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2021-2022年初中数学九年级下册同步（北师大版）
3.3垂径定理-课堂练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A．9cm B．6cm C．3cm D．cm
2．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　）
A．1或7 B．7 C．1 D．3或4
3．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5 B．4 C． D．
4．如图，已知的半径为5，弦，则上到弦所在直线的距离为2的点有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，矩形中，，，，分别是，边上的动点，，以为直径的与交于点，．则的最大值为（ ）．
A．48 B．45 C．42 D．40
6．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．2
二、填空题
7．半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角度数为 ____．
8．已知的半径为，弦，且，则弦和之间的距离为_______．
9．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
10．如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点．若，则的半径是_________．
11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径⊥弦时，平分）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．
12．如图，⊙O的半径为6，的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有_____个．
三、解答题
13．的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
14．如图，M为内一点，利用尺规作一条弦，使过点M，并且．
15．如图，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分．
16．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD．
17．一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多少？（结果精确到）
18．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
（1）若，，求的直径；
（2）若，求的度数．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案
1．C
【解析】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，
如图所示．直径ED⊥AB于点M，
则ED=10cm，AB=8cm，
由垂径定理知：点M为AB中点，
∴AM=4cm，
∵半径OA=5cm，
∴OM2=OA2-AM2=25-16=9，
∴OM=3cm．
故选：C．
2．A
【解析】解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，
∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE2＝OC2﹣CE2
∴OE3，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF2＝OA2﹣AF2
∴OF4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，
AB与CD的距离为7；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE＝3，OF＝4；
则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7．
故选：A.
3．D
【解析】解：O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
C点是AB的中点，即AC=BC==6；
并且OC⊥AB，在中，
由勾股定理得，
所以；AO=8cm，
所以，
所以OC=
故选：
4．B
【解析】解：作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，
∵AB=8，
∴AD=4．
∵OA=5，
∴OD==3，
∴CD=OC-3=5-3=2，即C到弦AB所在的直线距离为2，
∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为2的点只有C点；
∵DE=5+3=8＞2，
∴在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有3个．
故选：B．
5．A
【解析】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD=，
∵×AH×BD=×AD×AB，
∴AH==36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM=，
∴此时HM有最大值，最大值为：
24，
∵OH⊥MN，
∴MN=2MH，
∴MN的最大值为2×24=48．
故选：A．
6．C
【解析】解：作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，
∵圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，
∴AB垂直平分OC，
∴AC＝AO，
而OA＝OC，
∴OA＝AC＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴OD＝OA＝2，
∴AD＝OD＝2，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝2AD＝4（cm）．
故选：C．
7．120°
【解析】如图，作OD⊥AB，由垂径定理知，点D是AB的中点，
∴AD＝AB＝（cm），
∵ cos A＝，
∴∠A＝，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
故答案为：120°．
8．14cm或2cm
【解析】解：如图①，连接OA，OC，过点O作OE⊥AB，交CD于点F，交AB于点E，
因为AB//CD ，所以OE⊥CD，
∴Rt△OAE中，OA=10cm，AE=AB=6cm；
OE==8cm；
同理可得：OF=6cm；
故EF=OE-OF=2cm；
如图②；同（1）可得：OE=8cm，OF=6cm；
故EF=OE+OF=14cm；
所以AB与CD的距离是14cm或2cm，
故答案为：14cm或2cm．
9．
【解析】解：由题意得：，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
10．
【解析】解：连接OA
∵C是AB的中点，OA=OB，AB=4
∴AC=AB=2，OC⊥AB，
∴OA2=OC2+AC2，
∵CD=1
∴OA2=（OA-1）2+22，
解得，OA=
故答案为：
11．10
【解析】解：∵弦米，半径弦，
∴，
∴，
∴，
∴弧田面积（弦×矢+矢2），
故答案为10
12．4
【解析】解：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，
设OC＝x，AC＝y，
∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，
∴AB≤12，
∵△OAB的面积为18，
∴，
则y＝，
∴，
解得x＝3或﹣3（舍），
∴OC＝3＞4，
∴4＜OP≤6，
∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，
则P点有4个．
故答案为：4
13．7cm或17cm．
【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AE＝12cm，CF＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，
∴EF＝12 5＝7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AE＝12cm，CF＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，
∴EF＝OF＋OE＝17cm．
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
14．答案见解析．
【解析】如图，作直线OM，以M为圆心，以MO为半径作弧，交直线MO于点N，
分别以点O，点N为圆心，以大于ON为半径画弧，
二弧交于点E，F，作直线EF交圆O于A，B两点，
则弦AB即为所求．
15．见解析
【解析】解：设AB，CD交于点P,连接OP，
假设AB与CD能互相平分，则CP=DP，AP=BP，
∵AB，CD是圆O内非直径的两弦，
∴OP⊥AB，OP⊥CD，
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾”,所以假设不成立，
所以AB与CD不能互相平分
16．证明见解析.
【解析】过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
17．半径约为．
【解析】解：如图，连接 由垂径定理推论可得：∠OCA=90°，
设圆的半径为r，则CO=r-0.25，AC=0.36，
OC2+AC2=AO2， 即0.362+（r-0.25）2=r2．
解得：r=0.3842≈0.384．
答：这个车轮的半径为0.384m．
18．（1）20；（2）30°
【解析】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设，
又∵BE＝4，
∴
∴，
解得：，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，
∵∠DOB＋∠D＝90°，
∴2∠B＋∠D＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D，
∴2∠D＋∠D＝90°，
∴∠D＝30°；
答案第1页，共2页
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