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2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步自主提升训练（附答案）
1．如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠1＝70°，则∠BAC等于（　　）
A．40° B．55° C．70° D．110°
2．如果一个等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长为（　　）
A．17 B．22 C．17或22 D．无法计算
3．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．40° B．100° C．40°或100° D．40°或70°
4．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（　　）
A．30° B．36° C．45° D．50°
5．等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是（　　）cm．
A．4 B．9
C．4或9 D．大于5且小于13
6．如图，在△ABE中，∠E＝25°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC，若AB＝AC，那么∠BAE的度数是（　　）
A．100° B．105° C．110° D．120°
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，AD、CE相交于点H，则图中的等腰三角形有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，∠ADB的角平分线交AB于点F则图中等腰三角形的个数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．下列能判定三角形是等腰三角形的是（　　）
A．有两个角为30°、60° B．有两个角为40°、80°
C．有两个角为50°、80° D．有两个角为100°、120°
10．如图，∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OCE的度数不可能为（　　）
A．130° B．77.5° C．65° D．25°
11．下列说法中错误的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的中线、角平分线、高线都是线段
C．任意三角形的内角和都是180°
D．三角形按边分可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形
12．下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是　 　三角形．
14．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为　 　．
15．一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，则三角形底边长为　 　．
16．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　 　．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若∠A＝120°，∠BDC＝2∠1，求∠DBC的度数．
18．如图，在四边形ABCD中，已知BE平分∠ABC，交AD于E，且AB＝AE．解答下列问题，并要求标注推导理由：
（1）求证：AD∥BC；
（2）若AB∥DC，∠D＝122°，求∠3的大小．
19．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
参考答案
1．解：∵m∥n，
∴∠ACB＝∠1＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝70°，
故选：C．
2．解：（1）若4为腰长，9为底边长，
由于4+4＜9，则三角形不存在；
（2）若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为9+9+4＝22．
故选：B．
3．解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数＝＝70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°．
故选：D．
4．解：设∠EBD＝x°，
∵BE＝DE，
∴∠EDB＝∠EBD＝x°，
∴∠AED＝∠EBD+∠EDB＝2x°，
∵AD＝DE，
∴∠A＝∠AED＝2x°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3x°，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝3x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x°，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴2x+3x+3x＝180，
解得：x＝22.5，
∴∠A＝2x°＝45°．
故选：C．
5．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，
∵4+4＜9，
∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，
此时符合三角形的三边关系定理，
所以三角形的第三边为9cm，
故选：B．
6．解：∵MN是AE的垂直平分线，
∴CA＝CE，
∴∠CAE＝∠E＝25°，
∴∠ACB＝2∠E＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝2∠E＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝80°+25°＝105°，
故选：B．
7．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴AD＝BD．
∴△ABD是等腰三角形．
∵AD是角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝ED
∴AC＝AE
∴△CDE、△ACE是等腰三角形；
又△CEB也是等腰三角形
显然此图中有4个等腰三角形．
故选：C．
8．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，
∵DE是AC的中垂线，
∴AD＝CD，△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC＝∠C＝36°，∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
∵∠B＝36°，
∴∠BDA＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠BAD＝∠BDA，△ABD是等腰三角形，
∵DF平分∠ADB，∠ADB＝72°，
∴∠BDF＝∠ADF＝36°，
∴△ADF和△BDF是等腰三角形．
故选：B．
9．解：A，因为有两个角为30°、60°，则第三个角为90°，所以此选项不正确；
B，因为有两个角为40°、80°，则第三个角为60°，所以此选项不正确；
C，因为有两个角为50°、80°，则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；
D，因为100°+120°＞180°，所以此选项不正确；
故选：C．
10．解：∵∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝25°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝25°，
∴∠OEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣25°）＝77.5°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝25°；
综上，∠OEC的度数不可能为65°，
故选：C．
11．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，故说法错误，符合题意；
B、三角形的中线、角平分线、高线都是线段，说法正确，不合题意
，故本选项不合题意；
C、任意三角形的内角和都是180°，说法正确，不合题意；
D、三角形按边分可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，说法正确，不合题意；
故选：A．
12．解：图①中，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣66°＝44°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
图②中，∵∠B+∠C＝140°，∠B＝70°，
∴∠C＝140°﹣70°＝70°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图③中，∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝50°，
∵∠B＝50°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图④中，∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴△ABC是等腰三角形；
图⑤中，∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D＝30°，
∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
能判定△ABC是等腰三角形的有4个，
故选：C．
13．解：∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB＝AC，
∴这个三角形一定是等腰三角形．
故答案为：等腰．
14．解：当△ABC是锐角三角形时，
∠ACD＝36°，∠ADC＝90°，
∴∠A＝54°，
当△ABC是钝角三角形时，
∴∠ACD＝36°，∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC+∠ACD＝126°
故答案为：54°或126°
15．解：∵等腰三角形的周长是15+18＝33cm，
设等腰三角形的腰长为xcm、底边长为ycm，由题意得
或
解得或．
∴等腰三角形的底边长为13cm或9cm．
故答案为：13cm或9cm．
16．解：如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．
②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．
③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，
故答案为70°或40°或20°
17．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴DB＝CD；
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴∠DEC＝∠A＝120°，∠2＝∠1，
∵∠BDC＝2∠1，
∴∠BDC＝2∠2，
∵∠BDC+∠2＝2∠2+∠2＝60°，
∴∠2＝20°，
∴∠BDC＝40°，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB＝（180°﹣∠BDC）＝（180°﹣40°）＝70°．
18．（1）证明：∵AB＝AE（已知），
∴∠1＝∠3（等腰三角形的两底角相等），
∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠1＝∠2（角平分线的定义），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：∵AB∥DC（已知），
∴∠A+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠A＝180°﹣∠D（移项），
∠D＝122°（已知），
∴∠A＝180°﹣122°＝58°（等量代换），
∵AB＝AE（已知），
∴∠1＝∠3（等腰三角形的两底角相等），
∵∠A+∠1+∠3＝180°（三角形内角和定理），
∴2∠3＝180°﹣∠A＝180°（移项），
∴2∠3＝180°﹣58°＝122°（等量代换），
∴∠3＝61°（等式的基本性质2）．
19．证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝∠EFC＝90°．
∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠D．
∵∠BED＝∠CEF，
∴∠D＝∠CEF．
∴∠A＝∠C．
∴△ABC为等腰三角形．
20．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．

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