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相似形
一、怎样解相似三角形的判定问题
相似二角形的判定方法:
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这是判定两个三角形相似的最基本的一个定理。www.21-cn-jy.com
(2)两个三角形相似个三角形机发;
①三边成比例的两个三角形相似
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;
③两角分别相等的两个三角形相似。
判定两个三角形相似需要根据条件选择方法，有时条件不具备，需从以下儿个方面探求:
(1)条件书若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形:
(2)两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例
(3)两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例;
(4)条件中告有一组直角，可再找一组等角或两边成比例.
解决相似三角形的判定问题时，要根据题目中的已知条件或隐含条件选择合适的判定方法
例题1
（2021·扬州市梅岭中学）如图,在中,,点D为BC上一点,且,过A B D三点作,AE是的直径,连接DE．21·世纪*教育网
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（1）求证:AC是的切线;
（2）若,,求直径．
【答案】（1）见解析;（2）
【详解】
（1）证明:∵,,∴,
又∵,∴,
∵AE是的直径,∴,
∴,∴,
∴AC是的切线．
（2）
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解:如图,过点D作于点F,
∵,,∴,
∵
∴在中,,,
∴ ,
∵,,
∴,
∴,即 ,解得: ,
∴直径为 ．
例题2
（2021·蒙城县庄子体育艺术中等专业学校九 ( http: / / www.21cnjy.com )年级其他模拟）在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且AD＝AE，连接DC，点M、N分别为DE、BC的中点．21·cn·jy·com
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（1）如图①，若点P为DC的中点，连接MN、PM、PN．
①求证：PM＝PN；
②求证：△ADE∽△PNM；
（2）如图②，若点D在BA的延长线上，点P为EC的中点，求的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）．
【详解】
（1）①证明：∵点P，N分别是CD，BC的中点，
∴，，
∵点P，M分别是CD，DE的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
②证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又由①知，
∴为等腰直角三角形，
又∵为等腰直角三角形，
∴∽；
（2）解：如图，连接，
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∵，，，
∴≌，
∴，，
∵点M、N、P分别为DE，BC，EC中点，
∴，，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
例题3
（2021·江苏镇江市·）如图，已知．
（1）添加条件______（答案不唯一，写出一个即可），使得；
（2）由（1），你还能得到哪两个三角形相似？说明理由．
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【答案】（1）（答案不唯一）；（2），见解析
【详解】
解：（1）添加的条件是∠BAC＝∠DAE，
∵，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
故答案为：∠BAC＝∠DAE（答案不唯一）；
（2）△AOE∽△COD，
理由是：∵△ABC∽△ADE，
∴∠E＝∠C，
∵∠AOE＝∠COD，
∴△AOE∽△COD．
二、怎样解运用相似三角形性质的问题
解与三角形相似有关的问题时常用到以下性质:
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例。
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
(3)相似三角形周长的比等于相似比，相似多边形周长的比等于相似比.
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似多边形面积的比等于相似比的平方。
在三角形中求边长或面积时，常常运用相似三角形的这些性质
例题1
（2021·全国九年级专题练习）如图，中，为斜边上的高，E为的中点，的延长线交于F，交于G，求证：FG2＝FC FB．2·1·c·n·j·y
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【答案】见解析
【详解】
证明：延长AC，GF相交于点H，
∵FG⊥AB（已知）
∴∠FGB＝90°（垂直的定义）
∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠FGB＝∠ACB（等量代换）
∵∠1＝∠2（对顶角相等）
∴△HCF∽△BGF（两角对应相等的两个三角形相似）
∴（相似三角形对应边成比例）
即CF BF＝FG HF（比例的基本性质）
∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知）
∴∠4＝∠5＝90°（垂直的定义）
∴CDHG（同位角相等，两直线平行）
∴∠3＝∠H（两直线平行，同位角相等）
∵∠3＝∠H，∠6＝∠6
∴△ACE∽△AHF（两角对应相等的两个三角形相似）
∴（相似三角形对应边成比例）
∵∠4＝∠5，∠7＝∠7
∴△AED∽△AFG（两角对应相等的两个三角形相似）
∴（相似三角形对应边成比例）
∴（等量代换）
∵E是CD的中点（已知）
∴CE＝DE（中点的定义）
∴FH＝FG
∵CF BF＝FG HF（已证）
∴CF BF＝FG FG
即FG2＝FC FB．
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例题2
（2021·辽宁营口市·九年级一模）已知：如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点的直线与的延长线交于点，且，连接．21cnjy.com
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（1）求证：与相切；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
（1）
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证明：连接，
∵ 为直径，
∴ ，
∴
又∵，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 又为半径，
∴与相切．
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，
∴，
∵，，
∴，
∴ ∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
例题3
（2021·四川攀枝花市·九年级一模）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，连接EC，AB＝m，BC＝n，m＞．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）若m＝3，n＝4，连接AC，CE平分∠ACD，求DE的长；
（2）若E为AD中点，过点E作EF⊥EC交AB于F点，连接FC，
①补全图形并证明：EF平分∠AFC；
②当△AEF与△BFC相似时，求的值．
【答案】（1）；（2）①见解析；②．
【详解】
解：（1）如图，过点作于点，
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四边形是矩形，
平分
中，根据勾股定理得，
；
（2）①如图，延长和交于点，
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是的中点
为的中点，
是的垂直平分线
EF平分∠AFC；
②若，则，这与题目相矛盾，
即
当△AEF△BCF相似时，
,
由①可知，，
．
三、怎样解位似图形问题
如果两个平面图形不仅相似，而且对应顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )的连线或延长线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心,这时的相似比又叫做位似比.
位似图形具有下列性质:
(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于一点，
(3)位似图形对应线段平行或在同一条直线上且成比例，
(4)位似图形的对应角相等.
例题1
（2019·全国九年级单元测试）过梯形对角线的交点，作底的平行线分别交两腰于和，，求：图中的位似图形，并分别指出位似中心和位似比．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为．21世纪教育网版权所有
【详解】
∵，
∴，相似比，
同理可得，相似比，
∵，
∴，相似比，
同理可得，相似比，
∵四边形为梯形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴和是位似图形，点为位似中心，位似比为；
和是位似图形，点为位似中心，位似比为；
和是位似图形，点为位似中心，位似比为；
和是位似图形，点为位似中心，位似比为；
和是位似图形，点为位似中心，位似比为．
例题2
（2020·全国九年级专 ( http: / / www.21cnjy.com )题练习）如图，利用直尺、计算机或图形计算器任意画一个△ABC，以点O为位似中心，自选相似比k，进行位似变换，得到△A'B′C′．度量线段OA，OA′，OB，OB′，OC，OC′的长，你有什么发现？任意改变△ABC的位置，得出的结论是否仍然成立？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】任意改变△ABC的位置，得到△A'B′C′，，△ABC与△A'B′C′的对应边互相平行，任意改变△ABC的位置，得出的结论仍然成立．21教育网
【详解】
解：经测量，OA＝2cm，OA′＝1cm，OB＝3cm，OB′＝1.5cm，OC＝3cm，OC′＝1.5cm，
可以得到，，
∵，,
∴△∽△BOA，
∴，
∴A′B′∥AB，
同理：A′C′∥AC，C′B′∥CB，
∴位似图形的对应边互相平行，
任意改变△ABC的位置，得到△A'B′C′，
仍有，△ABC与△A'B′C′的对应边互相平行，
即随意改变△ABC的位置，得出的结论仍然成立．
例题3
（2019·北京一零一中学双榆树校区）如图，已知B′C′∥BC，C′D′∥CD，D′E′∥DE.
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求证：四边形BCDE位似于四边形B′C′D′E′；
(2)若＝3，S四边形BCDE＝20，求S四边形B′C′D′E′.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）∵B′C′∥BC，C′D′∥CD，D′E′∥DE，
∴，
又∵四边形B′C′D′E′和BCDE中对应顶点的连线相交于点A，
∴四边形B′C′D′E′和BCDE是位似图形；
（2）∵，
∴，
又∵四边形B′C′D′E′和BCDE是位似图形，
∴四边形B′C′D′E′和BCDE的相似比为，
∴S四边形B′C′D′E′：S四边形BCDE=9：16，
又∵S四边形BCDE＝20，
∴S四边形B′C′D′E′=.
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相似形
一、怎样解相似三角形的判定问题
相似二角形的判定方法:
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这是判定两个三角形相似的最基本的一个定理。www.21-cn-jy.com
(2)两个三角形相似个三角形机发;
①三边成比例的两个三角形相似
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;
③两角分别相等的两个三角形相似。
判定两个三角形相似需要根据条件选择方法，有时条件不具备，需从以下儿个方面探求:
(1)条件书若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形:
(2)两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例
(3)两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例;
(4)条件中告有一组直角，可再找一组等角或两边成比例.
解决相似三角形的判定问题时，要根据题目中的已知条件或隐含条件选择合适的判定方法
例题1
（2021·扬州市梅岭中学）如图,在中,,点D为BC上一点,且,过A B D三点作,AE是的直径,连接DE．21教育网
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（1）求证:AC是的切线;
（2）若,,求直径．
例题2
（2021·蒙城县庄子体育艺术中等专业学校 ( http: / / www.21cnjy.com )九年级其他模拟）在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且AD＝AE，连接DC，点M、N分别为DE、BC的中点．21·cn·jy·com
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（1）如图①，若点P为DC的中点，连接MN、PM、PN．
①求证：PM＝PN；
②求证：△ADE∽△PNM；
（2）如图②，若点D在BA的延长线上，点P为EC的中点，求的值．
例题3
（2021·江苏镇江市·）如图，已知．
（1）添加条件______（答案不唯一，写出一个即可），使得；
（2）由（1），你还能得到哪两个三角形相似？说明理由．
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二、怎样解运用相似三角形性质的问题
解与三角形相似有关的问题时常用到以下性质:
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例。
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
(3)相似三角形周长的比等于相似比，相似多边形周长的比等于相似比.
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似多边形面积的比等于相似比的平方。
在三角形中求边长或面积时，常常运用相似三角形的这些性质
例题1
（2021·全国九年级专题练习）如图，中，为斜边上的高，E为的中点，的延长线交于F，交于G，求证：FG2＝FC FB．2·1·c·n·j·y
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例题2
（2021·辽宁营口市·九年级一模）已知：如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点的直线与的延长线交于点，且，连接．21世纪教育网版权所有
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（1）求证：与相切；
（2）当时，求的长．
例题3
（2021·四川攀枝花市·九年级一模）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，连接EC，AB＝m，BC＝n，m＞．21cnjy.com
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（1）若m＝3，n＝4，连接AC，CE平分∠ACD，求DE的长；
（2）若E为AD中点，过点E作EF⊥EC交AB于F点，连接FC，
①补全图形并证明：EF平分∠AFC；
②当△AEF与△BFC相似时，求的值．
三、怎样解位似图形问题
如果两个平面图形不仅相似，而且对应 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点的连线或延长线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心,这时的相似比又叫做位似比.
位似图形具有下列性质:
(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于一点，
(3)位似图形对应线段平行或在同一条直线上且成比例，
(4)位似图形的对应角相等.
例题1
（2019·全国九年级单元测试）过梯形对角线的交点，作底的平行线分别交两腰于和，，求：图中的位似图形，并分别指出位似中心和位似比．
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例题2
（2020·全国九年级专题练习）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )利用直尺、计算机或图形计算器任意画一个△ABC，以点O为位似中心，自选相似比k，进行位似变换，得到△A'B′C′．度量线段OA，OA′，OB，OB′，OC，OC′的长，你有什么发现？任意改变△ABC的位置，得出的结论是否仍然成立？
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（2019·北京一零一中学双榆树校区）如图，已知B′C′∥BC，C′D′∥CD，D′E′∥DE.
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(1)求证：四边形BCDE位似于四边形B′C′D′E′；
(2)若＝3，S四边形BCDE＝20，求S四边形B′C′D′E′.
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