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第1章 三角形的证明单元测试
考试范围：第1章三角形的证明；考试时间：90分钟；总分：120分
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2022·天津市第七中学八年级期末）等腰三角形的顶角是，则这个三角形的一个底角的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·黑龙江五常·八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是4，5，则它的周长是（ ）
A．13 B．14 C．13或14 D．9或12
3．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）如图，是等边中边上的点，，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法确定
4．（2021·浙江省衢州市衢江区实验中学八年级阶段练习）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c2
5．（2021·浙江瑞安·八年级期中）如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021·湖南·永州市剑桥学校八年级期中）已知∠A，∠B为直角△ABC两锐角，∠B＝54°，则∠A＝（　　）
A．60° B．36° C．56° D．46°
7．（2021·黑龙江平房·八年级期末）到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边中垂线的交点
8．（2021·广西三江·八年级期中）如图，AB垂直平分CD，若AC=2cm，BC=3cm，则四边形ACBD的周长是（ ）
A．5 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm
9．（2021·湖南·株洲市天元区雷打石学校八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，点D为垂足，连接EC．如果BC＝6，△BCE的周长是17，那么AB的长为（　　）
A．12 B．11 C．10 D．5
10．（贵州省黔东南苗族侗族自治州2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长是（ ）
A．9 B．6 C．7 D．5
11．（2021·四川南充·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，∠ABC＝30°，DC＝2.动点P从点B出发，沿着B→C→A运动，当S△PBE＝4时，则∠PEB度数是（ ）
A．105° B．75°或105° C．150° D．75°或150°
12．（2022·全国·八年级）如图所示，为与平分线的交点，于若，则与之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（2022·广东东莞·八年级期末）若一条长为24cm的细线能围成一边长等于9cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为_____cm．
14．（2021·广东南沙·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝DC，D在BC上，且AD＝DB，则∠BAC＝_____．
15．（2021·江苏赣榆·八年级期末）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．
16．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）如图，∠，是，垂直平分线的交点，则的度数是________．
17．（辽宁省抚顺市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，中，，，是的平分线，于点，已知，则______cm．
18．（2021·广西隆安·八年级期中）如图，已知的周长是23，分别平分和于D，且的面积是_______．
三、解答题一（每小题8分，共16分）
19．（2021·广东南沙·八年级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D．
（1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线EF，分别交BC、AC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AB＝EC，AC＝6，CD＝5，求△ABC的周长．
20．（2021·陕西临渭·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．
（1）求∠B的度数；
（2）连接PQ，若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．
四、解答题二（每小题10分，共20分）
21．（2021·湖北·监利市朱河镇初级中学.八年级期中）已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）连接AP，若∠ACB＝80°，求∠APB的度数．
22．（2022·辽宁大石桥·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．
（1）若AF=3，求AD的长；
（2）求证：DE=2DF．
五、解答题三（每小题12分，共24分）
23．（2021·湖北·监利市朱河镇初级中学.八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．
（1）如图1所示，当EF＝BE+CF，求证∠EAF＝∠BAC；
（2）如图2所示，∠EAF＝∠BAC，求证：CF＝BF+2BE．
24．（2022·四川仁寿·八年级期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AC运动，且速度为每秒1cm，点Q从点C开始沿CB运动，且速度为每秒2cm，其中一个点到达端点，另一个点也随之停止，它们同时出发，设运动的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，求PQ的长；
（2）求运动时间为几秒时，△PQC是等腰三角形？
（3）P、Q在运动的过程中，用含t（0＜t＜5）的代数式表示四边形APQB的面积．
答案及解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2022·天津市第七中学八年级期末）等腰三角形的顶角是，则这个三角形的一个底角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据等腰三角形的两底角相等，即可求解．
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角是，
∴这个三角形的一个底角的大小是 ．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
2．（2021·黑龙江五常·八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是4，5，则它的周长是（ ）
A．13 B．14 C．13或14 D．9或12
【答案】C
【分析】
等腰三角形的性质是两腰长相等，需进行分类讨论：当腰长为5，底边长为4时；当腰长为4，底边长为5时，分别计算三角形周长即可．
【详解】
解：等腰三角形的性质是两腰长相等，需进行分类讨论：
当腰长为5，底边长为4时，周长为：；
当腰长为4，底边长为5时，周长为：；
故选：C．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的性质，对等腰三角形进行分类讨论是解题关键．
3．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）如图，是等边中边上的点，，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法确定
【答案】B
【分析】
先证得△ABE≌△ACD，可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE是等边三角形．
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠BAE=60°，
∵∠1=∠2，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，
∴△ADE是等边三角形．
故选B．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握等边三角形的判定定理．
4．（2021·浙江省衢州市衢江区实验中学八年级阶段练习）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c2
【答案】A
【分析】
根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
解：A、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，
∴∠C＝180°×＝93.6°，不是直角三角形，故此选项正确；
B、∵32+42＝52，∴是直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴是直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵b2＝a2﹣c2，
∴a2＝b2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．
5．（2021·浙江瑞安·八年级期中）如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为直角△ABC斜边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条直角边．
【详解】
解：如图，分情况讨论：
①AB为直角△ABC斜边时，符合条件的格点C点有2个；
②AB为直角△ABC其中的一条直角边时，符合条件的格点C点有1个．
故共有3个点，
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
6．（2021·湖南·永州市剑桥学校八年级期中）已知∠A，∠B为直角△ABC两锐角，∠B＝54°，则∠A＝（　　）
A．60° B．36° C．56° D．46°
【答案】B
【分析】
根据直角三角形中，两锐角互余计算即可．
【详解】
解：∵∠A，∠B为直角△ABC两锐角，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．
7．（2021·黑龙江平房·八年级期末）到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边中垂线的交点
【答案】D
【分析】
由题意根据线段的垂直平分线上的性质，则有三角形三边中垂线的交点到三角形的三个顶点距离相等．
【详解】
解：∵垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边中垂线的交点．
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是注意掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．（2021·广西三江·八年级期中）如图，AB垂直平分CD，若AC=2cm，BC=3cm，则四边形ACBD的周长是（ ）
A．5 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm
【答案】D
【分析】
由AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=AC=2cm，BD=BC=3cm，继而求得答案．
【详解】
解：∵AB垂直平分CD，
∴AD=AC=2cm，BD=BC=3cm，
∴四边形ABCD的周长是：AC+BC+BD+AD=10（cm）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9．（2021·湖南·株洲市天元区雷打石学校八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，点D为垂足，连接EC．如果BC＝6，△BCE的周长是17，那么AB的长为（　　）
A．12 B．11 C．10 D．5
【答案】B
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得CE＝AE，从而得出答案．
【详解】
解：∵AC的垂直平分线交AB于E，点D为垂足，
∴CE＝AE，
∴BE+AE＝BE+CE＝AB，
∵△BCE的周长是17，
∴BC+CE+BE＝17，
∵BC＝6，
∴BE+CE＝17﹣6＝11，
∴AB＝11，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
10．（贵州省黔东南苗族侗族自治州2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长是（ ）
A．9 B．6 C．7 D．5
【答案】A
【分析】
根据角平分线上点到角两边的距离相等可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余，求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求解即可．
【详解】
解：平分，且，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等；等边对等角；直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
11．（2021·四川南充·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，∠ABC＝30°，DC＝2.动点P从点B出发，沿着B→C→A运动，当S△PBE＝4时，则∠PEB度数是（ ）
A．105° B．75°或105° C．150° D．75°或150°
【答案】D
【分析】
分两种情况：当点P在BC边上时，连接EP，过点E作于F，根据平行线之间距离相等可得：，由含30°角的直角三角形性质可得：，再结合三角形面积即可得出，最后运用三角形内角和定理及等腰三角形性质即可；当点P在AC边上时，过点P作于点G，利用角平分线判定定理可得出：BP平分，即点P与点D重合，再利用平行线性质即可．
【详解】
解：当点P在BC边上时，如图1，连接EP，过点E作于F，
∵，，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点P在AC边上时，如图2，过点P作PG⊥AB于点G，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，，
∴BP平分∠ABC，即点P与点D重合，
∵，
∴，
即，
综上所述，或，
故选：D．
【点评】
本题考查了直角三角形性质，角平分线性质和判定定理，平行线性质，等腰三角形性质等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键．
12．（2022·全国·八年级）如图所示，为与平分线的交点，于若，则与之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
【答案】B
【分析】
过点作于，交于，利用角平分线的性质求出、，最后即可求出与之间的距离．
【详解】
如图，过点作于，交于，
，
，
的平分线，，
，
是的平分线，，，
，
，
即之间的距离是．
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了角平分线的性质，熟练地应用角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边相等，求出对应相等的边，是解决本题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（2022·广东东莞·八年级期末）若一条长为24cm的细线能围成一边长等于9cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为_____cm．
【答案】9或7.5或9
【分析】
分9是底边和腰长两种情况，分别列出方程，求解即可得到结果．
【详解】
解：若9cm为底时，腰长应该是（24-9）=7.5cm，
故三角形的三边分别为7.5cm、7.5cm、9cm，
∵7.5+7.5=15＞9，
故能围成等腰三角形；
若9cm为腰时，底边长应该是24-9×2=6，
故三角形的三边为9cm、9cm、6cm，
∵6+9=15＞9，
∴以9cm、9cm、6cm为三边能围成三角形，
综上所述，腰长是9cm或7.5cm，
故答案为：9或7.5．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
14．（2021·广东南沙·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝DC，D在BC上，且AD＝DB，则∠BAC＝_____．
【答案】108°108度
【分析】
先设∠B＝x，由AB＝AC可知，∠C＝x，由AD＝DB可知∠B＝∠DAB＝x，由三角形外角的性质可知∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，根据DC＝CA可知∠ADC＝∠CAD＝2x，再在△ABC中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值，从而求解．
【详解】
设∠B＝x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝x，
∵AD＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝x，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，
∵DC＝CA，
∴∠ADC＝∠CAD＝2x，
在△ABC中，x+x+2x+x＝180°，
解得：x＝36°．
∴∠BAC＝108°．
故答案为：108°．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练进行逻辑推理
15．（2021·江苏赣榆·八年级期末）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．
【答案】150°
【分析】
如图：连接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根据角的和差即可解答．
【详解】
解：连接PP′，
∵△PAC≌△P′AB，
∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝AP′＝6；
∵PP′2+BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故答案为：150°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．
16．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）如图，∠，是，垂直平分线的交点，则的度数是________．
【答案】160
【分析】
首先需要根据条件作出辅助线OA，根据垂直平分线得性质：线段垂直平分线上任意一点到该线段两端点的距离相等，可以构造等腰三角形，即可进行角度转换求解，解得和的度数为，最终根据三角形的内角和求得的度数为．
【详解】
解：如图所示：
连接OA，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°-∠A =100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB +∠OAC =∠A =80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝10°，
∴∠BOC=180°-∠BCO-∠CBO＝180°-10° - 10°=160°
故答案为：160°．
【点睛】
本题重点考查的是线段垂直平分线的性质的运用，利用性质进行构造等腰三角形，并进行求解是解本题的关键．
17．（辽宁省抚顺市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，中，，，是的平分线，于点，已知，则______cm．
【答案】8
【分析】
由角平分线的性质可得CD=DE，则BD+DE=BD+CD=BC，由此进行求解即可．
【详解】
解：∵DE⊥AB，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，
∴CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC，
又∵AC=BC=8cm，
∴BD+DE=8cm，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键在于能够熟记角平分线上的点到角两边的距离相等．
18．（2021·广西隆安·八年级期中）如图，已知的周长是23，分别平分和于D，且的面积是_______．
【答案】46
【分析】
连接AO，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理，可得OD=OE，OD=OF=4，再由，即可求解．
【详解】
解：如图，连接AO，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，
∵分别平分和，，
∴OD=OE，OD=OF=4，
∴
．
故答案为：46
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
三、解答题一（每小题8分，共16分）
19．（2021·广东南沙·八年级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D．
（1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线EF，分别交BC、AC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AB＝EC，AC＝6，CD＝5，求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析；（2）16；
【分析】
（1）利用基本作图，作AC的垂直平分线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，则AB＝AE，根据等腰三角形的性质得到BD＝ED，然后利用等线段代换得到△ABC的周长＝2CD+AC．
【详解】
解：（1）如图，EF为所作；
（2）连接AE，如图，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵AB＝CE，
∴AB＝AE，
∵AD⊥BC，
∴BD＝ED，
∴△ABC的周长＝AB+BD+CD+AC＝CE+DE+CD+AC＝2CD+AC＝2×5+6＝16．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
20．（2021·陕西临渭·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．
（1）求∠B的度数；
（2）连接PQ，若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．
【答案】（1）∠B＝90°；（2）P、Q两点之间的距离为
【分析】
（1）如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）依据运动时间和运动速度，即可得到BP和BQ的长，再根据勾股定理进行计算，即可得到PQ的长．
【详解】
解：（1）∵AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，
∴AB2+BC2＝625＝AC2，
∴△ABC是直角三角形且∠B＝90°；
（2）运动2s时，AP＝1×2＝2（cm），BQ＝2×6＝12（cm），
∴BP＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），
Rt△BPQ中，，
∴P、Q两点之间的距离为13cm．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，解题的关键在于能够根据题意求出∠B＝90°．
四、解答题二（每小题10分，共20分）
21．（2021·湖北·监利市朱河镇初级中学.八年级期中）已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）连接AP，若∠ACB＝80°，求∠APB的度数．
【答案】（1）见解析；（2）130°
【分析】
（1）过点P作PD⊥BC于D，可得PD=PE=PF；
（2）根据三角形内角和求出∠BAC+∠ABC=100°，再根据角平分线的定义得到AP平分∠BAC，从而得出∠PAB+∠PBA，再次根据三角形内角和求出∠APB．
【详解】
解：（1）过点P作PD⊥BC于D，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PE=PF；
（2）∵∠ACB=80°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-80°=100°，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，
∴AP平分∠BAC，
∴∠PAB+∠PBA=（∠BAC+∠ABC）=50°，
∴∠APB=180°-50°=130°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义和性质，三角形内角和，熟记定理是解题的关键．
22．（2022·辽宁大石桥·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．
（1）若AF=3，求AD的长；
（2）求证：DE=2DF．
【答案】（1）6；（2）见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC，∠A=∠ACB=60°，求出∠E=∠CDE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出BD=DE，求出AD的长即可；
（2）连接BD，求出BD=DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD=2DF，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
∵D为AC中点，
∴CD=AD=AC，
∵CE=BC，
∴CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=∠CDE=30°，
∴∠ADF=∠CDE=30°，
∵∠A=60°，
∴∠AFD=180°-∠A-∠ADF=90°，
∵AF=3，
∴AD=2AF=6，
（2）连接BD，
∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=30°，
∵∠BFD=90°，
∴BD=2DF，
∵∠DBC=∠E=30°，
∴BD=DE，
∴DE=2DF，
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
五、解答题三（每小题12分，共24分）
23．（2021·湖北·监利市朱河镇初级中学.八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．
（1）如图1所示，当EF＝BE+CF，求证∠EAF＝∠BAC；
（2）如图2所示，∠EAF＝∠BAC，求证：CF＝BF+2BE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）在EF上截取EH=BE，由“SSS”可证△ACF≌△AHF，可得∠CAF=∠HAF，可得结论；
（2）在BE的延长线上截取EN=BE，连接AN，由“SAS”可证△ACF≌△ANF，可得CF=NF，可得结论．
【详解】
解：（1）如图，在EF上截取EH=BE，连接AH，
∵EB=EH，AE⊥BF，
∴AB=AH，
∵AB=AH，AE⊥BH，
∴∠BAE=∠EAH，
∵AB=AC，
∴AC=AH，
∵EF=EH+HF=BE+CF，
∴CF=HF，
在△ACF和△AHF中，
，
∴△ACF≌△AHF（SSS），
∴∠CAF=∠HAF，
∴∠BAE+∠CAF=∠EAH+∠FAH=∠EAF，
即∠EAF=∠BAC；
（2）如图，在BE的延长线上截取EN=BE，连接AN，
∵AE⊥BF，BE=EN，AB=AC，
∴AN=AB=AC，
∵AN=AB，AE⊥BN，
∴∠BAE=∠NAE，
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠NAE=（∠BAC+2∠NAE）
∴∠FAN=∠CAN，
∴∠FAN=∠CAF，
在△ACF和△ANF中，
，
∴△ACF≌△ANF（SAS），
∴CF=NF，
∴CF=BF+2BE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
24．（2022·四川仁寿·八年级期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AC运动，且速度为每秒1cm，点Q从点C开始沿CB运动，且速度为每秒2cm，其中一个点到达端点，另一个点也随之停止，它们同时出发，设运动的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，求PQ的长；
（2）求运动时间为几秒时，△PQC是等腰三角形？
（3）P、Q在运动的过程中，用含t（0＜t＜5）的代数式表示四边形APQB的面积．
【答案】（1）PQ＝5cm；（2）t＝；（3）S四边形APQB＝30﹣5t+t2．
【分析】
（1）先分别求出CQ和CP的长，再根据勾股定理解得即可；
（2）由∠C=90°可知，当△PCQ是等腰三角形时，CP=CQ，由此求解即可；
（3）由S四边形APQB＝S△ACB﹣S△PCQ进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得，AP＝t，PC＝5﹣t，CQ＝2t，
∵∠C＝90°，
∴PQ＝，
∵t＝2，
∴PQ＝，
（2）∵∠C＝90°，
∴当CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形，
∴5﹣t＝2t，
解得：t＝，
∴t＝秒时，△PCQ是等腰三角形；
（3）由题意得：S四边形APQB＝S△ACB﹣S△PCQ
＝
＝
＝30﹣5t+t2．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的定义，列函数关系式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解。
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