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图形的轴对称、平移、旋转
一、怎样解轴对称图形和中心对称图形的识别问题
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两 ( http: / / www.21cnjy.com )旁的部分能够完全重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
把一个图形绕着某一个点旋转180° ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.21cnjy.com
判断一个图形是否为轴对称图形、中心对称图形时，要明确以下两点:
①如果能找到一条直线(对称轴)把一个图形分成两部分，且直线两旁的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形;www.21-cn-jy.com
②把一个平面图形绕某一点旋转180° ,如果旋转后的图形能和原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形..2·1·c·n·j·y
例题1
（2020·重庆梁平区·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．www-2-1-cnjy-com
（1）求△A1B1C1与△ABC的相似比；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）设点P为线段BC的中点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是多少？
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【答案】（1）2；（2）见解析；（3）（﹣4，3）．
【详解】
解：（1）∵A1C1＝2，AC＝1，
∴A1C1：AC＝2，
∴△A1B1C1与△ABC的相似比为2；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
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（3）∵C1C，A1A、B1B都经过原点O，
∴△A1B1C1与△ABC为位似图形，位似中心为原点，
∵点P为线段BC的中点，
∴P（2，），
∴点P经过位似变换后对应点的P1的坐标为（4，3），
∵点P1关于y轴对称的点的坐标为（﹣4，3），
∴点P2的坐标是（﹣4，3）．
例题2
（2021·四川成都市·九年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图1、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在网格的顶点上．21教育网
（1）在图1中作一个三角形是轴对称图形；
（2）在图2中作一个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
（1）如图1所示；
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（2）如图2所示．
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例题3
（2021·浙江宁波市·九年级一模）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图1中四边形就是一个“格点四边形”．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）求图中四边形的面积等于________；
（2）在图2中，作出绕点B顺时针旋转90°后的；
（3）在图3中，画个格点，使的面积等于四边形的面积且为轴对称图形．
【答案】（1）7.5；（2）见解析；（3）见解析
【详解】
解：（1）如图，四边形的面积为，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：7.5；
（2）如图，即为求作的三角形；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）如图，为的面积为，
∴的面积等于四边形的面积，
根据勾股定理得,
∴DB=EB，
∴为等腰三角形，
∴为轴对称图形，
∴为求作的三角形．
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二、怎样解有关图形的平移与旋转的计算问题
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这种图形变换就是平移.图形平移具有以下性质:
经过平移,对应点所连的线段平行(或在同 ( http: / / www.21cnjy.com )一条直线上)且相等,对应线段平行(或在同一条直线上)且相等,对应角相等.把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,这种图形变换称为图形的旋转.21世纪教育网版权所有
图形旋转具有以下性质:
①对应点到旋转中心的距离相等.
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
③旋转前后的图形全等.图形的平移和旋转都不改变图形的形状和大小。
解图形的平移问题时，
一要弄清平移的方向，
二要注意平移的距离;解图形的旋转问题时，要注意图形旋转的
三要素(旋转方向、旋转中心、旋转角度)和性质.
例题1
（2021·浙江九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（）的图象上．连结，作轴于点．21·cn·jy·com
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（1）直接写出的值；
（2）将沿轴向上平移个单位长度，得到，的对应边是．当的中点在反比例函数的图象上时，求的值．21·世纪*教育网
【答案】（1）；（2）3
【详解】
（1）．
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（2）设的中点为，作轴于点．
∵由向上平移个单位长度得到，，
∴，，
∴设
∵在反比例函数的图象上，
∴代入函数表达式为：，
∴．
例题2
（2020·湖北十堰·九年级期末）如图，将 ( http: / / www.21cnjy.com )一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4，宽为2的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF，现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角度为α．2-1-c-n-j-y
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；
（2）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，请求出旋转角α的值；若不能，说明理由．21*cnjy*com
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【答案】（1）30°；（2）能，旋转角a的值为135°或315°
【详解】
（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CD′＝CD＝4，
在Rt△CED′中，CD′＝4，CE＝2，
∴
∴
∴
（2）解：△DCD'与△CBD能全等，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，
∵CD＝CD′，
∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，
当∠BCD′＝∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，
当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α＝（360°-90°）＝135°，
当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′＝∠DCD′＝∠BCD＝45°
则α＝360°﹣45°＝315°，
即旋转角α的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．
例题3
（2021·湖南株洲市·九年级期末）如图，在中，，点在边上，满足，且点，分别在边，上． 求证：．
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【答案】见详解．
【详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
解题方法指导
例题演练
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图形的轴对称、平移、旋转
一、怎样解轴对称图形和中心对称图形的识别问题
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁 ( http: / / www.21cnjy.com )的部分能够完全重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
把一个图形绕着某一个点旋转180° ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.21教育网
判断一个图形是否为轴对称图形、中心对称图形时，要明确以下两点:
①如果能找到一条直线(对称轴)把一个图形分成两部分，且直线两旁的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形;21·cn·jy·com
②把一个平面图形绕某一点旋转180° ,如果旋转后的图形能和原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形..www.21-cn-jy.com
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（2020·重庆梁平区·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．2·1·c·n·j·y
（1）求△A1B1C1与△ABC的相似比；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）设点P为线段BC的中点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是多少？
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（2021·四川成都市·九年级期末）如图1 ( http: / / www.21cnjy.com )、图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在网格的顶点上．21世纪教育网版权所有
（1）在图1中作一个三角形是轴对称图形；
（2）在图2中作一个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
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（2021·浙江宁波市·九年级一模）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图1中四边形就是一个“格点四边形”．www-2-1-cnjy-com
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（1）求图中四边形的面积等于________；
（2）在图2中，作出绕点B顺时针旋转90°后的；
（3）在图3中，画个格点，使的面积等于四边形的面积且为轴对称图形．
二、怎样解有关图形的平移与旋转的计算问题
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这种图形变换就是平移.图形平移具有以下性质:
经过平移,对应点所连的线段平行(或在同一条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线上)且相等,对应线段平行(或在同一条直线上)且相等,对应角相等.把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,这种图形变换称为图形的旋转.21·世纪*教育网
图形旋转具有以下性质:
①对应点到旋转中心的距离相等.
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
③旋转前后的图形全等.图形的平移和旋转都不改变图形的形状和大小。
解图形的平移问题时，
一要弄清平移的方向，
二要注意平移的距离;解图形的旋转问题时，要注意图形旋转的
三要素(旋转方向、旋转中心、旋转角度)和性质.
例题1
（2021·浙江九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（）的图象上．连结，作轴于点．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）直接写出的值；
（2）将沿轴向上平移个单位长度，得到，的对应边是．当的中点在反比例函数的图象上时，求的值．2-1-c-n-j-y
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（2020·湖北十堰·九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，将一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4，宽为2的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF，现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角度为α．21cnjy.com
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；
（2）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，请求出旋转角α的值；若不能，说明理由．21*cnjy*com
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例题3
（2021·湖南株洲市·九年级期末）如图，在中，，点在边上，满足，且点，分别在边，上． 求证：．
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