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函数的零点知识点与题型归纳
一、知识点
1．函数的零点
(1)定义：函数的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：方程有实根函数的图象与x轴有交点函数有零点．
2.零点存在性定理
若函数y＝f(x)在闭区间上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即，则在区间内，函数至少有一个零点，即相应方程在区间内至少有一个实数解．
零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决.
3.有关函数零点的结论
(1)函数的零点是一个实数，而不是点，即是方程的实数根，是函数的图象与轴交点的横坐标；
(2)若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点；
(3)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
(4)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号（不是二重零点），也可能不变号（二重零点）；
(5)定理不可逆，即函数有零点，不一定有.故是连续函数在闭区间上有零点的充分不必要条件；
(6)若连续不断的函数图象在上是单调函数，则 函数在区间上只有一个零点；若不单调，则个数不确定．即至少存在一个零点；
(7)若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，如函数在上就是这样的．
4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
5.零点的求法
(1)利用方程求解法，解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点;
(2)利用零点存在定理求解;
(3)数形结合法,对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．
6.二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．
给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
(1)第一步中要使：①确定区间，区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且;
(2)第二步，取中间值;
(3)第三步，计算：①若，则就是函数的零点;②若，则令（此时零点;③若，则令（此时零点）
(4)第四步，判断是否达到精确度，即若，则得到零点值或，否则重复第二至第四步.
二、题型归纳
题型一、求函数的零点
1.(1)函数的零点是 (　　)
A.2,4 B.-2,-4 C.(-2,0),(-4,0) D.(-2,-4)
(2)若是的一个零点，则的值为________.
2.函数有一个零点是2，那么函数的零点是________.
题型二　判断或证明函数零点的存在性
3.求证：函数至少有一个零点.
4.证明：函数在R上有零点.
题型三 利用零点比较大小
5.已知函数，若实数是方程的解，且，则的值(　　)
A．恒为负 B．等于零 C．恒为正 D．不大于零
6.已知函数，，的零点分别为，则的大小关系是(　　)
A． B． C． D．
题型四　函数零点个数问题
7.函数的零点的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
8.设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
规律方法：判断函数零点个数的常用方法
(1)利用方程根，令f(x)＝0，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)函数零点存在定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
题型五 函数零点所在区间
9.根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是(　　)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12
x＋2 1 2 3 4 5
A.(－1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)
10．若，则函数的两个零点分别位于区间(　　)
A．和内 B．和内
C．和内 D．和内
规律方法：确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)定义法：利用函数零点存在定理：首先看函数在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有.若，则函数在区间(a，b)内必有零点.
(2)解方程法：当对应方程易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．
题型六 根据函数零点求参数
（一）根据函数零点个数求参数
11.若函数（＞0且≠1）有两个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12.当时，若函数与(>0)的图象有交点，则的取值范围是________.
规律方法：由函数的零点个数求参数的值或范围的策略
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，转化为两个函数图像的交点个数．
（二）根据函数有无零点求参数
13.已知函数区间内有零点，求实数的取值范围.
14.已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是________．
（三）根据零点的范围求参数
15.若函数，有零点，则实数的取值范围是________.
16.已知函数的零点在内，那么________.
题型七 函数的零点与周期
17.若偶函数满足，在时，，则关于的方程 在上根的个数是　 　．
18.(2020·青岛模拟)已知图象连续不断的函数的定义域为R，是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数为(　　)
A．5050 B．4041 C．4040 D．2020
19.若函数满足且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
题型八 复合函数的零点
20.已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为________．
21.已知函数，则函数的零点个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
题型九 方程实数根问题
22.对于函数,若,则 (　　)
A.方程一定有实数解 B.方程一定无实数解
C.方程一定有两个实数解 D.方程可能无实数解
23.已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实根，则的取值范围为(　　)
A．(1,2) B．(1,5) C．(2,3) D．(2,5)
24.关于x的方程，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不等的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不等的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不等的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不等的实根．
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
规律方法：利用函数处理方程解的问题方法：
(1)方程f(x)＝a在区间I上有解 a∈{y|y＝f(x)，x∈I} y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有交点．
(2)方程f(x)＝a在区间I上有几个解 y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有几个交点．
一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答．
题型十 用二分法求函数零点的近似值
25.用二分法求如图所示函数的零点时，不可能求出的零点是（ ）
A． B． C． D．
26.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f（1）=－2 f（1．5）=0．625 f（1．25）=－0．984
f（1．375）=－0．260 f（1．4375）=0．162 f（1．40625）=－0．054
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．5　
答案解析：
1.【解析】:　(1)令,解得,,故函数的零点为-2,-4,故选B.
(2)由题意知，所以.
2.【解析】：因为函数有一个零点是2，所以，
所以.
因为，所以函数的零点是0，－.
3.【证明】：法一　因为，
所以有两个零点为－2，1.故至少有一个零点.
法二　由，得，，又因为图象在上是一条连续曲线，所以由函数零点存在定理，知在上至少有一个零点.
4.【证明】：因为，，且函数在R上的图象是不间断的，
所以函数在上有零点，从而在R上有零点.
5.【解析】：由于函数在定义域内是减函数，于是，若，当时，一定有.故选A．
6.【解析】：令，，，因为函数，，的零点分别为，则，，与的图象的交点的横坐标分别为，在同一平面直角坐标系内分别作出函数，，及的图象如图，结合图象可得，故选B．
7.【解析】：如图，画出与的图象，由图知与(x>0，且x≠1)的图象有两个交点.故函数的零点有2个.
故选：C
8.【解析】：因为函数是定义域为R的奇函数，所以，即是函数的1个零点．
当时，令，则，分别画出函数和的图像，如图所示，两函数图像有1个交点，所以函数有1个零点．
根据对称性知，当时，函数也有1个零点．
综上所述，的零点个数为3.
9.【解析】：令，则≈0.37－1，，，≈7.40－4＝.由于，所以方程的一根在(1，2)内.故选C.
10.【解析】：函数是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于，则，，，因此，，.所以，，即在区间和区间内各有一个零点．故选：A．
11.【解答】：令，有，
①当时，函数单增，函数相当于函数向下至少移动了1个单位，故函数与的图象有两个交点；
②当时，函数与的图象显然仅有一个交点，
综上，．
故选：B．
12.【解析】：当时，显然成立．
当时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足，即；
　
当时，如图②所示，要使两个函数图象有交点，需满足，即，
综上可知，.
13.【解析】：令得，所以，
所以或，解之得，
所以实数的取值范围为.
14.【解析】：函数的零点就是方程的根，
画出＝的大致图像(图略)．
观察它与直线的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数有零点．
故答案为：
15.【解析】：因为函数，有零点，所以方程在上有解，即方程在上有解．方程可变形为，因为，所以，所以.所以实数的取值范围是.
16.【解析】：因为在上单调递增，且，，所以的零点在内，则整数.
17.【解答】：因为偶函数满足，所以函数的图象关于轴对称，同时以2
为周期．根据时，得该函数在上的图象为：
再在同一坐标系中做出函数的图象，如图，当时，两函数图象有四个交点．
所以方程在上有4个根．
故答案为4．
18.【解析】：因为图象连续不断的函数的定义域为R，是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，所以，，时，函数有1个零点，所以时，函数有2个零点，所以时，函数有4040个零点，则在区间上的零点个数为4041.
故选：B．
19.【解析】：当时，的图像是一段开口向下的抛物线，的最大值为1.
因为＋2，所以是以2为周期的周期函数．和在[－5，5]内的图像如图所示，有8个交点，所以函数有8个零点．
故选：B.
20.【解析】：由题意知，所以或，则函数的零点就是
使或的值．解，得＝－3或＝；解，得＝－或＝.
从而函数的零点构成的集合为.
21.【解析】：由题意，令，得，令，由，得或，作出函数的图象，如图所示，
结合函数的图象可知，有1个解，有2个解，故的零点个数为3，故选：B．
22.【解析】：因为函数的图象在上未必连续,所以由不一定能得出函数在上有零点,即方程可能无实数解.
故选：D.
23.【解析】：由，得或，作出的图象，如图所示．由图可知，方程有2个实根，故方程有3个实根，故m的取值范围为(1,2)．
故选：A.
24.【解析】：据题意令 ①，则原方程化为 ②，
作出函数的图象如图，结合函数的图象可知：
当或时，方程①有2个不等的实根；
当时，方程①有4个不等的实根；
当时，方程①有3个不等的实根．
（1）当时，方程存在2个不等的小于1的正实根，原方程就存在8个不等的实根；
（2）当时，或，原方程存在{0，1，―1，，}共5个不等的实根；
（3）当时，，原方程存在共4个不等的实根；
（4）当时，一元二次方程的根为一正一负，且两根之和为1，可知方程的正根，故原方程只有2个不等的实根；
（5）当时，方程②无实根，故原方程无实根．
故选：A．
25.【解析】：二分法求函数的零点时，函数必须满足在零点两侧的函数值异号，而图中函数在零点的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出．
故选：C.
26.【解析】：由，则，
又，则，
又，则，
又，
又，
则，
故选：C．
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