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统计与概率
一、怎样解平均数、中位数和众数问题
平均数、中位数和众教都反 ( http: / / www.21cnjy.com )映了一组数据的集中趋势，平均教的大小与这组数据中的每个数据都有关，中位数与数据的排列顺序有关，众数主要研究各数据出现的次数.
在实际问题的情境中选择恰当的数据代表对数据 ( http: / / www.21cnjy.com )作出评判或决策,有时需要根据题目给出的数据代表(如“从平均数和众数相结合看”)对数据作出评判.其中平均数易受极端数值的影响，在一组数据中，如果个别数据对平均数影响大，则常选中位数或众数作为数据的代表.
例题1
（2021·天津中考真题）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．www.21-cn-jy.com
根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
( http: / / www.21cnjy.com / )
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为________，图①中m的值为_______；
（Ⅱ）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．
【答案】（Ⅰ）50，20；（Ⅱ）这组数据的平均数是5.9；众数为6；中位数为6．
【详解】
（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数=，
由题意可知 ，
解得．
故答案为50，20．
（Ⅱ）观察条形统计图，
∵，
∴这组数据的平均数是5.9．
∵在这组数据中，6出现了16次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为6．
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6，
即有，
∴这组数据的中位数为6．
例题2
（2015·天津中考真题）某商 ( http: / / www.21cnjy.com )场服装部分为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组销售额的数据，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：2·1·c·n·j·y
（1）该商场服装营业员的人数为 ，图①中m的值为 ；
（2）求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）25；28；（2）平均数：18.6；众数：21；中位数：18．
【详解】
解：（1）根据条形图2+5+7+8+3=25（人），
m=100-20-32-12-8=28；
故答案为：25；28；
（2）观察条形统计图，
∵
∴这组数据的平均数是18.6．
∵在这组数据中，21 出现了8次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是21．
∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是18，
∴这组数据的中位数是18．
例题3
（2021·浙江温州市·中考真题）某校将学生体质健康测试成绩分为，，，四个等级，依次记为4分，3分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况，拟抽样进行统计分析．
（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：
小红：“我想随机柚取七年级男、女生各60人的成绩．”
小明：“我想随机柚取七、八、九年级男生各40人的成绩．”
根据右侧学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．
如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．
学校共有七、八、九三个年级学生近千人，各段人数相近，每段男、女生人数相当，．．．．．
（2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如下统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．
某校部分学生体质健康测试成绩统计图
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）两人都能根据学校信息合理 ( http: / / www.21cnjy.com )选择样本容量进行随机抽样．小红的方案考虑到了性别差异，但没有考虑年级段特点；小明的方案考虑到了年级段特点，但没有考虑性别差异．（其他合理表述也可）；抽样方案：七、八、九年级各取40人，且男女生人数各20人．（2）平均数：2.75分，中位数：3分，众数：3分21教育网
【详解】
解：（1）两人都能根据学 ( http: / / www.21cnjy.com )校信息合理选择样本容量进行随机抽样．小红的方案考虑到了性别差异，但没有考虑年级段特点；小明的方案考虑到了年级段特点，但没有考虑性别差异．（其他合理表述也可）【来源：21·世纪·教育·网】
故更全面的抽样方案为：七、八、九年级各取40人，且男女生人数各20人．
（2）平均数：（分）．
从小到大进行排列，第60位和61位的平均数为3分，故中位数为：3分．
出现次数最多的是B等级，即3分，故众数为：3分．
二、怎样解统计图问题
常用的统计图有扇形统计图、 ( http: / / www.21cnjy.com )条形统计图和折线统计图.扇形统计图能清晰地体现出各部分占总体的百分比,条形统计图能得到每小组的频数,折线统计图能看出数据的变化趋势，解决问题时要根据需要选择合适的统计图.21·世纪*教育网
例题1
（2020·云南中考真题）某公司员工的月工资如下：
员工 经理 副经理 职员 职员 职员 职员 职员 职员 杂工
月工资/元 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200
( http: / / www.21cnjy.com / )
经理、职员、职员从不同的角度描述了该公司员工的收入情况．设该公司员工的月工资数据（见上述表格）的平均数、中位数、众数分别为、、，请根据上述信息完成下列问题：21*cnjy*com
（1）___________，_________，_________；
（2）上月一个员工辞职了，从本 ( http: / / www.21cnjy.com )月开始，停发该员工工资．若本月该公司剩下的8名员工的月工资不变，但这8名员工的月工资数据（单位：元）的平均数比原9名员工的月工资数据（见上述表格）的平均数减小了．你认为辞职的那名员工可能是___________．
【答案】（1）2700；1900；1800；（2）经理或副经理
【详解】
（1）依题意可得平均数k=2700；
中位数m=1900；
n=1800；
故答案为：2700；1900；1800；
（2）∵辞职一人后平均数减小，
∴辞职的员工工资大于平均数，
故辞职的那名员工可能是经理或副经理．
例题2
（2021·河南三门峡市·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )二模）为了响应全民阅读的号召，某社区开展了为期一年的“读书伴我行”阅读活动，在阅读活动开展之初，随机抽取若干名社区居民，对其年阅读量(单位：本)进行了调查统计与分析，结果如下：【来源：21cnj*y.co*m】
平均数 中位数 众数 最大值 最小值 方差
6.9 7.5 8 16 1 18.69
经过一年的“读书伴我行”阅读活动，某社区再次对这部分居民的年阅读量进行调查，并对收集的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．【版权所有：21教育】
a．居民的年阅读量统计表如下：
阅读量 2 4 5 8 9 10 11 12 13 16 21
人数 5 5 5 3 2 m 5 5 3 7 n
b．分组整理后的居民阅读量统计表、统计图如下：
组别 阅读量/本 频数
15
13
c．居民阅读量的平均数、中位数、众数、最大值、最小值、方差如下：
平均数 中位数 众数 最大值 最小值 方差
10.4 10.5 q 21 2 30.83
根据以上信息，回答下列问题：
(1)样本容量为______；
(2)_____；_____；______；
(3)根据社区开展“读书伴我行”阅读活动前、后随机抽取的部分居民阅读量的两组调查结果，请至少从两个方面对社区开展阅读活动的效果进行评价．21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】(1)50；(2)5、24、16；(3)见解析.
【详解】
(1)样本容量为，
故答案为50；
(2)∵这50个数据的中位数是第25、26个数据的平均数，且中位数为10.5，
∴，
则的人数，
∴，即，，
故答案为5、24、16；
(3)从平均数看，“读书伴我行”阅读活动后总体阅读数量有了明显增加；
从方差看，“读书伴我行”阅读活动后阅读数量两级分化扩大(答案不唯一)．
例题3
（2020·江苏南京市·九年级月考）一销 ( http: / / www.21cnjy.com )售某品牌冰箱的公司有营销人员10人，销售部为制定营销人员月销售冰箱定额(单位:台)，统计了10人某月的销售量如下表：
每人销售台数 4 5 8 12 16 19
人数 1 1 4 2 1 1
（1）求这10名营销人员该月销售冰箱的平均数、众数和中位数；
（2）如果想让一半以上的营销人员都能达到月销售目标，你认为(1)中的平均数、中位数哪个最适合作为月销售目标 请说明理由．【出处：21教育名师】
【答案】（1）平均数为10台，众数为8台，中位数是8台；（2）中位数最适合作为月销售目标，理由详见解析21*cnjy*com
【详解】
（1）平均数：（台）
8台出现了4次，次数最多，所以众数为8台，
10个数据按从小到大的顺序排列后，第5第6个数都是8，所以中位数是8台；
（2）中位数最适合作为月销售目标．
因为在这10人中，月销售量不低于平均数10台的只有4人，月销售不低于中位数8台的有8人，
所以想让一半以上的销售人员达到月销售目标，（1）中的中位数最适合作为月销售目标．
三、怎样解用列举法求概率的问题
画树状图或列表是列举所有机会均等的结 ( http: / / www.21cnjy.com )果的重要方法，通过画树状图或列表,把所有机会均等的结果一一列出,有利于帮助我们分析问题，并且可以避免出现重复和遗漏。
例题1
（2021·山东烟台市·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级一模）甲、乙两班各选5名同学分别组成代表队参加学校组织的“汉字英雄”选拔赛，现根据成绩（满分10分）制作如下统计图和统计表（尚未完成）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
甲、乙两班代表队成绩统计表：
平均数 中位数 众数 方差
甲班 8.5 8.5
乙班 8.5 10 1.6
请根据有关信息解决下列问题：
（1）填空：__________，__________，__________；
（2）学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派_______班代表队参加市比赛会更好；（填“甲”或“乙”）www-2-1-cnjy-com
（3）现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市“汉字英雄”个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲，乙班各一个学生的概率．2-1-c-n-j-y
【答案】（1）8；8.5；0.7；（2）甲；（3）见解析，
【详解】
解：（1）乙班5名同学的成绩排序为：7，7.5，8，10，10，
∴乙班5名同学成绩的中位数为8（分），
∵甲班5名同学的成绩中8.5分出现的次数最多，
∴b=8.5，
甲班5名同学的成绩的平均数为：(8.5+7.5+8+8.5+10)=8.5（分），
∴c= [(8.5-8.5)2+(7.5-8.5)2+(8-8.5)2+(8.5-8.5)2+(10-8.5)2]=0.7，
故答案为：8，8.5，0.7；
（2）现应选派甲班代表队参加市比赛会更好，理由如下：
从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．
故答案为：甲；
（3）列表如下：
甲 乙1 乙2
甲 ﹣﹣﹣ 乙1 甲 乙2 甲
乙1 甲 乙1 ﹣﹣﹣ 乙2乙1
乙2 甲 乙2 乙1乙2 ﹣﹣﹣
所有等可能的结果为6种，其中抽到甲班、乙班各一人的结果为4种，
∴抽到甲，乙班各一个学生的概率为．
例题2
（2019·安徽合肥市·）某班共3 ( http: / / www.21cnjy.com )0名同学参加了网络上第二课堂的禁毒知识竞赛（共20道选择题），学习委员对竞赛结果进行了统计，发现每个人答题正确题数都超过15题．通过统计制成了下表，结合表中信息，解答下列问题：
答对题数 16 17 18 19 20
人数 3 9 6 4
（1）补统计表中数据：
（2）求这30名同学答对题目的平均数、众数和中位数；
（3）答题正确率为100%的4名同 ( http: / / www.21cnjy.com )学中恰好是2名男同学和2名女同学，现从中随机抽取2名同学参加学校禁毒知识抢答大赛，问抽到1男1女的概率是多少？
【答案】（1）见解析；（2）平均数为18，众数为18，中位数为18；（3）．
【详解】
(1)答对17道的人数有：，
补全表格如下：
答对题数 16 17 18 19 20
人数 3 8 9 6 4
(2)平均数为，
答对18道的人数最多，所以众数为18，
把数据从小到大排列，第号数恰好在答对18道的人数中，所以中位数为；
(3)画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
所有等可能的情况有12种，其中一男一女有8种，
∴恰好选到一男一女的概率．
例题3
（2021·广西崇左市·九年级三模）20 ( http: / / www.21cnjy.com )21年2月10日“天问一号”火星探测器抵达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星.某校组织首届“航天梦报国情”航天知识竞赛活动，八年级全体学生参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小军随机抽取八年级20名参赛学生的成绩，收集数据（单位：分）如下：21世纪教育网版权所有
90，75，80，80，70，75，80，85，82，95,
95，75，90，70，92，95，84，75，85，67
整理数据：
成绩x/分 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
频数 1 6 a b
分析数据：
平均数 中位数 众数
82 c d
根据上述数据回答以下问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的的值．
（2）活动组委会决定，给“航天知识 ( http: / / www.21cnjy.com )竞赛”成绩在90分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校八年级550人中约有多少人将获得“小宇航员”称号．
（3）本次活动中获得“小宇航员”称号的小红 ( http: / / www.21cnjy.com )得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同）．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，从中随机选取两枚送给小军，请画树状图或列表求小红送给小军的两枚纪念章中恰好有一枚是B的概率．21cnjy.com
【答案】（1）a= 7，b= 6，c= 81，d =75；（2）该校八年级约有165人将获得“小宇航员”称号；（3）恰好有一枚是B的概率是．21·cn·jy·com
【详解】
（1）∵80≤x<90的数有80，80，80，85，82，84，85共有7个，
∴a=7；
∵90≤x<100的数有90，95，95，90，92，95共有6个，
∴b=6；
中位数是80和82的平均数，且，
∴c=81；
∵75出现了4次，最多，
∴d=75；
故答案为：7；6；81；75；
（2）根据题意，得授予“小宇航员”称号的人数为：550=165（人）
答：该校八年级约有165人将获得“小宇航员”称号；
（3）列表如下：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
共有12种机会均等的结果，恰好有一枚是B的有6种，
∴恰好有一枚是B的概率是．
解题方法指导
例题演练
解题方法指导
例题演练
解题方法指导
例题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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统计与概率
一、怎样解平均数、中位数和众数问题
平均数、中位数和众教都反映 ( http: / / www.21cnjy.com )了一组数据的集中趋势，平均教的大小与这组数据中的每个数据都有关，中位数与数据的排列顺序有关，众数主要研究各数据出现的次数.
在实际问题的情境中选择恰当的数据 ( http: / / www.21cnjy.com )代表对数据作出评判或决策,有时需要根据题目给出的数据代表(如“从平均数和众数相结合看”)对数据作出评判.其中平均数易受极端数值的影响，在一组数据中，如果个别数据对平均数影响大，则常选中位数或众数作为数据的代表.
例题1
（2021·天津中考真题）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．21世纪教育网版权所有
根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
( http: / / www.21cnjy.com / )
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为________，图①中m的值为_______；
（Ⅱ）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．
例题2
（2015·天津中考真题）某商场服装部分 ( http: / / www.21cnjy.com )为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组销售额的数据，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：21·世纪*教育网
（1）该商场服装营业员的人数为 ，图①中m的值为 ；
（2）求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
例题3
（2021·浙江温州市·中考真题）某校将学生体质健康测试成绩分为，，，四个等级，依次记为4分，3分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况，拟抽样进行统计分析．
（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：
小红：“我想随机柚取七年级男、女生各60人的成绩．”
小明：“我想随机柚取七、八、九年级男生各40人的成绩．”
根据右侧学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．
如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．
学校共有七、八、九三个年级学生近千人，各段人数相近，每段男、女生人数相当，．．．．．
（2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如下统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．
某校部分学生体质健康测试成绩统计图
( http: / / www.21cnjy.com / )
二、怎样解统计图问题
常用的统计图有扇形统计图、条形统计图和 ( http: / / www.21cnjy.com )折线统计图.扇形统计图能清晰地体现出各部分占总体的百分比,条形统计图能得到每小组的频数,折线统计图能看出数据的变化趋势，解决问题时要根据需要选择合适的统计图.21cnjy.com
例题1
（2020·云南中考真题）某公司员工的月工资如下：
员工 经理 副经理 职员 职员 职员 职员 职员 职员 杂工
月工资/元 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200
( http: / / www.21cnjy.com / )
经理、职员、职员从不同的角度描述了该公司员工的收入情况．设该公司员工的月工资数据（见上述表格）的平均数、中位数、众数分别为、、，请根据上述信息完成下列问题：21教育网
（1）___________，_________，_________；
（2）上月一个员工辞职了，从 ( http: / / www.21cnjy.com )本月开始，停发该员工工资．若本月该公司剩下的8名员工的月工资不变，但这8名员工的月工资数据（单位：元）的平均数比原9名员工的月工资数据（见上述表格）的平均数减小了．你认为辞职的那名员工可能是___________．
例题2
（2021·河南三门峡市·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )二模）为了响应全民阅读的号召，某社区开展了为期一年的“读书伴我行”阅读活动，在阅读活动开展之初，随机抽取若干名社区居民，对其年阅读量(单位：本)进行了调查统计与分析，结果如下：2·1·c·n·j·y
平均数 中位数 众数 最大值 最小值 方差
6.9 7.5 8 16 1 18.69
经过一年的“读书伴我行”阅读活动，某社区再次对这部分居民的年阅读量进行调查，并对收集的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．2-1-c-n-j-y
a．居民的年阅读量统计表如下：
阅读量 2 4 5 8 9 10 11 12 13 16 21
人数 5 5 5 3 2 m 5 5 3 7 n
b．分组整理后的居民阅读量统计表、统计图如下：
组别 阅读量/本 频数
15
13
c．居民阅读量的平均数、中位数、众数、最大值、最小值、方差如下：
平均数 中位数 众数 最大值 最小值 方差
10.4 10.5 q 21 2 30.83
根据以上信息，回答下列问题：
(1)样本容量为______；
(2)_____；_____；______；
(3)根据社区开展“读书伴我行”阅读活动前、后随机抽取的部分居民阅读量的两组调查结果，请至少从两个方面对社区开展阅读活动的效果进行评价．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
例题3
（2020·江苏南京市·九年级月考）一销售 ( http: / / www.21cnjy.com )某品牌冰箱的公司有营销人员10人，销售部为制定营销人员月销售冰箱定额(单位:台)，统计了10人某月的销售量如下表：
每人销售台数 4 5 8 12 16 19
人数 1 1 4 2 1 1
（1）求这10名营销人员该月销售冰箱的平均数、众数和中位数；
（2）如果想让一半以上的营销人员都能达到月销售目标，你认为(1)中的平均数、中位数哪个最适合作为月销售目标 请说明理由．www.21-cn-jy.com
三、怎样解用列举法求概率的问题
画树状图或列表是列举所有机会均等 ( http: / / www.21cnjy.com )的结果的重要方法，通过画树状图或列表,把所有机会均等的结果一一列出,有利于帮助我们分析问题，并且可以避免出现重复和遗漏。
例题1
（2021·山东烟台市·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级一模）甲、乙两班各选5名同学分别组成代表队参加学校组织的“汉字英雄”选拔赛，现根据成绩（满分10分）制作如下统计图和统计表（尚未完成）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
甲、乙两班代表队成绩统计表：
平均数 中位数 众数 方差
甲班 8.5 8.5
乙班 8.5 10 1.6
请根据有关信息解决下列问题：
（1）填空：__________，__________，__________；
（2）学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派_______班代表队参加市比赛会更好；（填“甲”或“乙”）【来源：21·世纪·教育·网】
（3）现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市“汉字英雄”个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲，乙班各一个学生的概率．【来源：21cnj*y.co*m】
例题2
（2019·安徽合肥市·）某班共 ( http: / / www.21cnjy.com )30名同学参加了网络上第二课堂的禁毒知识竞赛（共20道选择题），学习委员对竞赛结果进行了统计，发现每个人答题正确题数都超过15题．通过统计制成了下表，结合表中信息，解答下列问题：【出处：21教育名师】
答对题数 16 17 18 19 20
人数 3 9 6 4
（1）补统计表中数据：
（2）求这30名同学答对题目的平均数、众数和中位数；
（3）答题正确率为100%的4名同学中 ( http: / / www.21cnjy.com )恰好是2名男同学和2名女同学，现从中随机抽取2名同学参加学校禁毒知识抢答大赛，问抽到1男1女的概率是多少？
例题3
（2021·广西崇左市·九年级三模）20 ( http: / / www.21cnjy.com )21年2月10日“天问一号”火星探测器抵达火星轨道，成为中国首颗人造火星卫星.某校组织首届“航天梦报国情”航天知识竞赛活动，八年级全体学生参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小军随机抽取八年级20名参赛学生的成绩，收集数据（单位：分）如下：21*cnjy*com
90，75，80，80，70，75，80，85，82，95,
95，75，90，70，92，95，84，75，85，67
整理数据：
成绩x/分 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
频数 1 6 a b
分析数据：
平均数 中位数 众数
82 c d
根据上述数据回答以下问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的的值．
（2）活动组委会决定，给“航天 ( http: / / www.21cnjy.com )知识竞赛”成绩在90分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校八年级550人中约有多少人将获得“小宇航员”称号．
（3）本次活动中获得“小宇航员 ( http: / / www.21cnjy.com )”称号的小红得到了A，B，C，D四枚纪念章（除图案外完全相同）．她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，从中随机选取两枚送给小军，请画树状图或列表求小红送给小军的两枚纪念章中恰好有一枚是B的概率．21·cn·jy·com
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