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一、怎样解一次函数的图象与性质问题
一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象是一条直线
当k>0时,其图象一定经过第一、三象限,y随x的增大而增大，这时直线由左至右上升
当k<0时，其图象一定经过第二、四象限，y随x的增大而减小,这时直线由左至右下降。
例题1
（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到．21世纪教育网版权所有
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【详解】
解：（1）由一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为；
（2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：
，解得：，
函数图象如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当时，符合题意，当时，则函数与一次函数的交点在第一象限，此时就不符合题意，
综上所述：．
例题2
（2021·甘肃九年级一模）小龙根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探索，下面是小龙的研究过程，请补充完成：2·1·c·n·j·y
（1）列表，找出与的几对对应值；
… -3 -2 -1 0 1 2 …
… 7 3 1 3 5 …
其中：的值是______；
（2）请在给定的平面直角坐标系图中描出（1）中所找出的对应点，并画出函数的图象；
（3）写出该函数的一条性质：________________________________________．
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【答案】（1）5；（2）见解析；（3）图象关于轴对称（答案不唯一）
【详解】
（1）当时，=5
∴
故答案为：5；
（2）的函数图象如图所示，
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（3）①图象关于轴对称；
②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
③函数有最小值1；
④图象形状是两条射线，当时，图象位于一象限；当时，图象位于二象限；
故答案为：图象关于轴对称（答案不唯一）．
例题3
（2021·江苏连云港·九年级二模）如图，直线与轴交于点，点也在该直线上，点关于轴的对称点为点，直线BC交x轴于点D，点E坐标为．
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（1）的值为 ，点C的坐标为 ；
（2）求直线AC的函数表达式；
（3）晶晶有个想法：“设．由点B与点C关于x轴对称易得，而与四边形DCEO拼接后可看成，这样求S便转化为直接求的面积．”但经反复演算，发现，请通过计算解释她的想法错在哪里？
【答案】（1）-3，；（2）；（3）见解析
【详解】
（1）∵点在直线上
∴
∴
∵点关于轴的对称点为点
∴C点坐标为（-6，3）
（2）∵直线与轴交于点
∴A点坐标为（-12，0）
设直线AC的函数关系式为，
由题意得解之得
∴直线AC的函数表达式为．
（3）由（2）直线AC的函数表达式为，令x=0，得．
∴直线AC与y轴的交点坐标为．
而点E坐标为，
∴点E不在直线AC上，即点A、C、E不在同一条直线上．
∴．
二、怎样解反比例函数的图象和性质的应用问题
反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是双曲线。
当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,双曲线的两个分支分别位于第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大.
反比例函数图象的位置和函数的增减性,都是由常数k的符号决定的
反过来,由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.
例题1
（2021·湖北襄阳·九年级一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质，探究过程如下：21cnjy.com
（1）写出自变量x的取值范围；
（2）画函数图象；
列表：下表是x与y的几组对应值，其中____________；
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 m …
描点画图：利用所给的网格，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；
（3）通过观察图象，写出该函数的两条性质：
①____________；
②____________．
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【答案】（1）；（2）；见解析；（3）①当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，②无论x取何值，函数值恒大于02-1-c-n-j-y
【详解】
解：（1）自变量的取值范围为：；
（2）把代入得，；
该函数的图象如下：
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（3）①当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
②无论x取何值，函数值恒大于0.
例题2
（2021·江苏）（1）画出反比例函数的大致图象，结合图象回答：
（2）当时，的值；
（3）当时，的取值范围；
（4）当且时，的取值范围．
【答案】（1）见解析，（2）；（3）；（4）或．
【详解】
（1）列表如下：
x -4 -2 -1 1 2 4
1 2 4 -4 -2 -1
如图即为所求：
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（2）由图象可知：x=2时，y=-2．
（3）由图象可知：当时，-4＜y≤-1．
（4）由图象可知：当且时，或．
例题3
（2021·河南九年级一模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．www-2-1-cnjy-com
（1）列表：
x … 0 1 2 3 …
y … m 1 2 1 0 1 n …
其中，__________，__________．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点，在函数图象上，则________，_______；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值时，求自变量x的值；
【答案】（1），2；（2）见解析；（3）①＜，＜；②或或
【详解】
解：（1）代入得，，
∴，
把代入中得，，
∴，
故答案为：，2；
（2）如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）①由图象可知A与B在上，y随x的增大而增大，所以；
C与D在上，所以；
故答案为：＜，＜；
②当时，时，有，
∴或，
当时，时，有，
∴，
故或或；
三、怎样解反比例函数与一次函数图象的交点问题
此类题目主要是求两个函数图象的交点坐标或根据交点坐标求两个函数的解析式，以及根据两个函数图象的交点坐标求有关不等式的解集.解此类题的依据有:21·cn·jy·com
①函数图象的交点坐标满足两函数的解析式;
②不等式的解集就是其所对应函数的图象上满足条件的所有点的横坐标的集合.
例题1
（2021·重庆字水中学九年级一模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．我们对函数图像与性质进行探究，下表是该函数y与自变量x的几组对应值，请解答下列问题：
x … 0 …
y … m 0 n …
（1）求该函数的解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）表中m的值为____，n的值为____．
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图像，并写出该函数的一条性质；
___________________________________________________________________．
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（4）直接写出关于x的不等式的解集是__________．（如果取近似值，误差不超过0.2）．
【答案】（1）见解析；（2），-6；（3）x＞2时，y随x的增大而增大；（4）x≤ 1或≤x≤2
【详解】
解：（1）由表格得，，在函数上，
将，代入，
得：，
解得：，
该函数解析式为：，
，
，
即自变量取任意实数；
（2）当时，，即，
当时，，即，
故答案为：，；
（3）图象如图，时，随的增大而增大，
故答案为：时，随的增大而增大；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（4）由图象可知，不等式的解集为：或．，
故答案为：或．
例题2
（2021·湖北九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线（）相交于第一、三象限内的，两点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）若将直线绕点旋转得到直线，当直线与双曲线有且只有一个交点时，直接写出此时直线的解析式．21教育网
【答案】（1），；（2）或或
【详解】
解：（1）把代入（）可得，
∴双曲线为，
把点代入得，解得，
∴，
把，代入，可得，
解得，
∴直线为；
（2）当直线平行于轴时，直线与双曲线有且只有一个交点，此时直线为；
当直线垂直于轴时，直线与双曲线有且只有一个交点，此时直线为；
当直线与双曲线相切于点时，直线与双曲线有且只有一个交点，
设直线为，
∵经过点，
∴，
∴，
∴，
令，整理得，，
则，
解得，
∴直线为，
综上，直线的解析式为或或．
例题3
（2021·江苏）如图，正比例函数y＝kx的图像与反比例函数y＝（x＞0）的图像交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．www.21-cn-jy.com
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式．
（2）若CD＝6，求△ACD的面积．
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【答案】（1）a=2，y=2x；（2）6
【详解】
解：（1）把点坐标代入反比例函数中，得，
．
点坐标为，
再把代入正比例函数的表达式中，得，
，
则正比例函数表达式为．
（2）设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为．
，
即，解得：，（不合题意，舍去）．
即，
则点到的距离为，
故．
四、怎样解二次函数解析式的确定问题
用待定系数法可求二次函数的解析式，根据不同条件选择不同的设法.
(1)设一般式y=ax2+bx+c(a≠0):若已知二次函数图象上的三点的坐标时，通常设二次函数的解析式为一般式，然后列出关于a,b,c的三元一次方程组求解.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)设交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0):若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1 ,0),(x2,0),通常设二次函数的解析式为交点式,将已知条件代入，求出待定系数,最后将解析式化为一般形式。【来源：21cnj*y.co*m】
(3)设顶点式y=a(x- h)2+k(a≠0):若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值(最小值),通常设二次函数的解析式为顶点式，然后代入另一点的坐标，即可列出关于a的一元一次方程，最后将所求出的抛物线的解析式化为一般形式.【出处：21教育名师】
例题1
（2021·浙江九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是，与轴交于两点，与轴交于，点的坐标是．
（1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线的函数关系式．
（2）作一条平行于轴的直线交二次函数的图象于点，与直线于点．若点的横坐标分别为，且，求的取值范围．
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【答案】（1）点的坐标为，直线的函数关系式为；（2）
【详解】
解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：a+2-3=0，解得a=1，
故抛物线的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
故顶点坐标为（1，-4）；
对于y=x2-2x-3，
令x2-2x-3=0，解得x=-1或3，
令x=0，则y=-3，
故点C、D的坐标分别为（3，0）、（0，-3），
设直线CD的表达式为y=kx+b，则
，解得，
故直线CD的表达式为y=x-3；
（2）∵r＜m≤n，
∴直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），
当y=-4时，即-x-3=-4，解得x=-1，
故-1≤r＜0，
由抛物线的对称性知，点M、N关于抛物线的对称轴对称，
故(m+n)=1，所以m+n=2，
∴1≤m+n+r＜2．
例题2
（2019·云南九年级二模）如图，二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；
（2）如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标．
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【答案】（1） ；（2）
【详解】
解：（1）把点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2﹣2x+c，得，
解之得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点E的坐标为（﹣1，4）；
（2）设直线BE的解析式为y＝kx+m，把B（﹣3，0），E（﹣1，4）代入得，，解得，
∴直线BE的解析式为y＝2x+6，
设点F（0，m），
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，
∴点F'为（﹣2，m），
把F'（﹣2，m）代入y＝2x+6得m＝﹣4+6＝2，
∴点F（0，2）.
例题3
（2021·江苏九年级一模）当自变量时，二次函数的值最小，最小值为，且这个函数的图像与轴的一个交点的横坐标为．21·世纪*教育网
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求这个函数的图像与轴交点的坐标．
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）∵当自变量时，二次函数的值最小，最小值为，
∴顶点坐标为，
可设顶点式为，
将代入得：，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）∵，
∴令时，，
∴与y轴的交点坐标为；
函数
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例题演练
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一、怎样解一次函数的图象与性质问题
一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象是一条直线
当k>0时,其图象一定经过第一、三象限,y随x的增大而增大，这时直线由左至右上升
当k<0时，其图象一定经过第二、四象限，y随x的增大而减小,这时直线由左至右下降。
例题1
（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到．www.21-cn-jy.com
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
例题2
（2021·甘肃九年级一模）小龙根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探索，下面是小龙的研究过程，请补充完成：2·1·c·n·j·y
（1）列表，找出与的几对对应值；
… -3 -2 -1 0 1 2 …
… 7 3 1 3 5 …
其中：的值是______；
（2）请在给定的平面直角坐标系图中描出（1）中所找出的对应点，并画出函数的图象；
（3）写出该函数的一条性质：________________________________________．
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例题3
（2021·江苏连云港·九年级二模）如图，直线与轴交于点，点也在该直线上，点关于轴的对称点为点，直线BC交x轴于点D，点E坐标为．
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（1）的值为 ，点C的坐标为 ；
（2）求直线AC的函数表达式；
（3）晶晶有个想法：“设．由点B与点C关于x轴对称易得，而与四边形DCEO拼接后可看成，这样求S便转化为直接求的面积．”但经反复演算，发现，请通过计算解释她的想法错在哪里？
二、怎样解反比例函数的图象和性质的应用问题
反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是双曲线。
当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小;
当k<0时,双曲线的两个分支分别位于第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大.
反比例函数图象的位置和函数的增减性,都是由常数k的符号决定的
反过来,由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.
例题1
（2021·湖北襄阳·九年级一模）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质，探究过程如下：21教育网
（1）写出自变量x的取值范围；
（2）画函数图象；
列表：下表是x与y的几组对应值，其中____________；
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 m …
描点画图：利用所给的网格，建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；
（3）通过观察图象，写出该函数的两条性质：
①____________；
②____________．
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例题2
（2021·江苏）（1）画出反比例函数的大致图象，结合图象回答：
（2）当时，的值；
（3）当时，的取值范围；
（4）当且时，的取值范围．
例题3
（2021·河南九年级一模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．21世纪教育网版权所有
（1）列表：
x … 0 1 2 3 …
y … m 1 2 1 0 1 n …
其中，__________，__________．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．21cnjy.com
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（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点，在函数图象上，则________，_______；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值时，求自变量x的值；
三、怎样解反比例函数与一次函数图象的交点问题
此类题目主要是求两个函数图象的交点坐标或根据交点坐标求两个函数的解析式，以及根据两个函数图象的交点坐标求有关不等式的解集.解此类题的依据有:21·世纪*教育网
①函数图象的交点坐标满足两函数的解析式;
②不等式的解集就是其所对应函数的图象上满足条件的所有点的横坐标的集合.
例题1
（2021·重庆字水中学九年级一模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．我们对函数图像与性质进行探究，下表是该函数y与自变量x的几组对应值，请解答下列问题：
x … 0 …
y … m 0 n …
（1）求该函数的解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）表中m的值为____，n的值为____．
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图像，并写出该函数的一条性质；
___________________________________________________________________．
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（4）直接写出关于x的不等式的解集是__________．（如果取近似值，误差不超过0.2）．
例题2
（2021·湖北九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线（）相交于第一、三象限内的，两点．
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（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）若将直线绕点旋转得到直线，当直线与双曲线有且只有一个交点时，直接写出此时直线的解析式．21·cn·jy·com
例题3
（2021·江苏）如图，正比例函数y＝kx的图像与反比例函数y＝（x＞0）的图像交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式．
（2）若CD＝6，求△ACD的面积．
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四、怎样解二次函数解析式的确定问题
用待定系数法可求二次函数的解析式，根据不同条件选择不同的设法.
(1)设一般式y=ax2+bx+c(a≠0):若已知二次函数图象上的三点的坐标时，通常设二次函数的解析式为一般式，然后列出关于a,b,c的三元一次方程组求解.www-2-1-cnjy-com
(2)设交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0):若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1 ,0),(x2,0),通常设二次函数的解析式为交点式,将已知条件代入，求出待定系数,最后将解析式化为一般形式。2-1-c-n-j-y
(3)设顶点式y=a(x- h)2+k(a≠0):若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值(最小值),通常设二次函数的解析式为顶点式，然后代入另一点的坐标，即可列出关于a的一元一次方程，最后将所求出的抛物线的解析式化为一般形式.21*cnjy*com
例题1
（2021·浙江九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是，与轴交于两点，与轴交于，点的坐标是．
（1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线的函数关系式．
（2）作一条平行于轴的直线交二次函数的图象于点，与直线于点．若点的横坐标分别为，且，求的取值范围．
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例题2
（2019·云南九年级二模）如图，二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；
（2）如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标．
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例题3
（2021·江苏九年级一模）当自变量时，二次函数的值最小，最小值为，且这个函数的图像与轴的一个交点的横坐标为．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求这个函数的图像与轴交点的坐标．
函数
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