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2022年高三数学寒假作业二
(时间:45分钟　分值:80分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确选项填在答题卡的相应位置)
1.已知集合A={x|-5A.[-2,1) B.(-5,1)
C.(-5,2] D.(-5,2)
2.已知复数z满足(1-i)(3+z)=1+i(i为虚数单位),则z的共轭复数为 (　　)
A.3-i B.3+i
C.-3-i D.-3+i
3.中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog21+,它表示:在受噪音干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫作信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式,若带宽W增大到原来的1.1倍,信噪比从1000提升到16 000,则C大约增加了(附:lg 2≈0.3) (　　)
A.21% B.32%
C.43% D.54%
4.“m=-1”是“直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行”的 (　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知{an}是等比数列,Sn是其前n项积,若=32,则S9= (　　)
A.1024 B.512
C.256 D.128
6.在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛,经过评判,这200名参赛者的得分都在[40,90]之间,其得分的频率分布直方图如图X3-1,则下列结论错误的是 (　　)
图X3-1
A.可求得a=0.005 B.这200名参赛者得分的中位数为65
C.得分在[60,80)内的频率为0.5 D.得分在[40,60)内的共有80人
7.将函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)=cos2x+的图像,则函数f(x)在0,上的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.[-1,1]
8.已知函数f(x)=则不等式f(x)<1的解集为 (　　)
A.(1,7) B.(0,8)
C.(1,8) D.(-∞,8)
9.已知正三角形ABC的边长为2,点M满足=+,则·的值为 (　　)
A. B.
C. D.
10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁,扇面形状较为美观.如图X3-2①,从半径为R的圆面中剪下扇形AOB,使剪下扇形AOB后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为,再从扇形AOB中剪下扇环形ABDC制作扇面,使扇环形ABDC的面积与扇形AOB的面积的比值为.则一个按照上述方法制作的扇环形装饰品(如图X3-2②)的面积与其所在圆的面积的比值为 (　　)
图X3-2
A. B. C. D.-2
11.已知M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,则下列说法中错误的是 (　　)
A.过点M有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交
B.过点M有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直
C.过点M有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交
D.过点M有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行
12.已知函数f(x)=ex-asin x在区间0,上有极值,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(0,1) B.(1,e)
C.(1,2e) D.1,2
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.某圆台下底面半径为2,上底面半径为1,母线长为2,则该圆台的表面积为　　　　.
14.利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“4a-1<0”发生的概率为　　　　.
15.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为圆x2+(y-1)2=2的圆心,又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A,B两点,则|AB|=　　　　.
16.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时,费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为△ABC的费马点,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=2sinC-cos B,且b2=(a-c)2+6,则PA·PB+PB·PC+PA·PC的值为　　　　.
答案
1.C　[解析] ∵A={x|-52.C　[解析] 因为(1-i)(3+z)=1+i,所以3+z====i,所以z=-3+i,所以z的共轭复数为-3-i.故选C.
3.D　[解析] 由题意知-1=1.1×-1=1.1×-1≈0.54,所以C大约增加了54%.故选D.
4.A　[解析] 若直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行,则m2-1=0,即m=±1.当m=1时,两条直线都为x+y=0,即重合,舍去;当m=-1时,两条直线分别为x-y+4=0,x-y-2=0,符合题意.故“m=-1”是“直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行”的充要条件.故选A.
5.B　[解析] =a3a4a5a6a7==32,则a5=2,则S9=a1a2a3a4a5a6a7a8a9==512,故选B.
6.B　[解析] 由频率之和为1,可得a×10=1-(0.035+0.030+0.020+0.010)×10=0.05,故a=0.005,故选项A中结论正确;得分在[40,60)内的频率为(0.005+0.035)×10=0.4,得分在[60,70)内的频率为0.030×10=0.3,所以这200名参赛者得分的中位数为60+×10≈63.3,故选项B中结论错误;得分在[60,80)内的频率为(0.030+0.020)×10=0.5,故选项C中结论正确;得分在[40,60)内的人数为(0.005+0.035)×10×200=80,故选项D中结论正确.故选B.
7.C　[解析] 将函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)=cos2x+的图像,所以cos2x-+φ=cos2x-+φ=cos2x+,因为0<φ<π,所以-+φ∈-,,所以-+φ=,即φ=,所以f(x)=cos2x+.当x∈0,时,2x+∈,,故cos2x+∈-1,,故选C.
8.C　[解析] 当x≤1时,令e2-x<1,得2-x<0,解得x>2,所以无解;当x>1时,令lg(x+2)<1,得09.C　[解析] ∵=-=-+=-,=-=-+=--,∴·=-·--=-+·+=-×4+×2×2×+×4=.故选C.
10.D　[解析] 设扇形AOB的圆心角为α,OC的长为r,R=OA=20,由题意可得=,得α=(3-)π.由=,得r=10(-1),故扇形装饰品的面积S=R2α-r2α=α(R2-r2)=×(3-)π×[202-(10-10)2]=400(-2)π,则扇环形装饰品的面积与其所在圆的面积的比值为=-2.
11.C　[解析] 直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线,点M不在这两条异面直线中的任何一条上.如图所示,取C1C的中点N,连接MN,则MN∥AB,且MN=AB,连接BN并延长,交B1C1的延长线于点H,连接HM并延长,交BA的延长线于点O,由图可知过点M有且只有一条直线HO与直线AB,B1C1都相交,故A中说法正确;过点M有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直,此直线就是直线DD1,故B中说法正确;凡是过OH的平面均和AB,B1C1都相交,即过点M有无数个平面与直线AB,B1C1都相交,故C中说法错误;过点M有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行,此平面就是过点M与正方体的上、下底面都平行的平面,故D中说法正确.故选C.
12.D　[解析] f'(x)=ex-acos x,由题意知ex-acos x=0在0,上有解,即a=在0,上有解.记g(x)=,g'(x)=,当x∈0,时,g'(x)>0,g(x)单调递增,g(0)=1,g==2,所以113.11π　[解析] 由题意知,该圆台的表面积S=π×22+π×12+π×(2+1)×2=11π.
14.　[解析] 4a-1<0,即a<,又a为计算机产生的0~1之间的均匀随机数,所以a∈(0,1),所以所求概率P=.
15.16　[解析] 由圆x2+(y-1)2=2的圆心为(0,1),可得=1,解得p=2,所以抛物线C:x2=4y.因为直线AB的倾斜角为60°,所以直线AB的斜率k=,故直线AB的方程为y=x+1.联立可得x2-4x-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=4,x1x2=-4,则|AB|=×=16.
16.6　[解析] ∵cos A=2sinC-cos B,∴cos A=2sin C-cos Ccos B,即cos A=sin Ccos B-cos Ccos B,又A+B+C=π,∴cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C,∴-cos Bcos C+sin Bsin C=sin Ccos B-cos Ccos B,即sin Bsin C=sin Ccos B.∵sin C≠0,∴tan B==,又B∈(0,π),∴B=.由余弦定理知,cos B==,∵b2=(a-c)2+6,∴ac=6,∴S△ABC=PA·PBsin+PB·PCsin+PA·PCsin=acsin B=×6×sin=,∴PA·PB+PB·PC+PA·PC=6.

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