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2022年河南省中考数学总复习
寒假阶段考点解析
第四章 三角形
第3节　 特殊三角形及其性质
【预学习内容课本范围】八上 P75～P84+八下P21～P39
【预学习目标定位导航】
1 了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形；
2 探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形；
3 了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形；
4 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．
【预学习考点解读分析】
考点.特殊的三角形
1.等腰三角形和等边三角形
等腰三角形 等边三角形
概念 有两条边相等的三角形 三条边都相等的三角形
性质 (1)两腰相等，两底角相等(等边对等角)； (2)顶角的 、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一)； (3)是轴对称图形，有一条对称轴 (1)三条边都相等； (2)三个内角都相等，都是 ； (3)是轴对称图形，有 条对称轴
判定 有两条边相等的三角形 三条边都相等的三角形
有两个角相等的三角形 三个内角都相等的三角形
只有一条对称轴的三角形 一个内角是 的等腰三角形；有三条对称轴的三角形
面积 S＝ah(a为等腰三角形的底边长，h为底边上的高) S＝a2(a为等边三角形的边长)
【特别提示】因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，所以在求等腰三角形的边长和内角时，若题中给出的条件不明确，要分类讨论，这样才能避免漏解情况．
2．直角三角形
定义 有一个角是直角的三角形
性质 两个锐角之和等于90°
斜边上的中线等于斜边的一半
30°角所对的直角边等于斜边的一半
勾股定理：若直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2
判定 有一个角是直角的三角形
有两个角互余的三角形
勾股定理逆定理：若a2＋b2＝c2，则以a，b，c为边的三角形是直角三角形
面积 S＝ab＝ch，其中a，b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高
【预学习考点巩固专练】
考点巩固专练1：等腰三角形的相关计算直角三角形的相关计算
★例1如图，已知在△ABC中，AB＝AC．
(1)若其中一边长为9，另一边长为4，则它的第三边长为　 　；
(2)如图1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若AB＝6，则DE＝　 　；
图1
(3)如图2，若∠BAD＝36°，∠ADE＝∠AED，则∠CDE＝　 　；　
图2
(4)如图3，若AD⊥BC于点D，∠BAC＝120°，AC＝10，则AD＝　 　；
(5)若∠BAC＝60°，AB＝8，则△ABC的面积为　 　；
(6)如图3，若AD是∠BAC的平分线，△ABD的周长为16，△ABC的周长为24，则AD的长为　 　；
图3
(7)如图4，若∠A＝36°，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，CE交BD于点O，那么图中的等腰三角形个数是　 　；
图4
(8)如图5，AC＝4，AD⊥BC，E为AC的中点，P为AD上一动点．若△ABC腰上的中线长是3，则△PEC周长的最小值为　 　；
图5
(9)如图6，AC＝BC＝4，∠A＝30°，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处．当直线EF与直线AC垂直时，则AE的长为　 　.
图6
【规律方法总结】等腰三角形性质的应用:(1)在等腰三角形中，由“等边对等角”可得两角相等，进行角的计算；由“等角对等边”可得两条线段相等(注意：等腰三角形的这个性质将角与边建立了联系)．(2)等腰三角形中“三线合一”是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线垂直的重要依据．(3)注意等腰三角形中腰或底角的不确定性出现的分类讨论．(详见本书微专题　与三角形有关的分类讨论)
★提分演练
1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AB于点D ，交AC于点E，若AB＝10，则CE的长为(　 　)
A．5 B．8 C．10 D．10
2．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是　 　.
考点巩固专练2：直角三角形的相关计算
★例2(1)如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
①若∠B＝40°，则∠ACD＝　 　；
②若AC＝6，BC＝8，则CD＝　 　；
③若∠B＝30°，AD＝1，则AB的长为　 　.
图1
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点．
①若AB＝6，则CD的长为　 ；
②若∠DCA＝30°，则∠B＝　 　；
③若AC＝3，BC＝3，则AB＝　 　.
图2
【规律方法总结】直角三角形的常用性质：(1)当出现直角三角形以及对应的三边长时，联想到勾股定理；(2)当直角三角形中出现30°或60°角时，联想到30°角对应的直角边等于斜边的一半；(3)当直角三角形中出现45°角或两边相等时，应该联想到等腰直角三角形的性质；(4)出现特殊角，而未出现直角时，也可考虑作垂线构造直角三角形；(5)当出现直角三角形斜边的中点时，应联想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．
★提分演练
3．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为　 　.　
4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则∠A＝　 　.
【预学习考点真题回顾】
命题点：特殊三角形的相关计算
1．(2021河南第15题，3分)小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1.第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A′处，如图2；第二步，将纸片沿CA′折叠，点D落在D′处，如图3.当点D′恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为　 　.
2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 ．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3.点D是BC边上的一动点(不与点B，C重合)，过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为 ．
★河南历年中考备用卷试题精选
1．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2 ，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点(不与点A，B重合)，若点B关于直线MN的对称点B′恰好落在等边三角形ABC的边上，则BN的长为 ．
2．如图，点D是Rt△ABC斜边BC上一动点，以D为直角顶点作Rt△DEF，点G是EF的中点，连接AG.若AB＝AC＝2，DE＝DF＝1，设AG＝x，则x的取值范围是 ．
【全国试题新考型拓展】
(2021四川)如图，将三角形纸片ABC折叠，使点B，C都与点A重合，折痕分别为DE，FG.已知∠ACB＝15°，AE＝EF，DE＝，则BC的长为 　.
2022年河南省中考数学总复习
寒假阶段考点解析
第四章 三角形
第3节　 特殊三角形及其性质
【预学习内容课本范围】八上 P75～P84+八下P21～P39
【预学习目标定位导航】
1 了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形；
2 探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形；
3 了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形；
4 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．
【预学习考点解读分析】
考点.特殊的三角形
1.等腰三角形和等边三角形
等腰三角形 等边三角形
概念 有两条边相等的三角形 三条边都相等的三角形
性质 (1)两腰相等，两底角相等(等边对等角)； (2)顶角的① 平分线 、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一)； (3)是轴对称图形，有一条对称轴 (1)三条边都相等； (2)三个内角都相等，都是 ② 60° ； (3)是轴对称图形，有③ 三 条对称轴
判定 有两条边相等的三角形 三条边都相等的三角形
有两个角相等的三角形 三个内角都相等的三角形
只有一条对称轴的三角形 一个内角是④ 60° 的等腰三角形； 有三条对称轴的三角形
面积 S＝ah(a为等腰三角形的底边长，h为底边上的高) S＝a2(a为等边三角形的边长)
【特别提示】因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，所以在求等腰三角形的边长和内角时，若题中给出的条件不明确，要分类讨论，这样才能避免漏解情况．
2．直角三角形
定义 有一个角是直角的三角形
性质 两个锐角之和等于90°
斜边上的中线等于斜边的一半
30°角所对的直角边等于斜边的一半
勾股定理：若直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2
判定 有一个角是直角的三角形
有两个角互余的三角形
勾股定理逆定理：若a2＋b2＝c2， 则以a，b，c为边的三角形是直角三角形
面积 S＝ab＝ch，其中a，b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高
【预学习考点巩固专练】
考点巩固专练1：等腰三角形的相关计算直角三角形的相关计算
★例1如图，已知在△ABC中，AB＝AC．
(1)若其中一边长为9，另一边长为4，则它的第三边长为　9　；
(2)如图1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若AB＝6，则DE＝　3　；
图1
(3)如图2，若∠BAD＝36°，∠ADE＝∠AED，则∠CDE＝　18°　；　
图2
(4)如图3，若AD⊥BC于点D，∠BAC＝120°，AC＝10，则AD＝　5　；
(5)若∠BAC＝60°，AB＝8，则△ABC的面积为　16　；
(6)如图3，若AD是∠BAC的平分线，△ABD的周长为16，△ABC的周长为24，则AD的长为　4　；
图3
(7)如图4，若∠A＝36°，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，CE交BD于点O，那么图中的等腰三角形个数是　8　；
图4
(8)如图5，AC＝4，AD⊥BC，E为AC的中点，P为AD上一动点．若△ABC腰上的中线长是3，则△PEC周长的最小值为　5　；
图5
(9)如图6，AC＝BC＝4，∠A＝30°，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处．当直线EF与直线AC垂直时，则AE的长为　2或　.
图6
【规律方法总结】等腰三角形性质的应用:(1)在等腰三角形中，由“等边对等角”可得两角相等，进行角的计算；由“等角对等边”可得两条线段相等(注意：等腰三角形的这个性质将角与边建立了联系)．(2)等腰三角形中“三线合一”是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线垂直的重要依据．(3)注意等腰三角形中腰或底角的不确定性出现的分类讨论．(详见本书微专题　与三角形有关的分类讨论)
★提分演练
1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AB于点D ，交AC于点E，若AB＝10，则CE的长为(　C　)
A．5 B．8 C．10 D．10
2．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是　80°或50°　.
考点巩固专练2：直角三角形的相关计算
★例2(1)如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
①若∠B＝40°，则∠ACD＝　40°　；
②若AC＝6，BC＝8，则CD＝　　；
③若∠B＝30°，AD＝1，则AB的长为　4　.
图1
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点．
①若AB＝6，则CD的长为　3　；
②若∠DCA＝30°，则∠B＝　60°　；
③若AC＝3，BC＝3，则AB＝　6　.
图2
【规律方法总结】直角三角形的常用性质：(1)当出现直角三角形以及对应的三边长时，联想到勾股定理；(2)当直角三角形中出现30°或60°角时，联想到30°角对应的直角边等于斜边的一半；(3)当直角三角形中出现45°角或两边相等时，应该联想到等腰直角三角形的性质；(4)出现特殊角，而未出现直角时，也可考虑作垂线构造直角三角形；(5)当出现直角三角形斜边的中点时，应联想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．
★提分演练
3．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为　45°　.　
4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则∠A＝　30°　.
【预学习考点真题回顾】
命题点：特殊三角形的相关计算
1．(2021河南第15题，3分)小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1.第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A′处，如图2；第二步，将纸片沿CA′折叠，点D落在D′处，如图3.当点D′恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段A′D′的长为　2－或　.
2.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 或1 ．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3.点D是BC边上的一动点(不与点B，C重合)，过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为 1或2 ．
★河南中考历年备用卷试题精选
1．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2 ，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点(不与点A，B重合)，若点B关于直线MN的对称点B′恰好落在等边三角形ABC的边上，则BN的长为 或 ．
2．如图，点D是Rt△ABC斜边BC上一动点，以D为直角顶点作Rt△DEF，点G是EF的中点，连接AG.若AB＝AC＝2，DE＝DF＝1，设AG＝x，则x的取值范围是 ≤x≤2＋ ．
【全国试题新考型拓展】
(2021四川)如图，将三角形纸片ABC折叠，使点B，C都与点A重合，折痕分别为DE，FG.已知∠ACB＝15°，AE＝EF，DE＝，则BC的长为　4＋2　.

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