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不等式的性质知识点与题型归纳
知识点
不等式的含义
不等式读作“大于或者等于”，其含义是指“或者，或者”，等价于“不小于，即若或之中有一个正确，则正确。
2．不等式大小比较的常用方法
(1)．作差法:，作差后通过分解因式、配方等恒等变形手段将差化积或商的形式,判断差的符号得出结果;
(2)．作商法:，(a>0,b>0),常用于分数指数幂的代数式;
(3)．分析法;
(4)．乘方法:,要比较的两数(式)中有根号;
(5)．分子（或分母）有理化;
(6)．利用函数的单调性;
(7)．寻找中间量或放缩法;
(8)．图象法.
3．不等式的基本性质
名称 式子表达
性质1(对称性)
性质2(传递性) ，
性质3(可加性) 推论1：
推论2：，
性质4(可乘性) ， ， 推论1：，
推论2： (，n≥1)
推论3：(，n≥2)
4.不等式的两类常用性质
(1)倒数法则
①a>b>0 ； ②b综合①②可得：如果a>b,且ab>0,则，还可得③a>b>0，d>c>0 .
(2)有关分数的性质
①若a，b，m均为正实数，且a>b,则；
②若a，b，m均为正实数，且a③若a，b，m均为正实数，且am,则;
④若a,b,c,d均为正实数，且，则.
题型归纳
题型一 应用性质判断不等式是否成立
1．下列命题中，正确的是（　　）
A．若ac＜bc，则a＜b B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若a＞b＞0，则a2＞b2 D．若a＜b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d
2．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；
②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；
③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0　　　B．1 C．2 D．3
3．已知有三个条件：①ac2>bc2；②>；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件的是________．
4．如果a，b，c满足cA．ab>ac B．c(b－a)>0 C．cb20
5．若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③aA．①②　　　 B．②③　　 C．①④　　 　D．③④
6．不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab恒成立的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（多选题）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若则 D．若则
题型二 应用性质比较两个数(式)的大小
8．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)
A．M>N　　　B．M≥N C．M9．3与的大小关系是(　　)
A．3 B．3 C．3 D．不确定
10．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．pq D．p≥q
11．已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是(　　)
A．a>b B．a＝b C．a12．已知，则_______．（用“>”或“<”填空）
13．若实数a，b，c满足，，试确定a，b，c的大小关系是________.
14．已知，试比较与的大小．
题型三 利用性质求代数式的取值范围
15．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知－≤2x＋y≤，－≤3x＋y≤，则9x＋y的取值范围是________．
17. 若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．
18．已知，，则的取值范围是________.
19.已知12题型四 利用性质证明不等式
20.已知，，，求证：．
21.已知,都是正数，并且，求证：
22．已知a＋b>0，比较＋与＋的大小．
23.已知a>b>0，c>d>0，求证：(1)>； (2)>.
答案与解析：
1.【解答】对于A，由ac＜bc，c＞0时，a＜b；c＜0时，a＞b，所以A错误；
对于B，当a＞b＞0，c＞d＞0时，有ac＞bd，所以B错误；
对于C，当a＞b＞0时，有a2＞b2，所以C正确；
对于D，由a＜b，c＜d，得出﹣d＜﹣c，所以a﹣d＜b﹣c，D错误．故选C．
2.【解析】　对于①，因为ab>0，bc－ad>0，－＝>0，所以①正确；对于②，因为ab>0，又－>0，即>0，所以②正确；对于③，因为bc－ad>0，又－>0，即>0，所以ab>0，所以③正确．
3.【解析】由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，ab的充分条件．故答案为①.
4.【解析】由题意知c<0，a>0，则A，B，D一定正确，若b＝0，则cb2＝ab2.故选C.
5.【解析】因为<<0，所以b0,故①正确；|a|<|b|.故②错误；③错误；两边同时乘以b，故ab6.【解析】①a2＋2－2a＝(a－1)2＋1>0，故①正确；
②a2＋b2－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故②正确；
③a2＋b2－ab＝a2－ab＋b2＋b2＝＋b2≥0，故③正确，故选D.
7.【解析】对于A.若00d得bc>ad,因为ab>0,两边同时除以ab,得，所以，故B正确；对于C,，所以a+c>b+d,所以a-d>b-c,故C正确；对于D,当a>b>0时，结论成立，故D错误确,故选BC.
8.【解析】因为M-N=a2-2a+3=(a-1)2+2≥2，所以M>N，故选A.
9.【解析】，，
所以，所以．故选B．
10.【解析】p－q＝＋－(a＋b)＝＋＝，
因为a<0，b<0，所以ab>0，a＋b<0，(b－a)2≥0，所以p－q≤0，所以p≤q.故选B.
11.【解析】 a＝－＝，b＝－＝，因为＋>＋，所以a12．【解析】因为>0,故答案为：>.
13．【解析】由，得，
，时，，时，，
，所以．所以．
14.【解析】因为
，显然成立，
所以，当且仅当时取等号.
15.【解析】因为，所以，
又，所以．故的取值范围是，．故选：C．
16.【解析】设9x＋y＝a(2x＋y)＋b(3x＋y)，则9x＋y＝(2a＋3b)x＋(a＋b)y，比较两边系数得得a＝－6，b＝7.由已知不等式得－3≤－6(2x＋y)≤3，－≤7(3x＋y)≤，所以－≤9x＋y≤.
17.【解析】因为－4<β<2，所以0≤|β|<4.所以－4<－|β|≤0.又因为1<α<3，所以－3<α－|β|<3.故答案为(-3,3).
18．
19.【解析】由1520．【解析】，所以-c>-d>0，又因为a>b>0，所以a-c>b-d>0，所以，
又因为e<0，所以．
【证明】
因为a, b都是正数，所以
又因为，所以，所以，
即：.
22.【解析】.
因为a＋b>0，(a－b)2≥0，所以≥0.所以＋≥＋.
23．【证明】(1)因为c>d>0，所以>>0. 又a>b>0，所以>.
(2)因为a>b>0，c>d>0，所以>>0，>>0，所以＋>＋>0，
即>>0，所以>.
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