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圆
一、怎样解垂径定理及其应用的问题
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧(优弧与劣弧).平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(优弧与劣弧).在应用垂径定理及其推论进行计算时,通常利用圆的半径r，弦心距d,拱高h，弦长这几个量来构造直角三角形，然后利用勾股定理及r=d+h来求有关量.根据上述公式,在,d,r,h这些量中,知道其中任何两个量就可以求出其余两个量.21教育网
在圆中，一般利用垂径定理,过圆心作弦的垂线段,连接半径，把半径、垂线段及弦的一半构造在一个直角三角形中，以便运用勾股定理求解.21·cn·jy·com
例题1
（2021·黑龙江九年级其他模拟）如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接BC，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA至E，连接CE，使CD＝CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AB＝9，AE＝6，求AD的长．
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例题2
（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学 ( http: / / www.21cnjy.com )校九年级二模）如图，已知AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切于点A，过点B作BD∥OC交⊙O点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．www.21-cn-jy.com
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（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）求证：；
（3）若，，求线段AD的长度．
例题3
（2021·安徽九年级三模）如图，为圆直径，为圆上一点，连接，．
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（1）尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，在（1）的条件下，求的长．
二、怎样解圆周角定理的应用问题
(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同国中可以利用圆周角定理进行角的转化;【来源：21·世纪·教育·网】
(2)在证明圆周角相等或弧相等时,通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”;
(3)当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角
例题1
（2021·吉林省第二实验学校九年级二模）如图，中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，到点停止．同时点从点出发，沿的线路向点运动，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒2个单位长度，到停止，以为边向右或右下方构造等边，设的运动时间为秒，解答下列问题：www-2-1-cnjy-com
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（1）填空：__________，__________．
（2）当在上，落在边上时，求的值．
（3）连结．
①当在边上，与的一边垂直时，求的边长．
②当在边上且不与点重合时，判断的方向是否变化，若不变化，说明理由．
例题2
（2021·杭州市十三中教育集团 ( http: / / www.21cnjy.com )（总校）九年级三模）如图，在△ABC中，BA＝BC．以AB为直径作⊙O分别交BC、AC于D、F两点，点E为AC延长线上一点，连结AD、BE，若∠E＝∠DAC．21·世纪*教育网
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（1）求证：△ADC∽△EBA；
（2）求证：AF＝CF；
（3）若CE＝CF，BD＝1，求⊙O半径．
例题3
（2021·陕西西安市·交大附中分校九年级其他模拟）如图，ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，D是AB上一点，过D作AB的垂线交线段BC于点E．点F在线段DE的延长线上，且满足FC＝FE．21*cnjy*com
（1）求证：CF是⊙O的切线，
（2）当直径AB＝13，EB＝CB，tanA＝时，求线段CF的长．
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三、怎样解弧长公式的应用问题
(1)在利用弧长公式计算弧长时，应首先确定弧所在圆的半径R和弧所对的圆心角的度数n°;
(2)在弧长公式中，已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量
例题1
（2021·长沙市北雅中学九年级二模）如图，在锐角△ABC中，，以BC为直径画⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．21世纪教育网版权所有
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当，时，求劣弧的长．
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例题2
（2021·河北唐山市·九年级三模）如图，在中，，延长到点，使，延长到点，使．以点为圆心，分别以、为半径作大小两个半圆，连结．2·1·c·n·j·y
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（1）求证：；
（2）设小半圆与相交于点，．
①当取得最大值时，求其最大值以及的长；
②当恰好与小半圆相切时，求弧的长．
例题3
（2021·福建九年级其他模拟）如图，在中，，以为直径的交边于点，为中点，连接．
（1）求证：与相切；
（2）为的中点，连接，，若，，求劣弧的长．
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四、怎样解圆锥的侧面展开图问题
在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助“圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即”来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式(其中r为底面圆半径,l为母线长)来解决问题.21cnjy.com
例题1
（2021·全国九年级课时练习）如图所示是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程．
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例题2
（2019·湖南邵阳市·中考真题）如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，
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（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．2-1-c-n-j-y
例题3
（2010·广西河池市·中考真题）如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
解题方法指导
例题演练
解题方法指导
例题演练
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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圆
一、怎样解垂径定理及其应用的问题
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧(优弧与劣弧).平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(优弧与劣弧).在应用垂径定理及其推论进行计算时,通常利用圆的半径r，弦心距d,拱高h，弦长这几个量来构造直角三角形，然后利用勾股定理及r=d+h来求有关量.根据上述公式,在,d,r,h这些量中,知道其中任何两个量就可以求出其余两个量.www-2-1-cnjy-com
在圆中，一般利用垂径定理,过圆心作弦的垂线段,连接半径，把半径、垂线段及弦的一半构造在一个直角三角形中，以便运用勾股定理求解.2-1-c-n-j-y
例题1
（2021·黑龙江九年级其他模拟）如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接BC，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA至E，连接CE，使CD＝CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AB＝9，AE＝6，求AD的长．
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【答案】（1）见解析；（2）7.5
【详解】
（1）证明：连接OC，
∵CD=CE，
∴∠E=∠D=∠B，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴AB∥CE，
∵AB是⊙O的弦，点C是的中点，
∴OC⊥AB，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
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（2）解：连接AC，
∵AD∥BC，AB∥CE，
∴四边形AECB是平行四边形，
∴CE=AB=9，
∵AB是⊙O的弦，点C是的中点，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠B=∠D，
∵AB∥CE，
∴∠ACE=∠CAB，
∴∠ACE=∠D，
又∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△ECD
∴，
∴,
解得AD=7.5．
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例题2
（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学 ( http: / / www.21cnjy.com )校九年级二模）如图，已知AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切于点A，过点B作BD∥OC交⊙O点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．21*cnjy*com
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（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）求证：；
（3）若，，求线段AD的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【详解】
解：（1）∵直线AC与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AC，即，
∵AB是⊙O的直径，
∴，即BD⊥AD，
∵BD∥OC，
∴OC⊥AD，
∴AC=CD，
∵OA=OD，OC=OC，
∴△AOC≌△DOC，
∴，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵，
∴，，
∵OB=OD，
∴，
∴，
又∵，
∴△EDB∽△EAD，
∴；
（3）∵，
∴，
∵OC⊥AD，
∴，
∴，
∴，即，
∴设BD=x，则AD=2x， ，
∵△EDB∽△EAD，
∴，
∴，
解得x=，
∴．
例题3
（2021·安徽九年级三模）如图，为圆直径，为圆上一点，连接，．
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（1）尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，在（1）的条件下，求的长．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【详解】
解：（1）如图，作BC的垂直平分线，与圆O的交点即为的中点：
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（2）连接BD，如图：
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∵，，为圆直径，
∴，，
∴，
∴，
∴．
二、怎样解圆周角定理的应用问题
(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同国中可以利用圆周角定理进行角的转化;21·世纪*教育网
(2)在证明圆周角相等或弧相等时,通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”;
(3)当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角
例题1
（2021·吉林省第二实验学校九年级二模）如图，中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，到点停止．同时点从点出发，沿的线路向点运动，在边上的速度为每秒个单位长度，在边上的速度为每秒2个单位长度，到停止，以为边向右或右下方构造等边，设的运动时间为秒，解答下列问题：【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）填空：__________，__________．
（2）当在上，落在边上时，求的值．
（3）连结．
①当在边上，与的一边垂直时，求的边长．
②当在边上且不与点重合时，判断的方向是否变化，若不变化，说明理由．
【答案】（1）1，；（2）；（3）①或；②BR的方向不变，∠QBR=60°，理由见解析
【详解】
解：（1）∵中，，，，
∴
∴，
故答案为：1，；
（2）如图：过点Q作QD⊥AB于D，
由题意可得，，
∴ ，
∴，
∴
∴此时D，P重合，
∴∠QPA=90°，，
∵三角形QPR是等边三角形，
∴，∠QPR=60°，
∴∠RPB=30°，
又∵∠B=180°-∠C-∠A=60°，
∴∠PRB=90°
∴，
∵，
∴，
解得
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（3）①由（2）可得QP⊥AB，当点R在BC上时，此时BR⊥AC，
∴此时，∠QPA=90°，
∴此时
如图当BR⊥AB时即∠PBR=90°
由（2）得，，
∴，
∵三角形QPR是等边三角形，
∴∠QPR=60°，QP=PR，
∴∠RPB=30°，
∴PR=2RB，
又∵即，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴
∴综上所述，△PQR的边长为或；
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②BR的方向不变，理由如下：
如图所示：
∵△QPR是等边三角形，
∴∠QRP=60°，
∵∠ABC=90°-∠A=60°，
∴∠QBP=∠QRP=60°，
∴Q、P、B、R四点共圆，
∴∠QBR=∠QPR=60°，
∴BR的方向不变．
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例题2
（2021·杭州市十三中教 ( http: / / www.21cnjy.com )育集团（总校）九年级三模）如图，在△ABC中，BA＝BC．以AB为直径作⊙O分别交BC、AC于D、F两点，点E为AC延长线上一点，连结AD、BE，若∠E＝∠DAC．21世纪教育网版权所有
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（1）求证：△ADC∽△EBA；
（2）求证：AF＝CF；
（3）若CE＝CF，BD＝1，求⊙O半径．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）⊙O半径为
【详解】
证明：（1）∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵∠E＝∠CAD，
∴△ADC∽△EBA，
（2）如图，连接BF，
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∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
又∵AB＝BC，
∴AF＝CF；
（3）由（2）知，AF＝CF，
∵CE＝CF，
∴AE＝AF+CF+CE＝3AF，
∵AB＝BC，∠AFB＝90°，
∴AC＝2AF，
∴，
由（1）知，△ADC∽△EBA，
∴，
∵BD＝1，AB＝BC，
∴，
∴AB＝3，
∴⊙O半径为AB＝．
例题3
（2021·陕西西安市·交大附中分校九年级其他模拟）如图，ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，D是AB上一点，过D作AB的垂线交线段BC于点E．点F在线段DE的延长线上，且满足FC＝FE．www.21-cn-jy.com
（1）求证：CF是⊙O的切线，
（2）当直径AB＝13，EB＝CB，tanA＝时，求线段CF的长．
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【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
解：（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∵CF＝EF，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠BED＝∠FEC，
∴∠BED＝∠FCE，
∵DF⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠B+∠BED＝90°，
∴∠OCB+∠FCE＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝13，tanA＝
∴设BC＝12x，AC＝5x，
∴AB＝13x＝13，
∴x＝1，
∴BC＝12，AC＝5，
∵EB＝CB，
∴BE＝4，
∵∠ACB＝∠BDE＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
∴
∴DE＝，
过F作FH⊥CE于H，
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∵CF＝EF，
∴EH＝CE＝4，
∵∠EHF＝∠BDE＝90°，∠FEH＝∠BED，
∴△EFH∽△EBD，
∴
∴，
∴EF＝，
∴CF＝EF＝．
三、怎样解弧长公式的应用问题
(1)在利用弧长公式计算弧长时，应首先确定弧所在圆的半径R和弧所对的圆心角的度数n°;
(2)在弧长公式中，已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量
例题1
（2021·长沙市北雅中学九年级二模）如图，在锐角△ABC中，，以BC为直径画⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．21教育网
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当，时，求劣弧的长．
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【答案】（1）见详解；（2）
【详解】
（1）证明：连接OD，BD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵AB=BC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠ABD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
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（2）解：∵BD⊥AC，AB＝BC，
∴AD＝CD，
∵AC＝4AE，
∴AD＝2AE，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OD=OC，
∴△OCD为等边三角形，
在Rt△ADE中，根据勾股定理AD2=DE2+AE2，
∵，
∴（2AE）2=（）2+AE2，
解得AE=1，
∴AD＝CD＝2AE＝2，
∴劣弧的长．
例题2
（2021·河北唐山市·九年级三模）如图，在中，，延长到点，使，延长到点，使．以点为圆心，分别以、为半径作大小两个半圆，连结．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）求证：；
（2）设小半圆与相交于点，．
①当取得最大值时，求其最大值以及的长；
②当恰好与小半圆相切时，求弧的长．
【答案】（1）见解析；（2）①4，；②
【详解】
解：（1）在和中，
，
∴；
∴，
（2）①当时，取得最大值，
最大值，
在中，，
∴；
②当恰好与小半圆相切时，，
∵在中，，∴，∴，∴，
∴，
∴弧的长．
例题3
（2021·福建九年级其他模拟）如图，在中，，以为直径的交边于点，为中点，连接．
（1）求证：与相切；
（2）为的中点，连接，，若，，求劣弧的长．
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【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
（1）证明：如图，连接，．
∵为的直径，
∴，
∴．
∵在中，为的中点，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵，
∴，即．
∴是的切线，即DE与 相切．
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（2）解：如解图，连接，过点作，垂足为．
∵，
∴中，．
∴．
∴，∠BOD=2∠BAD=120°．
在中，
．
∵为的中点，
∴FO⊥AB．
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
∴
四、怎样解圆锥的侧面展开图问题
在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助“圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即”来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式(其中r为底面圆半径,l为母线长)来解决问题.2·1·c·n·j·y
例题1
（2021·全国九年级课时练习）如图所示是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程．
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【答案】（1）圆锥；（2）16π；（3）3
【详解】
解：（1）由该几何体的三视图可知：这个几何体是圆锥；
（2）由图中数据可知：这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，
∴S表＝S侧＋S底＝π r l＋π r2＝12π＋4π＝16π(cm2)；
（3）如下图所示，将圆锥侧面沿AB展开，则图中线段BD′为所求最短路程．
设∠BAB′的度数为n，则由可得：
，解得：，
∵点C′为的中点，
∴∠BAC′=60°，
又∵AB=AC′，
∴△ABC′是等边三角形，
又∵D′是AC′的中点，
∴∠AD′B=90°，
∴sin∠BAD′=，
∴BD′=AB·sin60°=6×=（cm），
∴蚂蚁爬行的最短路程是cm.
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例题2
（2019·湖南邵阳市·中考真题）如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，
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（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．21cnjy.com
【答案】（1）；（2）.
【详解】
∵在等腰中，，
∴，
∵AD是的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积.
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得，解得，
这个圆锥的高．
例题3
（2010·广西河池市·中考真题）如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．21·cn·jy·com
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（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）过O作OE⊥AB于E，则AE=AB=2．
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在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=．
∴OA==4．
又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．
∵AC⊥BD，∴．
∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．
∴S阴影=．
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，
∴．
∴．
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