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一、怎样解一元二次方程根的问题
方程的根是使方程左、右两边相等的未知数的值,将该数值代入方程,即可得出相应的一个等式,进而由等式变换，可求出其他代数式的:值由已知方程的根求方程中待定字母的值时，一般将所给方程的根直接代入原方程,从而可将方 程转化为关 于待定字母的方程。
例题1
（2021·全国）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；
（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
【答案】（1）方程的另一个根为0；（2）证明见解析；（3）m＝﹣3或1
【详解】
（1）解：由题意，得：4﹣2m+m﹣2＝0，
解得：m＝2，
∴方程为x2+2x＝0，
解得：x1＝﹣2，x2=0，
∴方程的另一个根为0．
（2）证明：∵△＝m2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，
∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（3）由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，
由x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，
得：（x1+x2）2﹣2x1x2+m（x1+x2）＝m2+1，
∴m2﹣2（m﹣2）﹣m2＝m2+1，
整理得：m2+2m﹣3＝0，
解得：m＝﹣3或1．
例题2
（2021·全国）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个根x1，x2满足3x1+3x2﹣x1x2＝6，求k的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）k
【详解】
（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×2k
＝（2k﹣1）2≥0，
∴无论k取何值，所以方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：x1+x2＝2k+1，x1 x2＝2k，
∵3（x1+x2）﹣x1 x2＝6，
∴3（2k+1）﹣2k＝6，
∴k．
例题3
（2021·江苏九年级二模）已知关于的一元二次方程（为常数）．
（1）若它的一个实数根是方程的根，则_____，方程的另一个根为_____；
（2）若它的一个实数根是关于的方程的根，求的值；
（3）若它的一个实数根是关于的方程的根，求的最小值．
【答案】（1）1，；（2），；（3）当时，有最小值为-2．
【详解】
（1）∵2(x-1)-4=0，
∴x=3，
∴（3-1）(3-2)=m+1，
解得m=1，
∴（x-1）(x-2)=2，
∴-3x=0，
∴，
故答案为：1，．
（2）由，得
．
则
∴，
∴，
∴，．
（3）由，得
．
则．
即．
∴；
∴当时，有最小值-2．
二、怎样列一元二次方程解决实际问题
1.怎样解增长(或降低)率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.分析、归纳、解决问题的同时,务必要记住公式,其中为增长(或降低)的基础数,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的数量21教育网
2.怎样解几何图形面积问题
几何图形的面积问题是中考的热点问题,通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式,从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题,均可借助图形加以分析，以便于理解题意.21cnjy.com
3.怎祥解利潤或利潤率向題
在日常生活中，経常遇到有美商品利洞的向題，解决込美同題的美鍵是利用其中巳知量与未知量之同的等量美系建立方程模型，并通辻解方程来解决同題.www.21-cn-jy.com
要正硝解答利或利洞率向題，首先要理解迸价、售价、利洞及利洞率之同的美系:利洞=售价一迸价;利洞率=X 100%.2·1·c·n·j·y
4.怎样解分裂(传播)问题
分裂与传播类问题是一元二次方程实际应用中的常见题型,解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情6境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)传播问题:传染源在传播过程中,原传染源的数量计入传染结果,若传染源数量为1,每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为 1+x,第二轮传染后感染个体的总数为(1+x)2.www-2-1-cnjy-com
(2)分裂问题:细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1,每一个细胞分裂为x个细胞，则第一次分裂;后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
例题1
（2021·安徽中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）．21世纪教育网版权所有
[问题解决]
（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？2-1-c-n-j-y
【答案】（1）2 ；（2）；（3）1008块
【详解】
解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
故答案为：2 ；
（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；
所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（）块；
故答案为：； 21*cnjy*com
（3）令 则
当时，
此时，剩下一块等腰直角三角形地砖
需要正方形地砖1008块．
例题2
（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加%．求a的值．【出处：21教育名师】
【答案】（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元；（2）20
【详解】
解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元．
根据题意，得
．
解这个方程，得．
则．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意，得
设a%=m，则原方程可化简为．
解这个方程，得（舍去）．
∴a=20．
答：a的值是20．
例题3
（2021·广西玉林市·）某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电，有，两个焚烧妒，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，焚烧炉比焚烧炉多发电50度，，焚烧炉每天共发电55000度．21·cn·jy·com
（1）求焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉各发电多少度？
（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉的发电量分别增加%和%，则，焚烧炉每天共发电至少增加%，求的最小值．
【答案】（1）焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉各发电300、250度；（2）a最小值为11
【详解】
（1）设B焚烧炉每吨发电x度，则A焚烧炉每吨发电（x+50）度，
100（x+50）+100x=55000，
解方程得x=250，
则B焚烧炉每吨发电250度，则A焚烧炉每吨发电300度；
（2）由（1）可知改进后A、B发电量分别为300（1+%），250（1+%），
根据题意列式：100×300（1+%）+100×250（1+%）≥55000+55000×%，
解不等式得：a≥11，
则a的最小值为11．
一元二次方程
解题方法指导
例题演练
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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一、怎样解一元二次方程根的问题
方程的根是使方程左、右两边相等的未知数的值,将该数值代入方程,即可得出相应的一个等式,进而由等式变换，可求出其他代数式的:值由已知方程的根求方程中待定字母的值时，一般将所给方程的根直接代入原方程,从而可将方 程转化为关 于待定字母的方程。
例题1
（2021·全国）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；
（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
例题2
（2021·全国）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个根x1，x2满足3x1+3x2﹣x1x2＝6，求k的值．
例题3
（2021·江苏九年级二模）已知关于的一元二次方程（为常数）．
（1）若它的一个实数根是方程的根，则_____，方程的另一个根为_____；
（2）若它的一个实数根是关于的方程的根，求的值；
（3）若它的一个实数根是关于的方程的根，求的最小值．
二、怎样列一元二次方程解决实际问题
1.怎样解增长(或降低)率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.分析、归纳、解决问题的同时,务必要记住公式,其中为增长(或降低)的基础数,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的数量21教育网
2.怎样解几何图形面积问题
几何图形的面积问题是中考的热点问题,通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式,从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题,均可借助图形加以分析，以便于理解题意.21cnjy.com
3.怎祥解利潤或利潤率向題
在日常生活中，経常遇到有美商品利洞的向題，解决込美同題的美鍵是利用其中巳知量与未知量之同的等量美系建立方程模型，并通辻解方程来解决同題.21·cn·jy·com
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4.怎样解分裂(传播)问题
分裂与传播类问题是一元二次方程实际应用中的常见题型,解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情6境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解.2·1·c·n·j·y
(1)传播问题:传染源在传播过程中,原传染源的数量计入传染结果,若传染源数量为1,每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为 1+x,第二轮传染后感染个体的总数为(1+x)2.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)分裂问题:细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1,每一个细胞分裂为x个细胞，则第一次分裂;后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2.
例题1
（2021·安徽中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，21·世纪*教育网
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[规律总结]
（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）．www-2-1-cnjy-com
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（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？21世纪教育网版权所有
例题2
（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．21*cnjy*com
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加%．求a的值．【来源：21cnj*y.co*m】
例题3
（2021·广西玉林市·）某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电，有，两个焚烧妒，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，焚烧炉比焚烧炉多发电50度，，焚烧炉每天共发电55000度．2-1-c-n-j-y
（1）求焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉各发电多少度？
（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉的发电量分别增加%和%，则，焚烧炉每天共发电至少增加%，求的最小值．
【出处：21教育名师】
一元二次方程
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