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(共21张PPT)
第一章 导数及其应用
漳州市龙海区港尾中学
1.1.3 导数的几何意义
教学目标
导数的几何意义及其应用（重点）
01
“以直代曲”、“数形结合”的数学思想（重点）
02
极限思想、导数几何意义的理解及应用（难点）
03
导数的几何意义
学科素养
导数的几何意义（切线的斜率）
直观想象
导数的几何意义的推导
逻辑推理
导数几何意义的应用
数学运算
导数的几何意义
01
知 识 回 顾
Retrospective Knowledge
瞬时变化率与导数
定义：设函数y =f (x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，
如果比值 趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为
函数y =f (x)在 x = x0处的导数或微商，记作f ′(x)．
可以记为：
瞬时变化率与导数
若y =f (x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f ′(x)（或y′）也是x的函数，我们把f ′(x)（或y′）叫作y =f (x)的导函数或一阶导数．
既然导函数f ′(x)也是函数，若f ′(x)在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f (x)的二阶导数，记作f ′′(x)．
类似地，可以定义三阶导数f ′′′(x)等等．
02
新 知 探 索
New Knowledge explore
斜抛或平抛的物体，例如炮弹在运动过程中，其速度方向时刻都在变化．由物理常识可知，这时物体运动的轨迹是抛物线，而速度的方向线正是抛物线的切线．
怎样作出抛物线的切线呢
如图，P，Q1是曲线y =f (x)上的两个点，直线 PQ1是曲线的一条割线，PT是曲线的一条切线．让点Q1沿曲线趋近于点P，割线PQ1如果趋近于一条直线，这条直线就是曲线在点P处的切线．
在图1.1-5中，让点Q1沿曲线趋于点P，可以发现，当点Qn沿曲线越
逼近于点P时，直线PQn越逼近曲线的切线 PT．
割线PQn的斜率是 ，若记xn=x0＋d，则
当点Qn沿曲线越逼近于点P时，直线PQn的斜率越逼近曲线的切线
PT的斜率．即
因此，函数f (x)在x = x0处的导数就是切线PT的斜率，即k = f ′(x0)．
例9求函数f (x)=x －3x＋c的图象上点 P(u，f (u))处切线的斜率．
解：在曲线上另取一点Q(u＋d，f (u＋d)) ．
因为
当d→0时，kPQ→2u－3．
因此，所求切线的斜率为2u－3．
例10求曲线 在点 处切线的斜率．
解：在曲线上另取一点 ．
因为
当d→0时，kAB→ ．
因此，所求切线的斜率为 ．
例11若曲线y =x3存在斜率为1的切线，试求出切线的方程．
解：设在曲线y =x3在点(x0，x03)处的斜率为1．
因为
所以，当d→0时，3x02＋3x0d＋d 2→3x02．
又切线的斜率为1，
所以3x02=1，
解得 ．
所以在点 和 处切线的斜率为1．
由点斜式方程可得切线方程为 和 ．
练习1判断曲线 在点P(1，2) 处是否有切线，如果有，求出切线的斜率．
03
拓 展 提 升
Expansion And Promotion
练习2求曲线y =x2过点P(1，1) 的切线方程．
注：（1）曲线在某点处的切线，则该点即为切点；
（2）曲线过某点的切线，即使该点在曲线上，该点也不一定是切点．
练习3求曲线y =x3过点P(1，1) 的切线方程．
注：（1）曲线在某点处的切线，则该点即为切点；
（2）曲线过某点的切线，即使该点在曲线上，该点也不一定是切点．
04
归 纳 总 结
Sum Up
导数的几何意义
函数f (x)在x = x0处的导数就是切线的斜率，即k = f ′(x0)．
曲线y =f (x)在x = x0处的切线方程为：
y－f (x0) = f ′(x0)(x － x0)．
求曲线的切线常见的两个问题：
（1）曲线在某点处的切线，则该点即为切点；
（2）曲线过某点的切线，即使该点在曲线上，该点也不一定是切点．
05
课 后 作 业
Homework After Class
P13 习题1.1
第5题 第6题

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