资源简介

第一节 命题及其关系
考点汇集
1．命题的定义
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．命题的形式“若p，则q”。
2．四种命题的概念：
(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
3．四种命题的结构：
原命题：“若p，则q”．
逆命题：“若q，则p”．
否命题：“若非p，则非q”．
逆否命题：“若非q，则非p”．
4．四种命题的相互关系
5．四种命题的真假性
(1)有且仅有下面四种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
(2)四种命题的真假性之间的关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
自主反馈
一、选择题：
1．下列语句中命题的个数是( 　)
①－5∈Z；②π不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④是无理数．
A.1 B.2 C.3 D.4
2．下列说法正确的是( )
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
3．设l、m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列结论正确的是( 　)
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
4．下列语句中假命题的个数是( 　　)
①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？④3小于2；⑤矩形的对角线相等；⑥9的平方根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是自然数，也是偶数．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( 　　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
6．已知原命题：“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是(　 　)
A．逆命题、否命题、逆否命题都为真
B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假
C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真
D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真
7．已知下列四个命题，其中是真命题的有(　 　)
①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B＝B，则A?B”的逆否命题．
A．①②③ B．②③
C．①③ D．②④
8．若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的(　　　)
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．以上都不正确
二、填空题：
9．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．
10．命题“末位数字是0的整数能被5整除”．条件p是____________________，结论q是________________，是________命题．(填“真”或“假”)
11．下列语句是命题的是_______．
①求证是无理数； ②x2＋4x＋4≥0；
③你是高一的学生吗？ ④一个正数不是素数就是合数；
⑤若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
12．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为_______．
三、解答题：
13．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)偶数能被2整除．
(2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根．
14．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)正数的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；
(3)对顶角相等．
15．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0思考探究
16．已知p：{x|x2－2x－80≤0}，q：{x|x2－2x＋1－m2≤0}(m>0)，如果“若p，则q”为真，且“若q，则p”为假，求实数m的取值范围．
第一节 命题及其关系 答案
一、选择题：
1．D　2．D　3．B 4．A 5．B　6．D　7．C 8．B
二、填空题：
9．若x≤y，则x3≤y3－1
10.一个整数的末位数字是0　这个整数能被5整除　真
11．②④⑤ 12．①②③
三、解答题：
13．解　(1)若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题．
(2)若m>，则mx2－x＋1＝0无实数根，真命题．
14．解　(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．
逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．
否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．
逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．
(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．
逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．
否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．
逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．
(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．
逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．
否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．
15. x≥4或x≤－1.
思考探究
16：　p：M＝{x|x2－2x－80≤0}＝{x|－8≤x≤10}，
q：N＝{x|x2－2x＋1－m2≤0}＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
∵“若p，则q”为真，且“若q，则p”为假，∴M?N，
∴或?或?m>9
即所求m的取值范围是{m|m>9}．
第三节 简单的逻辑联结词
考点汇集
1．用逻辑联结词构成新命题
(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．
(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．
(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
2．含有逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
自主反馈
一、选择题：
1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是(　　)
A．“p∨q”为真，“綈q”为假 B．“p∧q”为假，“綈p”为真
C．“p∧q”为假，“綈p”为假 D．“p∨q”为真，“綈p”为真
2．已知p：??{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“非p”，“綈q”，“p∧q”，“p∨q”中，真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列命题：
①2010年2月14日既是春节，又是情人节；
②10的倍数一定是5的倍数；
③梯形不是矩形．
其中使用逻辑联结词的命题有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．设p、q是两个命题，则新命题“綈(p∨q)为假，p∧q为假”的充要条件是(　　)
A．p、q中至少有一个为真 B．p、q中至少有一个为假
C．p、q中有且只有一个为假 D．p为真，q为假
5．命题p：在△ABC中，∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要条件；命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件．则(　　)
A．p假q真 B．p真q假
C．p∨q为假 D．p∧q为真
6．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是(　　)
A．10或15是5的倍数 B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1
C．方程x2＋1＝0没有实数根 D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
二、填空题：
7．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________(填“真”，“假”)命题．
8．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．
9．已知a、b∈R，设p：|a|＋|b|>|a＋b|，q：函数y＝x2－x＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p∨q、p∧q、非p中的真命题是________．
三、解答题：
10．写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假．
(1)p：1是质数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；
(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；
(3)p：0∈?；q：{x|x2－3x－5<0}?R；
(4)p：5≤5；q：27不是质数．
11．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
思考探究
12．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充分而不必要条件；命题q：函数y＝ 的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则(　　)
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真
C．p真q假 D．p假q真
13．设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．
第三节 简单的逻辑联结词
一、选择题：
1．C　2．B　3．C　4．C　 5．C　6．D　
二、填空题：
7．或　真 8．[1,2) 9．綈p
三、解答题：
10．解　(1)p为假命题，q为真命题．
p或q： 1是质数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．
p且q： 1既是质数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．
綈p： 1不是质数．真命题．
(2)p为假命题，q为假命题．
p或q： 平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．
p且q： 平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．
綈p： 有些平行四边形的对角线不相等．真命题．
(3) p为假命题，q为真命题．
∴p或q：0∈?或{x|x2－3x－5<0}?R，真命题，p且q：0∈?且{x|x2－3x－5<0}?R，假命题，綈p：0??，真命题．
(4) p为真命题，q为真命题，
∴p或q：5≤5或27不是质数，真命题，p且q：5≤5且27不是质数，真命题，
綈p：5>5，假命题．
11．解　若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，
则解得m>2，即p：m>2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，
解得1因p或q为真，所以p、q至少有一个为真．
又p且q为假，所以p、q至少有一个为假．
因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假，或p为假，q为真．
所以或
解得m≥3或1思考探究
12．D　[当a＝－2，b＝2时，从|a|＋|b|>1不能推出|a＋b|>1，所以p假，q显然为真．]
13．解　对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.
解不等式得：－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，则有a＋1>1，所以a>0.
又p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p、q必是一真一假．
当p真q假时有－3综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．
第二节 充分条件与必要条件
考点汇集
1．如果已知“若p，则q”为真，即p?q，那么我们说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q．这时p是q的充分必要条件，简称充要条件，实际上p与q互为充要条件．如果pq且qp，则p是q的既不充分又不必要条件．
3．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．
4．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A?B证明了必要性；B?A证明了充分性．“A是B的充要条件”的命题的证明：A?B证明了充分性；B?A证明了必要性．
自主反馈
一、选择题：
1．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则非p是非q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设集合M＝{x|0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：
7．用符号“?”或“”填空.
(1)a>b________ac2>bc2； (2)ab≠0________a≠0.
8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－29．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．
三、解答题：
10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，
q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，
q：四边形是矩形．
11.已知P＝{x|a－4思考探究
12．已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n＋1)2＋c，探究{an}是等差数列的充要条件．
第二节 充分条件与必要条件 答案
一、选择题：
1．A　2．A　3．B　4．A 5．A 6．B　
二、填空题：
7．(1) 　(2)? 8．a>2 9．b≥－2a
三、解答题：
10.(1) p是q的必要不充分条件．
(2) p是q的既不充分也不必要条件．
(3p是q的必要不充分条件．
11．解　由题意知，Q＝{x|1∴，解得－1≤a≤5.
∴实数a的取值范围是[－1,5]．
思考探究
解　当{an}是等差数列时，
∵Sn＝(n＋1)2＋c，
∴当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
∴an＋1－an＝2为常数．
又a1＝S1＝4＋c，
∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，
∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝2，
∴1－c＝2.∴c＝－1，
反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n，
可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，
∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.
第四节 全称量词与存在量词
考点汇集
(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为?x∈M，p(x)。
2．存在量词和特称命题
(1)短语“存在一个”“ 至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．
(3)特称命题：“存在M中的一个x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为?x0∈M，p(x0)．
3．含有一个量词的命题的否定
(1)全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)；
(2)特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x).
4．命题的否定与否命题
命题的否定只否定结论，否命题既否定结论，又否定条件．
自主反馈
一、选择题：
1．下列语句不是全称命题的是(　　)
A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个向量都有大小
2．下列命题是特称命题的是(　　)
A．偶函数的图像关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于3
3．下列是全称命题且是真命题的是(　　)
A．?x∈R，x2>0 B．?x∈Q，x2∈Q
C．?x0∈Z，x>1 D．?x，y∈R，x2＋y2>0
4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是(　　)
A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x0，使x>0
C．任一无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数x0，使>2
5．已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则(　　)
A．綈p：?x0∈R，sin x0≥1 B．綈p：?x∈R，sin x≥1
C．綈p：?x0∈R，sin x0>1 D．綈p：?x∈R，sin x>1
6．“存在整数m0，n0，使得m＝n＋2 011”的否定是(　　)
A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011
B．存在整数m0，n0，使得m≠n＋2 011
C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011
D．以上都不对
二、填空题：
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述为________________．
8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：________________________________________________________________________.
9．下列四个命题：
①?x∈R，x2＋2x＋3>0；
②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；
③若p是綈q的充分而不必要条件，则綈p是q的必要而不充分条件．
其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)
三、解答题：
10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0.
(2)对任意实数x1，x2，若x1(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.
(4)?x0∈R，使x＋1<0.
11．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有些质数是奇数；
(2)所有二次函数的图像都开口向上；
(3)?x0∈Q，x＝5；
(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．
思考探究
12．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________________________．
13．给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，
命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．

第四节 全称量词与存在量词 答案
一、选择题：
1．C　2．D　3．B 4．B5．C　6．C　
二、填空题：
7．?x0<0，使(1＋x0)(1－9x0)>0
8．存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根 9．①②③
三、解答题：
10．解(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)真命题．(2)假命题．(3)真命题．(4)假命题．
11．解　(1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．
(2)“所有二次函数的图像都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图像不是开口向上”，真命题．
(3)“?x0∈Q，x＝5”是特称命题，其否定为“?x∈Q，x2≠5”，真命题．
(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题．
思考探究
12．存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
13．解　甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，即a>或a<－1.
乙命题为真时，2a2－a>1，即a>1或a<－.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
∴a的取值范围是{a|a<－或a>}．
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，∴甲、乙中有且只有一个真命题时a的取值范围为{a|

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