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立体几何大题：
第一方面：求角问题
1.如图，直三棱柱中，，M、N分别为、的中点．
（1）求证：平面﹔（2）若，求二面角的余弦值．
2.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，.
（1）证明；AC⊥BP；（2）求直线AD与平面APC所成角的正弦值．
3.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转
得到的，是的中点．
（1）设是上的一点，且，求的大小；
（2）当，，求二面角的大小．
4. 如图，在四棱锥中，二面角是直二面角，为等腰直角三角形的斜边，，，，为线段上的动点.
（1）当时，证明：平面；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值.
5.如图，是半圆的直径，是半圆上异于的一点，点在线段上，满足，且，，，.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
6.如图，在三棱台中，，，.
（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的正弦值.
第二方面：平行与垂直问题
7.如右图，在四棱锥中，为直角梯形，，，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，为上一点，且.
（1）证明：直线平面；（2）求二面角的余弦值.
8.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，
PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝.
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求二面角F－AE－P的余弦值；
(3)设点G在PB上，且＝.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.
9.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，
且底面 ，点分别在棱 上．
（1）若是 的中点，证明：；
（2）若平面 ，二面角的余弦值为 ，
求四面体的体积．
第三方面：限制条件下的立体几何问题
10.如图1，在三棱锥中，，，为的中点。
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值。
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥AD，∠BAD＝90°，PA＝AD＝2AB＝4BC＝4，．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）线段AB上是否存在一点M，使得MC与平面PCD所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
12.如图1，在梯形中，，，.将与分别绕，旋转，使得点，相交于一点，设为点，形成图2，且二面角与二面角都是45°.
（1）证明：平面平面；
（2）若，且梯形的面积为，求二面角的余弦值.
13.如图，四棱锥中，四边形是边长为4的菱形，，，是上一点，且，设．
（1）证明：平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．
14.如图，四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，
（1）证明：平面平面；
（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值，求直线与平面所成角正弦值.
第四方面：距离问题
15.如图，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点．
（1）证明：平面；
（2）若点M是AB中点，求二面角的余弦值；
（3）判断点M到平面的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
第五方面：空间坐标系中非特殊点坐标问题
16.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，．
（1）求证：；
（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
17.长方形中，，是中点（图1）．将△沿折起，使得（图2），在图2中：
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存点，使得二面角
为大小为，说明理由．
18.如图所示，在底面为正方形的四棱柱中，.
（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.
第六方面：最值问题
19.如图，在四棱锥中，侧面底面，侧面底面，，，，．
（1）证明：平面．
（2）当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值．
第七方面：几何法证明
20.如图，在直三棱柱中，侧面，，的面积依次为16，12，20，E，F分别为，BC的中点．
（1）求证：平面平面；（2）求证：平面ABE．
第八方面：立体几何综合
21.（垂直关系+最值问题）
如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝120°，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，
AD＝CD＝BC＝CF.
（1）求证：EF⊥平面BCF；
（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，
并求此时二面角的余弦值.
22.（垂直关系+体积问题）
如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，，，．
（1）求证：；
（2）若，且二面角
为，求多面体的体积．
23.（投影问题+空间角问题）
如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，点在下底面上的射影是的中心O.
（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.
24.（垂直问题+存在性问题）
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
25.（立体几何中的探索性问题）
已知直四棱柱的棱长均相等，且∠BAD=60，M是侧棱DD1的中点，N是棱C1D1上的点．
（1）求异面直线BD1和AM所成角的余弦值；
（2）若二面角的大小为，试确定点N的位置．
26.（翻折问题）
已知边长为2的等边（图1），点和点分别是边、上的中点，将沿直线折到的位置，使得平面平面（图2），此时点和点分别是边、上的中点．
（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
27.（垂直问题+空间角问题）
如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
28.（旋转体背景下的立体几何问题）
如图，三棱柱内接于圆柱，已知圆柱的轴截面为正方形，，点在轴上运动．
（1）证明：不论在何处，总有；
（2）当点为的中点时，
求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
29.（截面问题）
已知边长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1（如图），现用一个平面α截该正方体，平面α与棱AA1、AB、BC分别交于点E、F、G．若A1E=2EA，AF=2FB，CG=2GB．
（1）求面α与面ABCD所成锐二面角的余弦值；
（2）请在答题卷的第2个图中作出截面α与正方体各面的交线，
用字母标识出交线与棱的交点．
30.（平行问题与求角问题）
如图所示，在四棱锥中，平面底面.，，，，，.设平面与平面的交线为，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）当四棱锥的体积最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
立体几何大题参考答案：
第一方面：求角问题
1.【解析】（1）取中点O，连结﹐，
在中，因为M为中点，O为中点，所以，且，
又N为；中点，且，所以，且，
所以且，从而四边形为平行四边形．
所以，又平面﹐平面，所以平面．
（2）在直三棱柱|中，，，，
所，故，，从而．
以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，，
设平面的法向量为，则，即，解得，
令，得，设平面的法向量为，则，即，解得，令，得，所以，
所以二面角的余弦值为．
2.【解析】（1）证明：取AC的中点M，连接PM，BM，∵AB＝BC，PA＝PC，
∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，∴AC⊥平面PBM，∵BP 平面PBM，∴AC⊥BP．
（2）解：∵底面ABCD是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，∴∠ABC＝120°，
∵AB＝BC＝1，∴AC，BM，∴AC⊥CD，又AC⊥BM，∴BM∥CD．
∵PA＝PC，CM，∴PM，
∵PB，∴cos∠BMP，∴∠PMB＝120°，
以M为原点，以MB，MC的方向为x轴，y轴的正方向，
以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M﹣xyz，如图所示：
则A（0，，0），C（0，，0），P（，0，），D（﹣1，，0），
∴（﹣1，，0），（0，，0），（，，），
设平面ACP的法向量为（x，y，z），则，即，
令x得（，0，1），∴cos，，
∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos，|．
3.【解析】（1）因为，，，平面，，
所以平面，又平面，所以，又，因此
（2）解法一：
取的中点，连接，，．因为，所以四边形为菱形，
所以．取中点，连接，，．
则，，所以为所求二面角的平面角．又，
所以．在中，由于，由余弦定理得，所以，因此为等边三角形，故所求的角为．
解法二：
以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得，，，
故，，，设是平面的一个法向量．
由可得取，可得平面的一个法向量．
设是平面的一个法向量．由可得取，可得平面的一个法向量．所以．因此所求的角为．
4.【命题意图】本题考查空间几何点线面位置关系、线面垂直的性质和判定、面面垂直的判定、点面距离的求法等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化的思想；考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.
【试题解析】（1）连结交于，连结，因为，，
所以为的垂直平分线，则，又因为，所以为的中位线，则，又因为平面，平面，所以平面.
（2）解法一：取的中点，因为平面平面，所以平面，
过作的垂线作为轴，分别以，所在的直线为轴，轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，由已知，得，故，
假设，因为，，，，
由，得，解得，，，
假设平面的一个法向量是，则，
即，令，，，取，
因为平面平面，且，所以平面的一个法向量是，
取，假设二面角的平面角为，因为二面角的平面角为锐角，
则二面角的余弦值.
解法二：（1）同解法一；
（2）因为，得，又因为平面平面，
故以点为原点，，所在的直线为轴，轴，在平面内过点作的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，于是，，，假设平面的一个法向量是，则，
即，令，，，取，因为平面平面，
且，所以平面的一个法向量是，取，
假设二面角的平面角为，则.
因为二面角的平面角为锐角，所以其大小的余弦值.
解法三：（1）同解法一；
（2）以所在直线为轴，所在的直线为轴，过作平行线为轴，
则，，，，，
于是，，，
假设平面的一个法向量是，则，
即，令，，，取，
因为平面平面，且，
所以平面的一个法向量是，取，
假设二面角的平面角为，则.
因为二面角的平面角为锐角，所以其大小的余弦值.
解法四：（1）同解法一；
（2）取的中点，因为平面平面，所以平面，过作的垂线作为轴，分别以，所在的直线为轴，轴建立如图空间直角坐标系，
由已知，得，故，
又，，，，
假设，因为，，，
由，得，解得，，，假设，，设，解得，，因为平面平面，且，则，
又因为，所以，
解得，于是，则，
假设平面的一个法向量是，则，即，令，，，取，依题意可取平面的一个法向量为，
取，假设二面角的平面角为，则.
因为二面角的平面角为锐角，所以其大小的余弦值.
5.【详解】（1）是半圆的直径，是半圆上异于的一点，.
，，，.
，，，
，，.
，平面，平面，
又平面，.
（2）以为原点，，所在直线分别为轴 轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，
，，，
设平面法向量为，则，
令，得：，，；
设平面的法向量为，得，
令，得：，，；
，
结合图可知，二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.
【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：
（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；
（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；
（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.
6.【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分.
【解答】（1）依题意，四边形为等腰梯形，过，分别引AC的垂线，垂足分别为D，E，则
，故.
在中，，
所以，故，即.因为，，且AB，平面，所以，因为，所以.
（2）因为，，，且AC，，
所以，结合（1）可知AB，AC，A1D三条直线两两垂直. 以A为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，则各点坐标为
，，，，.
由（1）知，为平面的法向量.
，，设为平面的法向量，则
故取，
所以设二面角的大小为，则.
第二方面：平行与垂直问题
7.【解析】（1）连接交于点,连接,因为,所以与相似,
所以, 又,所以,因为平面,平面,
所以直线平面
（2）由题,因为平面平面,平面平面,平面,,所以平面, 以为坐标原点,所在的方向分别为轴、轴的正方向,与均垂直的方向作为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为,,
则,,,,所以,,,
设平面的一个法向量为,则,即,
令,得,,于是,设平面的一个法向量为,则
,即,令,得,,于是,
设二面角的平面角的大小为,则,
所以二面角的余弦值为。
8.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
(2)解：过点A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD，AM，AD 平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD.建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(2，－1，0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)，P(0，0，2).因为E为PD的中点，所以E(0，1，1).所以＝(0，1，1)，＝(2，2，－2)，＝(0，0，2).所以＝＝，
所以＝＋＝.
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即令z＝1，则y＝－1，x＝－1.于是n＝(－1，－1，1).又因为平面PAD的一个法向量为p＝(1，0，0)，
所以cos〈n，p〉＝＝－.由题知，二面角F－AE－P为锐角，所以其余弦值为.
(3)解：直线AG在平面AEF内，理由如下：因为点G在PB上，且＝，＝(2，－1，－2)，
所以＝＝，所以＝＋＝.
由(2)知，平面AEF的一个法向量n＝(－1，－1，1)，所以·n＝－＋＋＝0.
又点A∈平面AEF，所以直线AG在平面AEF内.
9.解法一：题设知，， ，两两垂直，
以为坐标原点， ，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则相关各点的坐标为，，
， ， ，其中，，
（1）若是的中点，则 ，，于是，∴，即；
（2）由题设知，，是平面内的两个不共线向量.
设是平面的一个法向量，则，即，
取，得，又平面的一个法向量是，
∴，
而二面角的余弦值为，因此，
解得，或者（舍去），此时，设，而 ，
由此得点，，∵平面，
且平面 的一个法向量是，∴，即，亦即，从而，
于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，
故四面体的体积.
解法二 ：（1）如图，取的中点，连结，，
∵， 是梯形的两腰，是的中点，∴，
于是由知，，∴，，，四点共面，
由题设知，，，∴ 平面，因此①，
∵，∴，
因此，于是，
再由①即知平面，又平面，故；
（2）如图，过点作交于点，
则平面，∵平面，∴平面，过点作于点，连结，则，为二面角的平面角，∴，即，从而③连结，由平面，∴，又是正方形，所以为矩形，故，设，则 ④，过点作 交于点，则为矩形，∴，，因此，于是，∴，再由③④得，解得，因此，故四面体的体积.
第三方面：限制条件下的立体几何问题
10.【解析】（1）欲证平面，只需在平面内寻找两条相交直线与直线垂直；
因为，为的中点，所以，且.
连结.因为，所以为等腰直角三角形，且，.由知，由，得平面.
（2）建立空间直角坐标系，由于点在棱上，可设出点M的坐标，利用二面角为，求出点M的坐标，再求出直线的方向向量与平面的法向量，利用线面所成角的向量公式，即可求出与平面所成角的正弦值．如图2，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.由已知得
取平面的法向量.设，
则.设平面的法向量为.
由得，
可取，
所以.由已知得.
所以.解得（舍去），或.
所以.又，
所以.所以与平面所成角的正弦值为.
11.解：（1）证明：因为∠BAD＝90°，所以AD⊥AB．因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD平面ABCD，所以AD⊥平面PAB．所以AD⊥PA．
因为∠BAD＝90°，BC∥AD，所以∠ABC＝90°．
在Rt△ABC中，，因为PA＝4，，所以PA2＋AC2＝PC2，
所以PA⊥AC．因为AC平面ABCD，AD平面ABCD，AC∩AD＝A，所以PA⊥平面ABCD．
（2）解：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，4，0），P（0，0，4）．
设M（a，0，0）（a∈[0，2]），所以，，．
设平面PCD的法向量为，所以
令y1＝2，得x1＝3，z1＝2．所以．
所以．化简，得4a2-4a＋1＝0，解得．
所以存在点M，使得MC与平面PCD所成角的正弦值为，此时的值为．
12.解：（1）证明：由题意知AE⊥EP，AE⊥EF，EP∩EF＝E，所以AE⊥平面PEF，又因为AE 平面ABFE，
所以平面ABFE⊥平面PEF，即平面PEF⊥平面ABFE．
（2）解：由（1）知∠PAF为二面角P﹣AE﹣F的平面角，∠DAF＝45°，
同理，∠PFE为二面角P﹣BF﹣E的平面角，∠PFE＝45°，△PEF为等腰直角三角形，
因为EF＝AB＝，所以PE＝PF＝1，又梯形ABCD的面积为 (2+2) AE＝+1，
解方程得AE＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
A(1,0,0),B(1,,0),F(0,,0),P(0,,),＝(﹣1,﹣,),＝(0,﹣,0),(﹣1,0,0),
设平面PAB与平面PBF法向量分别为＝(x,y,z),＝(u,v,w),,
令z＝,＝(1,0,),,令w＝1,＝(0,1,1),设二面角F﹣PB﹣A的平面角为θ，由图得θ为钝角，所以二面角F﹣PB﹣A的余弦值为cosθ＝﹣＝﹣＝﹣．
13.（1）证明：∵四边形是菱形，∴是的中点，．
∵，，∴平面．∵平面，∴．
∵，是的中点，∴．
∵平面，平面，，∴平面．………………5分
（2）解：由（1）知平面，，∴，，两两互相垂直．
∴以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示．
设，∵四边形是菱形，，
∴和都是等边三角形．∴．
∴，，，．
∴，，，
∵，∴，
∴．即．……………7分 ∴，．
设平面的法向量为，
则
令，得，，∴．……………………9分
设平面的法向量为，
则，令，得，．∴．
设二面角的平面角为，结合图象可知，
，
∴二面角的余弦值为．……………………12分
14.【详解】（1）过D作，垂直为O，连接，
在中，，，可得，在中，
由余弦定理可得，所以，
因为，所以为等边三角形，所以，
所以，可得，又由，且，
所以平面，又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，以O为原点，，，方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系
设，则，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，即，令，，
平面的法向量为，由，解得
因为平面，所以为与平面所成的角，所以，
即直线与平面所成角正弦值.
【点睛】本题考查了面面垂直的判定，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
第四方面：距离问题
15.（1）证明：因为在正方体中，，平面，平面，
平面
（2）在正方体中，，，两两互相垂直，则建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，，，设向量，分别为平面和平面的法向量，由 取，则，，.
同理 取，则，，.
，又二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为
（3）由（1）知平面.点到平面的距离等于上任意一点到平面的距离，取点为，结和（2）和点到平面的距离.点到平面的距离定值为
第五方面：空间坐标系中非特殊点坐标问题
16.解：（1）证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，
由，，可得 故是等腰直角三角形，即，
∵平面ABCD，平面ABCD，∴，又，∴平面PAC，
又平面PAC，∴．
（2）取BC的中点E，连接AE，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，，，，，，
设，则点M为，所以，
设平面MAC的法向量是，则，，
则可取又是平面ACD的一个法向量，
∴，解得，即点M是线段PD的中点．
此时平面MAC的一个法向量可取，，
设BM与平面MAC所成的角为，则，
∴BM与平面MAC所成角的正弦值为．
17.【解析】试题分析：（1）长方形中，连结，因为，是中点，所以，从而，所以,再根据，可得线面垂直，从而证明平面平面（2）建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，取面的一个法向量是，利用其夹角为，即可得出.
（2）因为平面平面，交线是，所以在面过垂直于的直线必然垂直平面．以为坐标原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系．
依题意，即，解方程得，或，取，因此在线段上存点，使得二面角为大小为．
点睛：立体几何问题对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求垂直或平行关系，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析.
18.【解析】试题分析：（1）连交于,由条件可得，又由得到，从而可得平面．由四边形为平行四边形可得，所以平面，因此平面平面．（2）由条件可得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的法向量，根据两向量的夹角的余弦值可求得线面角的正弦值．
由题意得，故四边形为平行四边形．∴，∴平面，
又平面内，∴平面平面．
（2）由题意得两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵，∴为等边三角形，∴．又，∴．
则．
∴，，
．
第六方面：最值问题
19.（1）证明；因为，，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．又平面，所以．同理可证．
因为，所以平面．
（2）解：设，则，在中，．
由（1）知，，两两垂直，以A为原点，分别以，，的方向为x轴,y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，．
设，则，，．
设直线与平面所成的角为，平面的法向量为，
则，即，令．得，
所以
因为，所以，
当且仅当，即时取等号．因为，
函数在上单调递增，所以当时，最大，即最大，
此时平面的法向量，而平面的一个法向量，
所以．因为二面角为钝角，所以它的余弦值为．
第七方面：几何法证明
20.解：（1）在直棱柱中，平面ABC，平面ABC，∴，
∵侧面，，的面积依次为16，12，20，∴，
∴，即，又，∴平面，
又平面ABE，∴平面平面，
（2）取AB的中点为G，连接EG，GF，
∵G，F分别是AB，BC的中点，∴且，
∵E为的中点，∴，又，∴且，∴四边形是平行四边形，∴，又平面ABE，平面ABE，∴平面ABE．
第八方面：立体几何综合
21.（1）证明：设AD＝CD＝BC＝1，∵AB∥CD，∠BCD＝120°，∴AB＝2，
∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 60°＝3，∴AB2＝AC2＋BC2，则BC⊥AC.
∵CF⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C，CF，BC 平面BCF，
∴AC⊥平面BCF. ∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.
（2）以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设FM＝λ(0≤λ≤)，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)，
∴＝(－，1，0)，＝(λ，－1，1).设＝(x，y，z)为平面MAB的法向量，
由 得 取x＝1，则＝(1，，－λ).
易知＝(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，
∴
∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，取得最小值，
∴当点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.
∴当点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成的
锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.
22.解：（1）证明：设与相交于点，连接，
……1分因为四边形为菱形，
所以，为的中点，……………2分
因为，
所以，…………3分
又因为，平面，平面，所以平面，………4分
平面，所以.……5分
（2）连接，因为，为中点，
所以，又，，
所以平面，　　……6分 以点为坐标原点，、、所在直线
分别为、、轴建立空间直角坐标系，　
、、，设……………7分
设平面的法向量为，，，
则，即，令，则，，则，………8分
设平面的法向量为，，则，即，
令，则，，可得，　……………9分
所以，
即，因为，解得.　　　　　……10分
由（1）知平面，为的中点,所以　……11分
因为所以，
故多面体的体积为．……12分
23.【详解】（1）证明：A在下底面上射影是的中心O，底面ABC，，
O为的中心，且为等边三角形，，平面，平面，，平面，平面，平面平面.
（2）取AB中点E，连接OE，O为的中心，且为等边三角形，
，以点O为原点，OE所在直线为x轴，过点O作平行于AB的直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
，，，设平面的一个法向量为，
，取可得平面的一个法向量为
且平面ABC的一个法向量，设二面角平面角为，，所成角为，显然为锐角，.
24.解：（1）证明：连接，在中，因为，，，所以.
因为点是的中点，所以.在中，，，，由余弦定哩，有，所以，所以.在中，，，满足，所以，又，所以平面.
（2）如图，以点为坐标原点，建立空间肖角坐标系，则，，，设，，
在中，，而，得，所以.
平面的一个法向量为，直线与平面所成角为.
因为，所以.
因为.所以，
得，所以或(舍)，所以.
25.【详解】的中点，连结，，
因为直四棱柱的棱长均相等，所以底面是菱形，
又，所以△ABD是正三角形，所以，因为，所以,
在直四棱柱中，平面，平面，
所以，，分别以直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设直四棱柱的棱长均为2，则，，，，，，
（1）所以，,设异面直线与所成角的大小为，则
，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（2）因为，．设平面的一个法向量为，
则 即，所以取，则；
设，则，设平面的一个法向量为，
则 即 ，所以取，则，
则，解得，
所以当二面角的大小为时，点与点重合．
26．（1）连接∵点和点分别是边、上的中点．
∴……………………1分
∵等边中，点是边的中点
∴∴……………………2分
∵等边中，点是边的中点
∴……………………3分
又∵平面
∵平面平面且平面平面
∴平面 ∴……………………4分
∵ ∴平面……………………5分
（2）连接的中点，由图1得
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，
轴建立空间直角坐标系……6分
则，，，所以，………7分
设平面的法向量为．
由，取，得；……………………9分
因为平面的法向量为……………………10分
设平面与平面所成锐二面角为，……………………11分
所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．……………………12分
27．（1）证明：连接.∵, 为的中点, ∴
∵, ∴. ………2分
∵, 为的中点, ∴
∵, ∴. ………4分
, .
∵ ∴平面. ………6分
（2）以O为坐标原点，所在的直线分
别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则, , .
则, . ………7分
设平面的法向量，
则.
令则. ………9分
易证平面,故取平面的法向量. ………10分
因为二面角的平面角为锐角，所以 ………12分
28.（1）证明：连结并延长，交于，交圆柱侧面于．
又圆柱中，，，
平面， ………3分
不论在何处，总有平面
………5分
（2）如图，建立空间直角坐标系，由（1）知轴，
设，则，
在中，
从而. ………7分
设平面的一个法向量为，则有，
取，得， ………10分 而平面的一个法向量为，于是得
，故所求锐二面角的余弦值为． ………12分
29.【解析】(1)【解法1】（几何法）
，连接 …………………1分
由三垂线定理知 …………………2分
由二面角的定义可知，为面α与面
所成锐二面角的平面角。 ……………………………3分
正方形的边长为3，则，
由为等腰直角三角形得…………4分
，则 ……………………5分
所以 …………………………6分
综上，面与面所成锐二面角的余弦值为．……………………7分
【注：无此步骤本得分点不得分】
【解法2】（向量法）
以，，分别为
建立如图空间直角坐标系．……………1分
，则，，
由，，
则，………………2分
设为平面的一个法向量，则，即……3分
令，则，∴面的一个法向量 ……………………4分
面的一个法向量 ………………………………………………………5分
………………………………………………………6分
综上，面与面所成锐二面角的余弦值为 …………………………………7分
(2)
……………………………12分
【评分说明1】作图结果中，标识P4约为三等分点可得2分，标识P3约为六等分点可得2分，交线全部正确得1分。点和线的位置允许有少量偏差（不扣分）。标识的字母可自由定义，不重复即可．
【评分说明2】P3位置在D点到DD1中点之间或DD1线段外则定义为位置严重错误（须扣分），
P4位置在C1点到CC1中点之间或CC1线段外则定义为位置严重错误（须扣分）．
【评分说明3】作图结果为与正确解答类似的五边形，至少可得3分．
【评分说明4】作图结果为非五边形，至多可得2分．
【注释1】作图步骤：
步骤1：延长GF，交直线DA于点P1，
步骤2：延长FG，交直线DC于点P2，
步骤3：延长P1E，交直线DD1于点P3，
步骤4：连结P2 P3，交直线CC1于点P4，
步骤5：连结P4 G．
【注释2】位置说明：
如图所示，截面与正方体各面的5条交线分别为
面面，面面，面面，
面面，面面，
且（或)，（或)．
30.（1）在中，因为，，所以，，
所以.在中，因为，，所以为等边三角形，
所以，，所以，又，所以.
如图，延长和交于点，连接，因为，平面，所以平面.
同理可得平面.所以所在直线即为直线.因为，所以为的中点，所以在中，.因为不在平面内，平面，所以平面.
（2）过向作垂线，垂足为，因为平面底面，所以底面.因为梯形的面积和的长为定值，所以当点与重合，即底面时，四棱锥的体积最大.当点与重合时，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，可得，，，，，.
设平面的一个法向量为，由取，得，
由题意，平面的一个法向量为，则.
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
图1
3
图2
z
y
x
47
1

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