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8.3.2 实际问题与二元一次方程组（2） 教案
课题 8.3.2 实际问题与二元一次方程组（2） 单元 第8单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 帮助学生学会分析复杂问题，发现隐含的等量关系，把实际问题转换为数学问题；能够准确设未知数、列方程组并求解，加深对建模过程的认识；学会用数学问题的答案解释具体的实际问题。
重点 探究用二元一次方程组解决实际问题的完整过程。
难点 发现隐含的等量关系并列方程组。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题前面我们学习了运用方程组解决一些简单的实际问题，这节课我们继续学习建立二元一次方程组的数学模型解应用题.1．把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？ 2．把长方形纸片折成面积之比为1：2的两个小长方形，又有哪些折法？ 思考自议学会分析复杂问题，发现隐含的等量关系，把实际问题转换为数学问题； 能够准确设未知数、列方程组并求解，加深对建模过程的认识；
讲授新课 提炼概念 三、典例精讲例1 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？先学生齐读，再各自朗读或默读，使学生读懂题意并分析透彻让学生完成（1）请提取数学信息（2）转换成数学语言多媒体呈现以上（1）（2），全班交流、纠正，达成共识。【引导分析】问：这里研究的实际上是什么问题？长方形面积分割问题。请学生自己画一画：把大长方形分割成两个小长方形。小组内交流小组分享画的方案多媒体呈现两种分割方案：1.竖着画，把长分成两段，则宽不变 2.横着画，把宽分成两段，则长不变 【方案一教学】竖着画，把长分成两段，则宽不变问：等量关系式有几个？ 引导学生找出以下两个关系式，尤其是第一个隐含的关系式： 1.大长方形的长=200m2.甲、乙两种作物总产量比=3:4 问：能否直接根据问题设未知数？那么如何设未知数呢？设AE＝xm，BE＝ym. 问：第一个方程可以列了吗？多媒体呈现： x+y=200 问：第二个方程中作物总产量等于什么？和“单位面积产量”有什么关系？多媒体呈现：总产量= 单位面积产量×面积 引导学生分析：先求出两种作物的面积SAEFD=100x ，SEFBC=100y 再写出两种作物的总产量 ： 甲：100x×1 ，乙：100y×2 问：第二个方程可以列了吗？多媒体呈现： 100x:200y=3:4 【引导解答】在老师帮助引导下，根据分析过程完善解答过程。多媒体呈现：解：过点E作EF⊥AB，交CD于点F.设AE＝xm，BE＝ym. 根据题意列方程组为x+y=200100x:200y=3:4 x=120 解得y=80 针对第二个方程，教师加以引导，然后让学生自己解答。问：你觉得该如何答题比较完整呢？让学生自由答题，老师在旁引导，逐渐让学生用数学问题的答案完善实际问题。答：过长方形土地的长边上离左端120 处，做这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地。左边较大一块土地种甲种作物，右边较小一块土地种乙种作物。（答案不唯一）【方案二教学】横着画，把宽分成两段，则长不变让学生自己完成第二种方案的解答，并在小组内交流、纠正。多媒体呈现：2.横着画，把宽分成两段，则长不变 解：过点E作EF⊥AD，交BC于点F. 设DE＝xm，AE＝ym.根据题意列方程组为 x+y=100 200x:400y=3:4 解得 x=60 y=40 答：过长方形土地的宽边上离上端 60 处，做这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地。上边较大一块土地种 甲种作物，下边较小一块土地种 乙种作物。例2：甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.根据题意，得得答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h. 学会用数学问题的答案解释具体的实际问题； 探究用二元一次方程组解决实际问题的完整过程。
课堂检测 四、巩固训练 1.8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少 （单位cm）解:设小长方形地砖的长为x, 宽为y, 由题意,得解此方程组得答:小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm.2.育才中学新建塑胶操场跑道周长为400m，甲、乙两名运动员从同一起点同时出发，相背而跑，40s后首次相遇，若从同一起点同向而跑，200s后甲首次追上乙，求甲、乙运动员的速度。解：设甲、乙运动员的速度分别为xm/s，ym/s。，解此方程组，得答：甲、乙运动员的速度分别为6m/s，4m/s。3.小方、小程两人相距6 km，两人同时出发相向而行，1 h相遇；同时出发同向而行，小方3 h可追上小程. 两人的平均速度各是多少？解：设小方的平均速度为x km/h，小程的平均速度为y km/h.由题意 解得答：小方的平均速度为4 km/h，小程的平均速度为2 km/h.一个长方形，它的长减少4cm，宽增加2cm，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，求原长方形的长与宽.解：设长方形的长为xcm，宽为ycm， 由题意得：即原长方形的长与宽分别为8cm和2cm.
课堂小结 课堂小结
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人教版 七年级下
8.3.2实际问题与二元一次方程组（2）
回顾列方程解决实际问题的基本思路：
①设未知数
②找相等关系
③列方程组
④检验并作答
情境引入
　1．把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？
2．把长方形纸片折成面积之比为1：2的两个小长方形，又有哪些折法？
典例精讲
例1据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
A
D
C
B
已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，
长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.
目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4
这里研究的实际上是什么问题.
分
析
把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
02
横着画，把宽分成两段，则长不变
长方形的面积分割
我们可以画出示意图来帮助分析
试着画一画
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
等量关系式有几个？
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
设AE＝xm，BE＝ym.
先求出两种作物的面积
SAEFD=100x
SEFCB=100y
再写出两种作物的总产量
甲：100x×1
乙：100y×2
则列方程为
100x:200y=3:4
总产量=
？
1 : 2
x
y
200m
100
如何设未知数呢？
则列方程为
x+y=200
单位面积产量×面积
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
根据题意列方程组为
100x:200y=3:4
x
y
200m
100m
x+y=200
解得
x=120
y=80
甲种作物
乙种作物
解：
过点E作EF⊥AB，交CD于点F.
设AE＝xm，BE＝ym.
答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
02
横着画，把宽分成两段，则长不变
A
D
C
B
E
x
y
F
x+y=100
乙种作物
甲种作物
解：过点E作EF⊥AD，交BC于点F.
设DE＝xm，AE＝ym.
200x:400y=3:4
200y
200x
x=60
y=40
解得
根据题意列方程组为
200m
100m
答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
例2：甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？
分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.
解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.
根据题意，得
解方程组，得
答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.
归纳概念
本节课你学到了哪些数学方法和数学思想？
数学方法：数形结合法、列表格法
数学思想：转化思想、建模思想
课堂练习
1. 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分
别是多少 （单位cm）
60
x+y=60
x=3y
解:设小长方形地砖的长为x, 宽为y,
由题意,得
解此方程组得：
x =45,
y=15.
答:小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm.
2.育才中学新建塑胶操场跑道周长为400m，甲、乙两名运动员从同一起点同时出发，相背而跑，40s后首次相遇，若从同一起点同向而跑，200s后甲首次追上乙，求甲、乙运动员的速度。
解：
设甲、乙运动员的速度分别为xm/s，ym/s。
根据等量关系，得
解此方程组，得
答：甲、乙运动员的速度分别为6m/s，4m/s。
小方、小程两人相距6 km，两人同时出发相向而行，1 h相遇；同时出发同向而行，小方3 h可追上小程. 两人的平均速度各是多少？
3.
解：设小方的平均速度为x km/h，小程的平均速度为
y km/h.由题意得 解得
答：小方的平均速度为4 km/h，小程的平均速度为2 km/h.
5.一个长方形，它的长减少4cm，宽增加2cm，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，求原长方形的长与宽.
解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，
由题意得：
x-4
4
y
2
Ⅰ
Ⅱ
即原长方形的长与宽分别为8cm和2cm.
拓展提高
课堂总结
二元一次方程组的应用
应用
步骤
简单实际问题
审题：弄清题意和题目中的数量关系
设元：用字母表示题目中的未知数
列方程组:根据两个等量关系列出方程组
解方程组
几何问题
作业布置
教材课后配套作业题。
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8.3.2 实际问题与二元一次方程组（2） 学案
课题 8.3.2 实际问题与二元一次方程组（2） 单元 第8单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 帮助学生学会分析复杂问题，发现隐含的等量关系，把实际问题转换为数学问题；能够准确设未知数、列方程组并求解，加深对建模过程的认识；学会用数学问题的答案解释具体的实际问题。
重点 探究用二元一次方程组解决实际问题的完整过程。
难点 发现隐含的等量关系并列方程组。
教学过程
导入新课 【引入思考】1．把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？ 2．把长方形纸片折成面积之比为1：2的两个小长方形，又有哪些折法？
新知讲解 提炼概念典例精讲 例1 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？例2：甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？
课堂练习 巩固训练 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少 （单位cm）2.育才中学新建塑胶操场跑道周长为400m，甲、乙两名运动员从同一起点同时出发，相背而跑，40s后首次相遇，若从同一起点同向而跑，200s后甲首次追上乙，求甲、乙运动员的速度。3.小方、小程两人相距6 km，两人同时出发相向而行，1 h相遇；同时出发同向而行，小方3 h可追上小程. 两人的平均速度各是多少？4.一个长方形，它的长减少4cm，宽增加2cm，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，求原长方形的长与宽. 答案引入思考提炼概念典例精讲 例11.竖着画，把长分成两段，则宽不变解：过点E作EF⊥AB，交CD于点F.设AE＝xm，BE＝ym. 根据题意列方程组为x+y=200100x:200y=3:4 x=120 解得y=80 2.横着画，把宽分成两段，则长不变 解：过点E作EF⊥AD，交BC于点F. 设DE＝xm，AE＝ym.根据题意列方程组为 x+y=100 200x:400y=3:4 解得 x=60 y=40 例2解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.根据题意，得得答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.巩固训练1.解:设小长方形地砖的长为x, 宽为y, 由题意,得解此方程组得答:小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm.2.解：设甲、乙运动员的速度分别为xm/s，ym/s。，解此方程组，得答：甲、乙运动员的速度分别为6m/s，4m/s。3.解：设小方的平均速度为x km/h，小程的平均速度为y km/h.由题意 解得答：小方的平均速度为4 km/h，小程的平均速度为2 km/h.4.解：设长方形的长为xcm，宽为ycm， 由题意得：即原长方形的长与宽分别为8cm和2cm
课堂小结
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