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一、怎样解三角形全等的判定问题
证明两条线段相等(或两个角相等)的常用方法是证明这两条段(或两个角)所在的三角形全等.判定两个三角形全等的一般方有“SS"SAS"ASA""AAS" ,对于直角三角形还有“HL".
三角全等的判定方法的选择:
(1)当已知两边分别相等时，可找两边的角或第三边，利用“SAS”或“SSS"来证明两个三角形全等. 21·cn·jy·com
(2)当知两个角分别相等时，可找这两个角的夹边或找任意一组等角的边，利用“ASA”或“AAS"来证明两个三角形全等. www.21-cn-jy.com
(3)当已知一角其对边分别相等时，可找任意一角，利用“AAS"来证明两个三角全等.
(4)当已知一角及其一邻边分别相等时,可找任意一角利用AAS”或“ASA"来证明两个三角形全等，也可以找这个角的另一邻边，利用“SAS”来证明两个三角形全等.
(5)在直角三角形中除了利用SSS'"S ASA""AAS" ,还可以利用“HL”"来证明两个三角形全等:
例题1
（2021·云南九年级一模）如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．21世纪教育网版权所有
求证：△ABC≌△CDE．
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例题2
（2021·内蒙古鄂尔多斯·九年级一模）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
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（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是　 ，位置关系是　 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．2·1·c·n·j·y
例题3
（2021·全国八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC2-1-c-n-j-y
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①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
二、怎样解等边三角形问题
等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形，等边三角形又叫正三角形.等边三角形具有等腰三角形的一切性质，并且还具有如下性质:21*cnjy*com
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°;所有边上的高、中线与所有角平分线都相等.
解与等边三角形有关的问题时，一般都要运用等边三角形中特殊的 60°角、三 条边中任意两边都相等进行推理或计算【出处：21教育名师】
例题1
（2021·甘肃兰州·九年级一模）如图，在等边三角形ABC中，AD＝BE．求证：CD＝AE．
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例题2
（2021·广东东莞·九年级其他模拟）如图，ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD=BE．求证：AE = CD．21教育网
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例题3
（2021·山西九年级专题练习）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【版权所有：21教育】
（问题解决）
（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（类比探究）
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．www-2-1-cnjy-com
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三、怎样解等腰三角形有关的问题
解与等腰三角形的边有关的问题时，常利用三角形的三边关系确定能否构成三角形。当已知等腰三角形的边不能确定是腰还是底时，要分类讨论，还要考虑三角形的存在性,即两腰之和大于底边，21教育名师原创作品
解与等腰三角形的角有关的问题时，常利用三角形的内角和定理，遇到顶角、底角未知或仅知道两角之差但不确定大小关系时，还要注意分类讨论.21cnjy.com
例题1
（2021·湖北宜昌·）如图，在平行四边形中，P是对角线上的一点，过点C作，且，连接，，．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为菱形．
例题2
（2021·长春市解放大路学校九年级其他模拟）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）21·世纪*教育网
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（1）边AC的长度为________；
（2）作的角平分线AD；
（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当的长度最小时，在网格中作出．
例题3
（2021·福建省福州屏东中学九年级二模）如图，中，，，为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得线段，沿方向平移得线段，连接．21*cnjy*com
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（1）求证：；
（2）连接，若，求四边形的面积．
三角形
解题方法指导
●注意.
判定两个三角形全等时，必须有边参与,若有两边一-角对应相等时，角必须是两边的夹角.判定两个三角形全等时，不仅要看已知条件，还要看题目中隐含的条件.
例题演练
解题方法指导
例题演练
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例题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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一、怎样解三角形全等的判定问题
证明两条线段相等(或两个角相等)的常用方法是证明这两条段(或两个角)所在的三角形全等.判定两个三角形全等的一般方有“SS"SAS"ASA""AAS" ,对于直角三角形还有“HL".
三角全等的判定方法的选择:
(1)当已知两边分别相等时，可找两边的角或第三边，利用“SAS”或“SSS"来证明两个三角形全等. 21cnjy.com
(2)当知两个角分别相等时，可找这两个角的夹边或找任意一组等角的边，利用“ASA”或“AAS"来证明两个三角形全等. www.21-cn-jy.com
(3)当已知一角其对边分别相等时，可找任意一角，利用“AAS"来证明两个三角全等.
(4)当已知一角及其一邻边分别相等时,可找任意一角利用AAS”或“ASA"来证明两个三角形全等，也可以找这个角的另一邻边，利用“SAS”来证明两个三角形全等.
(5)在直角三角形中除了利用SSS'"S ASA""AAS" ,还可以利用“HL”"来证明两个三角形全等:
例题1
（2021·云南九年级一模）如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．www-2-1-cnjy-com
求证：△ABC≌△CDE．
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【答案】见解析．
【详解】
证明：∵AC∥DE，
∴，．
又∵，
∴，
又∵，
∴．
例题2
（2021·内蒙古鄂尔多斯·九年级一模）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
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（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是　 ，位置关系是　 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．【出处：21教育名师】
【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．【版权所有：21教育】
【详解】
解：（1）点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形．
由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，
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最大时，的面积最大，
且在顶点上面，
最大，
连接，，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
．
例题3
（2021·全国八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC21世纪教育网版权所有
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①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
【答案】①见解析；②∠BDC＝75°．
【详解】
①证明：在△ABE和△CBD中，，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB＋∠CAE＝45°＋30°＝75°，
∴∠BDC＝75°．
二、怎样解等边三角形问题
等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形，等边三角形又叫正三角形.等边三角形具有等腰三角形的一切性质，并且还具有如下性质:21·cn·jy·com
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°;所有边上的高、中线与所有角平分线都相等.
解与等边三角形有关的问题时，一般都要运用等边三角形中特殊的 60°角、三 条边中任意两边都相等进行推理或计算【来源：21·世纪·教育·网】
例题1
（2021·甘肃兰州·九年级一模）如图，在等边三角形ABC中，AD＝BE．求证：CD＝AE．
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【答案】见解析
【详解】
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠DAC=60°，AC=AB．
在△DAC和△EBA中，
∴△DAC≌△EBA（SAS），
∴CD=AE．
例题2
（2021·广东东莞·九年级其他模拟）如图，ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD=BE．求证：AE = CD．2-1-c-n-j-y
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【答案】证明见解析
【详解】
解：∵ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，
∴，，
在和中，
，
∴≌，
∴．
例题3
（2021·山西九年级专题练习）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．21教育名师原创作品
（问题解决）
（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（类比探究）
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．21*cnjy*com
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【答案】（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析
【详解】
（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
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三、怎样解等腰三角形有关的问题
解与等腰三角形的边有关的问题时，常利用三角形的三边关系确定能否构成三角形。当已知等腰三角形的边不能确定是腰还是底时，要分类讨论，还要考虑三角形的存在性,即两腰之和大于底边，21·世纪*教育网
解与等腰三角形的角有关的问题时，常利用三角形的内角和定理，遇到顶角、底角未知或仅知道两角之差但不确定大小关系时，还要注意分类讨论.
例题1
（2021·湖北宜昌·）如图，在平行四边形中，P是对角线上的一点，过点C作，且，连接，，．21*cnjy*com
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（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
证明：（1）∵，
∴四边形DCQP是平行四边形
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴，
∴，
∴四边形ABQP是平行四边形
∴
（2）∵
∴
∵
∴
由（1）知：四边形ABQP是平行四边形，
∴
∴
∴
∴四边形为菱形
例题2
（2021·长春市解放大路学校九年级其他模拟）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）2·1·c·n·j·y
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（1）边AC的长度为________；
（2）作的角平分线AD；
（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当的长度最小时，在网格中作出．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【详解】
（1）根据题意可得AC=
故答案为：
（2）根据题意可得AB==AC
∴△ABC是等腰三角形
如图，取BC的中点D，连接AD，即为所求；
（3）如图，根据等腰三角形的对称性：B，C关于直线AD对称
∴QC=BQ
故=PQ+CQ，
故P，Q，C在同一直线上时，最短
连接PC与AD交于Q点，△BPQ即为所求．
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例题3
（2021·福建省福州屏东中学九年级二模）如图，中，，，为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得线段，沿方向平移得线段，连接．21教育网
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（1）求证：；
（2）连接，若，求四边形的面积．
【答案】（1）见详解；（2）．
【详解】
（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAE，∠B=∠ACB=45°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD和≌ACE（SAS），
∴∠ACE=∠B=45°，
∴∠BCE=90°，
∴BC⊥CE；
（2）解：连接CF，过点A作AH⊥BC于H，
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∵3CE=6，
∴CE=2，
∵AC沿AD方向平移得线段DF，
∴AC∥DF，AC=DF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
由（1）得：△ABD和≌ACE，
∴CE=BD=2，
∵AB=AC=6，
∴BC=，AH=，
∴CD=BCBD=，
∴S ACFD=CD×AH=（）×=．
三角形
解题方法指导
●注意.
判定两个三角形全等时，必须有边参与,若有两边一-角对应相等时，角必须是两边的夹角.判定两个三角形全等时，不仅要看已知条件，还要看题目中隐含的条件.
例题演练
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例题演练
解题方法指导
例题演练
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