，
∴它的周长是40，∴（4）错误；
故选：C．
6．在△ABC中，AB＝AC，那么在这个三角形中，三线重合的线段是（　　）
A．∠A的平分线，AB边上的中线，AB边上的高
B．∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高
C．∠B的平分线，AC边上的中线，AC边上的高
D．∠C的平分线，AB边上的中线，AB边上的高
解：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠A是顶角，
∴∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高相互重合．
故选：B．
7．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中的等腰三角形共有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴△ABC是等腰三角形．
∴∠C＝∠ABC＝72°．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°＝∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
即共有3个等腰三角形．
故选：B．
8．如图，在∠ECF的边CE上有两点A、B，边CF上有一点D，其中BC＝BD＝DA且∠ECF＝27°，则∠ADF的度数为（　　）
A．54° B．91° C．81° D．101°
解：∵BC＝BD＝DA，
∴∠C＝∠BDC，∠ABD＝∠BAD，
∵∠ABD＝∠C+∠BDC，∠ECF＝27°，
∴∠ADF＝∠C+∠BAD＝3∠ECF＝81°．
故选：C．
9．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，则下列结论错误的是（　　）
A．∠CED＝30° B．∠BDE＝120° C．DE＝BD D．DE＝AB
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°，
∴∠DBC＝∠DEC＝30°，故选项A不符合题意，
∴DB＝DE，∠BDE＝120°，故选项B，C都不符合题意，
故选：D．
10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
二．填空题
11．如图，已知：AB＝AC，D是BC边的中点，则∠1+∠C＝　90　度．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠1+∠B＝90°，
∴∠1+∠C＝90°．
故答案为：90．
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　45°或135°　．
解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝45°，
∴∠A＝45°，
即顶角的度数为45°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BAC＝135°．
故答案为45°或135°．
13．一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则三角形底边长为　13cm或9cm　．
解：∵等腰三角形的周长是15+18＝33cm，
设等腰三角形的腰长为xcm、底边长为ycm，由题意得
或
解得或．
∴等腰三角形的底边长为13cm或9cm．
故答案为：13cm或9cm．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　6　个．
解：如图，
①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA＝PB），交直线BC于点P2；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB＝AP）；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP＝BA）．
故符合条件的点有6个．
故答案为：6．
15．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝　100°　．
解：延长BD交AC于E．
∵DA＝DB＝DC，
∴∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°．
又∵∠BAE＝∠BAD+∠DAC＝50°，
∠BDC＝∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE，
∴∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD＝20°+50°+30°＝100°．
故答案为：100°．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．
解：∵BD＝CD，
∴∠BCD＝∠CBD，
设∠BCD＝∠CBD＝x°，
∵AB＝BC＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠BCD+∠CBD＝2x°，∠A＝∠C＝x°，
∴∠ABC＝3∠C＝3x°，
∵∠B+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180，
解得x＝36，
∴∠C＝36°
∴∠ABC＝3∠C＝108°．
17．如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝2cm，求DF的长．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝2（cm），
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4（cm）．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）求证：∠B＝∠DEF；
（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC＝∠BDE，
∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B
（3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，
∴∠DEF＝∠B，
∴AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠DEF＝∠B＝＝70°．

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