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2021级高一第一学期期中考试
数 学
命题:
一.选择题:共8小题,共分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集,, , 则图中阴影部分
对应的集合为（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“一元二次方程有实数解”的（ ）
A.充分不必要条件 B.充分必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.幂函数过点那么的图象大致为 ( )
5.函数在其定义域内是 ( )
A. 减函数 B. 奇函数 C. 偶函数 D.非奇非偶函数
6.设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”．规定
与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ）
A. B. C. D.
7.函数的单调增区间为（ ）
A. B. C. 和 D.
8.已知函数, 实数满足则的最大值为( )
A. B. C. D.
二.多选题:共4小题,共分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.中国天朝数学学者李善兰在年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么
这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，年美国人给出了我们课本中
所学的集合论的函数定义, 已知集合, , 给出下列四个对应法则，
请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ）
A. B. C. D.
10.下列函数, 值域为的是( )
A. B. C. D.
11.已知是定义在上的奇函数,当时,,下列说法正确的是( )
A. B. 函数在定义域上为增函数
C. 不等式的解集为 D. 不等式在上恒成立
12.今有函数又,使对都有成立,则下列
选项正确的是( )
A.对任意都有 B.函数是偶函数 (其中常数)
C.实数的取值范围是 D.实数的最小值是
三.填空题：共4小题,共分.
13.函数的定义域为______.
14.已知集合, 则的真子集有________个；若则________.
15.设,则的值为 .
16.已知则的最小值是 .
四.解答题：共6小题,题分,其它每题,共分.解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17.若，其中是常数
1)求的值;.
2)方程的两根异号, 求实数的取值范围；
3)当时, 求出不等式的解集.
18.已知函数.试判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明.
19.已知函数对一切实数都有成立, 且
1)分别求和的值； 2)判断并证明函数的奇偶性.
20.做一个体积为, 高为米的无上边盖的长方体纸盒, 底面造价每平方米元,四周每
平方米为元, 问长与宽取什么数值时用总造价最低, 最低是多少
21.设常数记函数的最小值为.
1)求函数的定义域. 设,求的取值范围;
2)由1)中题设的把表示为的函数并求
22.根据人教2019版必修一P87页的13题介绍: 函数的图象关于点成中心对称图形
的充要条件是函数为奇函数.
题:设函数,且, (其中是常数), 函数.
1)求的值, 并证明是中心对称函数;
2)是否存在点，使得过点的直线若能与函数围成两个封闭图形，则这两个封闭图
形的面积总相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.20211101数学期中考 参考答案 2021-10-31
选择. D D A B C B CA 【BD】 【AC】 【ABC】 【AC】
填空. 13】 14】 , 15】 16】 6
17. 解:1) ----------- 2’
2)设的两根为
∵两根异号,∴ ---------- 4’ ∴ ---------- 6’
3) 当时, ---------- 8’
∴所求不等式的解集是 ------------10’
18.1）函数在区间上单调递减，---------- 2’
以下证明：设，---------- 3’
∴
---------- 7’
∵， ∴，，，---------- 10
∴，----------11’
∴在区间上单调递减. ---------- 12’
19.解:1)由, 令,得 ---------- 2’
再令 得 ---------- 4’
∵ ---------- 5’
2) 判断函数是奇函数不是偶函数
∵定义域为 ---------- 6’
令得 ---------- 8’
---------- 10’
∴函数是奇函数不是偶函数. ---------- 12’
20.解.设底面的长为,则宽为,长方体纸盒总造价为元， --------- 3’
则
( 注意:定义域与用不等式之前都没说的要扣1分) -------- 6’
(元) -------- 9’
当且仅当时，等号成立， --------- 10’
即当长为米，宽为米时总造价最低为元. --------- 11’
答：当长为米，宽为米时,总造价最低为元. --------- 12’
21．1）∵由，
∴函数有意义，则 即 --------- 3’
∴定义域为
题设 , --------- 4’
∵，且……① ∴的取值范围是. --------- 6’
2）由①得：， --------- 7’
∴，. --------- 8’
由题意知即为函数，的最大值，
∵直线是抛物线的对称轴，
函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，--------- 9’
∴可分以下几种情况进行讨论：
当即时, ．--------- 10’
当即时, ．--------- 11’
综上所述，有 --------- 12’
22.解:1) ∵函数,且
∴ -------- 3’
依题假设存在点使函数为奇函数,
则 对恒成立 -------- 4’
,对恒成立
-------- 8’
∴对于存在,使函数为奇函数,
∴是为中心的中心对称函数. -------- 9’
2)设, 可证
又,
的对称中心中是 -------- 11’
依题意,使得过点的直线若能与函数围成两个封闭图形，则这两个封闭图
形的面积总相等,则直线必过的对称中心,
所以所求为 -------- 12’

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