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专题3: 解直角三角形--仰角与俯角
一．选择题
1．北京2022年冬奥会计划于2月4日开幕，2月20闭幕．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道AB的长度为（　　）
A．50sin40°米 B．50cos40°米 C．米 D．米
2．在高为60m的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是30°和60°，则这个建筑物的高度是（　　）
A．20m B．30m C．40m D．50m
3．如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（　　）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．0.3 B．0.2 C．0.25 D．0.35
4．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37度，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为（　　）米．（sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75，1.73）
A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7
5．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡CE的坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（　　）
A．（1010）m B．（1020）m C．30m D．40m
二．填空题
6．如图，从A处观测C处的仰角是∠CAD＝36°，从B处观测C处的仰角是∠CBD＝74°，则从C处观测A，B两处的视角∠BCA的度数是 　 　．
7．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.1m，则建筑物AB的高度约为 　 　．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
8．为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮视线在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度为 　 　米．（结果带根号即可）
9．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框内的距离BC＝5米，眼镜与底面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知，则点D到底面的距离CD是 　 　米．
10．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为 　 　（参考数据：1.732）米．
三．解答题（共20小题）
11．2021年9月16号，泸县发生地震，救援队及时达到现场参与救援，在救援中用热气球进行探测．如图，探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角（∠BAD）为45°，看这栋高楼底部C的俯角（∠CAD）为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋高楼的高度（结果保留根号）．
12．如图，小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用无人机测量他所住小区的楼房BC的高度．当无人机在地面A点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的仰角为30°，当无人机垂直向上飞行到距地面60米的D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．
（1）求小区楼房BC的高度；
（2）若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒后，无人机无法观察到地面上点A的位置．（计算结果保留根号）
13．如图，零陵区某校初三某数学兴趣小组的同学欲测量回龙塔AD的高度，他们先在B处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着AB的方向后退28米至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔的高度（精确到1m，参考数据：1.73）
14．上海中心大厦是我国目前最高的大楼，如图为了测量上海中心大厦AB的高度，某数学实践小组在D处测得楼顶B的仰角为22°，仪器CD高度为2米，将仪器CD沿着CA方向前进735米到达EF，在F处测得楼顶B的仰角为37°，请计算上海中心大厦AB的高度．
（sin22°，tan22°，cos37°，tan37°）
15．某数学测量小组准备测量体育场上旗杆AB的高度．如图所示，观礼台斜坡CD的长度为10米，坡角为26.5°，从斜坡的最高点C测得旗杆最高点A的仰角为37°，斜坡底端D与旗杆底端B的距离是9米，求旗杆AB的高度．（结果保留整数）
参考数据：sin26.5°，cos26.5°，tan26.5°，sin37°，cos37°，tan37°．
16．小王是一名经验丰富的户外搜救人员，某日小王接到搜救任务去山里救助一名受伤的户外运动员；来到这座山的东侧A处，为了方便确定受伤人员具体位置，他在A处向上放出一架无人机搜寻，该无人机以每分钟60m的速度沿着仰角为60°的方向上升，5分钟后升到B处，这时小王通过无人机发现受伤人员在他的正西方向，且从无人机上看，受伤人员在它的俯角为45°方向，求小王与受伤人员间AC的距离．（结果保留根号）
17．如图，在离铁塔20m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为53°，测倾仪高AD为1.52m．求铁塔高BC（参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．
18．为了践行“绿水青山就是金山银山”的重要理念，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，古树AB直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了25米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.6米．在E点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡CD的坡度i＝3：4．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
（1）求斜坡CD的高；
（2）求古树的高AB．（结果保留1位小数）
19．如图，测得两楼之间的水平距离为32m，从楼顶点A观测点D的俯角为45°，观测点C的俯角为58°．分别求这两幢楼的高度（结果精确到1m）．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
20．如图，某校无人机兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，无人机在位于C点时距离地面MN的高度CH为30米，测得旗杆顶部A点的俯角为30°，测得旗杆底部B点的俯角为45°，求旗杆的高度．
21．如图，在同一剖面内，小明在点A处用测角仪测得居民楼的顶端F的仰角为27°，他水平向右前进了30米来到斜坡的坡脚B处，沿着斜坡BC上行25米到达C点，用测角仪测得点F的仰角为54°，然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底E处，若斜坡BC的坡度为3：4，请你求出居民楼EF的高度．
（测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到0.1米．）
参考数据：sin27°≈0.45，tan27°≈0.51，sin54°≈0.81，tan54°≈1.38）
22．“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们先在点D处用高1.5米的测角仪AD测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行70m到达点E处，在点E处测得塔顶M的仰角为60°．求永定楼的高MF．（结果保留根号）
23．近日，市委、市政府公布了第七批重庆市爱国主义教育基地名单，重庆市育才中学创办的陶行知纪念馆位列其中，如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）
（1）求点D到纪念馆AB的水平距离；
（2）求纪念馆AB的高度约为多少米？
24．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，1.73，sin53°，
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．
25．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点处测得该塔顶端F的仰角分别为∠α＝48°，∠β＝65°，矩形建筑物宽度AD＝20m，高度DC＝35m．计算该信号发射塔顶端到地面的高度FG（结果精确到1m）．
（参考数据：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
26．越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措，某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.5米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距4.5米的点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（精确到0.1米）（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
27．如图，建筑物AB后有一座小山，∠DCF＝30°，测得小山坡脚C点与建筑物水平距离BC＝25米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离CE＝20米，某人从建筑物顶端A点测得E点处的俯角为48°．
（1）求凉亭到地面的距离；
（2）求建筑物AB的高．（精确到0.1m）
（参考数据：1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
28．阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；tan（α﹣β）．
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°＝tan（45°﹣30°）．
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题：
（1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离8米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据1.732，1.414）
29．小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB＝2米，AC的坡度i＝1：，且B、C、D三点在同一直线上．
（1）求树DE的高度；
（2）求食堂MN的高度．
30．某“综合与实践”小组开展了测量运城北站关公铜像高度的实践活动，他们设计了两个测量方案如下表．经过老师与小组利用课余时间实地考察放弃了方案一，采用了方案二，他们在铜像底部所在的平地上选取两个不同的测点，分别测量了铜像顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果填入表格，测量数据如下表．
课题 测量公关铜像的高度
成员 组长：×××，组员：×××，×××，×××
工具 侧倾器，皮尺等
设计方案 方案一 测量示 意图 说明：线段AB表示铜像，线段CD表示侧倾器，CD的高度为1.1米，点E在AB上，点A，B，C，D，E在同一平面内．需要测量的数据有BC的距离，倾斜角BC的距离，倾斜角∠ADE的度数．
方案二 测量示 意图 说明：线段AB表示铜像，线段CD，EG表示侧倾器，CD，FG的高度为1.1米，点E在AB上，点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内．需要测量的数据有CF的距离，倾斜角∠ADE，∠AGE的度数．
实施方案 方案二的 测量数据 ∠ADE的平均值 ∠AGE的平均值 CF的平均值
28.5° 45° 10米
（1）“综合与实践”小组为什么放弃方案一，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）
（2）请你根据他们的测量数据计算关公铜像的高度．
（参考数据：sin28.5°≈0.48，cos28.5°≈0.88，tan28.5°）
专题3: 解直角三角形--仰角与俯角
参考答案与试题解析
一．选择题
1．北京2022年冬奥会计划于2月4日开幕，2月20闭幕．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道AB的长度为（　　）
A．50sin40°米 B．50cos40°米 C．米 D．米
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠A＝40°，BC＝50米，
∴sin40°，
∴AB．
故选：C．
2．在高为60m的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是30°和60°，则这个建筑物的高度是（　　）
A．20m B．30m C．40m D．50m
【解答】解：如图，作CE⊥AB，
根据题意可知：∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AB＝60m，∠ACE＝30°，
∴BD＝AB×tan30°＝6020（m），
∴CE＝BD＝20m，
∵∠ACE＝30°，
∴AE＝CEtan30°＝2020（m），
∴CD＝BE＝AB﹣AE＝60﹣20＝40（m），
故选：C．
3．如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（　　）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．0.3 B．0.2 C．0.25 D．0.35
【解答】解：在Rt△BCD中，BD＝8米，∠BCD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝8米，
在Rt△ACD中，CD＝8米，∠ACD＝37°，
∴AD＝CD tan37°≈8×0.75＝6（米），
∴旗杆AB的高为：AD+BD＝6+8＝14（米）；
升旗时，国旗上升高度是：14﹣2.5＝11.5（米），
∵耗时46s，
∴国旗匀速上升的速度为：0.25（米/秒），
故选：C．
4．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37度，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为（　　）米．（sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75，1.73）
A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7
【解答】解：如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．
在Rt△BCF中，BF：CF＝1：，
设BF＝k米，则CFk米，
∴BC2k（米），
又∵BC＝12米，
∴2k＝12，
∴k＝6，
∴BF＝6米，CF＝6米，
∵DF＝DC+CF，
∴DF＝（40+6）米，
在Rt△AEH中，tan∠AEH，
∴AH＝tan37°×（40+6）≈37.785（米），
∵BH＝BF﹣FH，
∴BH＝6﹣1.5＝4.5（米）．
∵AB＝AH﹣HB，
∴AB＝37.785﹣4.5≈33.3（米）．
即大楼AB的高度约为33.3米．
故选：C．
5．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡CE的坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（　　）
A．（1010）m B．（1020）m C．30m D．40m
【解答】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：，
∴1：，
设DF＝xm，CFxm，
∴CD2x＝20，
∴x＝10，
∴BH＝DF＝10m，CF＝30m，
∴DH＝BF＝30+30＝60（m），
∵∠ADH＝30°，
∴AHDH＝20（m），
∴AB＝AH+BH＝（2010）＝30（m），
故选：C．
二．填空题
6．如图，从A处观测C处的仰角是∠CAD＝36°，从B处观测C处的仰角是∠CBD＝74°，则从C处观测A，B两处的视角∠BCA的度数是 　38°　．
【解答】解：∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD＝∠CAD+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠ACB＝74°﹣36°＝38°．
故答案为：38°．
7．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.1m，则建筑物AB的高度约为 　7.1m　．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
则四边形DCBE为矩形，
∴DE＝BC＝5m，BE＝CD＝1.1m，
在Rt△ADE中，∠ADE＝50°，tan∠ADE，
则AE＝DE tan∠ADE≈5×1.19＝5.95（m），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.1≈7.1（m），
故答案为：7.1m．
8．为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮视线在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度为 　10.4　米．（结果带根号即可）
【解答】解：如图，
根据题意可知：
DE⊥BE，AB⊥BE，
过点D作DC⊥AB于点C，
所以四边形DEBC是矩形，
∴BC＝ED＝1.70，
DC＝EB＝15，
在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，
∴tan30°，
即，
解得AC＝5，
∴AB＝AC+CB＝51.70≈10.4（米）．
答：无人机距离地面的高度约为10.4米．
故答案为：10.4．
9．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框内的距离BC＝5米，眼镜与底面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知，则点D到底面的距离CD是 　3.2　米．
【解答】解：如图，过A作AE⊥CD于E，
则四边形ABCE是矩形，
∴AE＝BC＝5米，CE＝AB＝1.7米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝α，tanα，
∴DEAE5＝1.5（米），
∴CD＝CE+DE＝3.2米．
故答案为：3.2．
10．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为 　136.6　（参考数据：1.732）米．
【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．
则四边形DHBF是矩形，
∴BF＝DH，
在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝50（米），
∴BF＝DH＝50（米），
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴EF＝BF＝50（米），
在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°，
∴CFEF＝5086.6（米），
∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．
即建筑物BC的高度约为136.6米，
故答案为：136.6．
三．解答题
11．2021年9月16号，泸县发生地震，救援队及时达到现场参与救援，在救援中用热气球进行探测．如图，探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角（∠BAD）为45°，看这栋高楼底部C的俯角（∠CAD）为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋高楼的高度（结果保留根号）．
【解答】解：在Rt△ABD中，tan∠BAD，
∴BD＝ADtan45°＝50×1＝50（m），
在Rt△ADC中，tan∠CAD，
∴CD＝ADtan60°＝5050（m），
∴BC＝BD+CD＝（50+50）m，
答：这栋高楼的高度为（50+50）m．
12．如图，小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用无人机测量他所住小区的楼房BC的高度．当无人机在地面A点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的仰角为30°，当无人机垂直向上飞行到距地面60米的D点处时，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．
（1）求小区楼房BC的高度；
（2）若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒后，无人机无法观察到地面上点A的位置．（计算结果保留根号）
【解答】解：（1）过点C作CE⊥AD于点E，得矩形ABCE，
∴BC＝AE，
由题意可知：∠CAE＝∠CAB＝30°∠DCE＝45°，AD＝60米，
∴CEAE，DE＝60﹣AE，
∵DE＝CE，
∴60﹣AEAE，
∴AE＝30（1）米，
∴小区楼房BC的高度30（1）米；
（2）如图，直线DM交AC的延长线于点F，
∵DF∥AB，
∴∠DFA＝∠CAB＝30°，
∴DFAD＝60（米），
∴605＝12（秒）．
答：经过12秒后，无人机无法观察到地面上点A的位置．
13．如图，零陵区某校初三某数学兴趣小组的同学欲测量回龙塔AD的高度，他们先在B处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着AB的方向后退28米至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔的高度（精确到1m，参考数据：1.73）
【解答】解：根据题意可知∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，BC＝28m，
在Rt△ABD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AB＝AD，
在Rt△ACD中，由tan∠ACD，
∴ACAD，
∵AC﹣AB＝BC，
∴AD﹣AD＝28，
∴AD，
答：古塔AD的高度约为38米．
14．上海中心大厦是我国目前最高的大楼，如图为了测量上海中心大厦AB的高度，某数学实践小组在D处测得楼顶B的仰角为22°，仪器CD高度为2米，将仪器CD沿着CA方向前进735米到达EF，在F处测得楼顶B的仰角为37°，请计算上海中心大厦AB的高度．
（sin22°，tan22°，cos37°，tan37°）
【解答】解：如图，连接DF，并且延长DF交AB于点G，
则四边形CDFE，EFGA是矩形，EF＝CD＝GA，DF＝CE，FG＝AE，
由题意知：CE＝735米，CD＝EF＝AG＝2米，∠BDG＝22°，∠BFG＝37°，
设FG＝x，在△BGF中，
∵tan∠BFG，
∴tan37°，
∴BGx，
在△BDG中，
tan∠BDG，
∴tan22°，
∴BG（735+x）x，
解得：x＝840，
∴FG＝840（米），
BG840＝620（米 ），
∴AB＝BG+AG＝620+2＝622（米 ），
∴海天中心主楼AB的高度是622米．
15．某数学测量小组准备测量体育场上旗杆AB的高度．如图所示，观礼台斜坡CD的长度为10米，坡角为26.5°，从斜坡的最高点C测得旗杆最高点A的仰角为37°，斜坡底端D与旗杆底端B的距离是9米，求旗杆AB的高度．（结果保留整数）
参考数据：sin26.5°，cos26.5°，tan26.5°，sin37°，cos37°，tan37°．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥BD延长线于点F，
在Rt△CDF中，∠CDF＝26.5°，CD＝10米，
∴CF＝CD×sin26.5°≈104.5（米），DF＝CD cos∠CDF＝109（米），
∴BF＝BD+DF＝9+9＝18（米），
在Rt△ACE中，∵CE＝BF＝18米，
∴AE＝CE tan37°＝1813.5（米），
∴AB＝AE+BE＝13.5+4.5＝18（米），
答：旗杆AB的高度为18米．
16．小王是一名经验丰富的户外搜救人员，某日小王接到搜救任务去山里救助一名受伤的户外运动员；来到这座山的东侧A处，为了方便确定受伤人员具体位置，他在A处向上放出一架无人机搜寻，该无人机以每分钟60m的速度沿着仰角为60°的方向上升，5分钟后升到B处，这时小王通过无人机发现受伤人员在他的正西方向，且从无人机上看，受伤人员在它的俯角为45°方向，求小王与受伤人员间AC的距离．（结果保留根号）
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
由题意得：BE∥AC，∠EBC＝45°，∠BAD＝60°，AB＝60×5＝300（m），
在Rt△ABD中，BD＝AB sin∠BAD＝300150（m），AD＝AB cos∠BAD＝300150（m），
∴∠BCD＝∠EBC＝45°，
∴∠BCD＝∠CBD＝45°，
∴CD＝BD＝150（m），
∴AC＝CD﹣AD＝150150（m）．
∴小王与受伤人员间AC的距离为（150150）m．
17．如图，在离铁塔20m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为53°，测倾仪高AD为1.52m．求铁塔高BC（参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，
则AE＝CD＝20m，CE＝AD＝1.52m，
在△ABE中，tan∠ABE＝tan53，
∴BE＝AE×tan53°≈20×1.33≈26.6（m），
∴BC＝BE+CE≈26.6+1.52≈28.12（m）．
答：铁塔高BC约为28.12m．
18．为了践行“绿水青山就是金山银山”的重要理念，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，古树AB直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了25米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.6米．在E点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡CD的坡度i＝3：4．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
（1）求斜坡CD的高；
（2）求古树的高AB．（结果保留1位小数）
【解答】解：（1）过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝3：4，BC＝CD＝25米，
∴设DG＝3x米，则CG＝4x米．
在Rt△CDG中，
∵DG2+CG2＝DC2，即（3x）2+（4x）2＝252，解得x＝5，
∴DG＝15米，CG＝20米，
答：斜坡CD的高为15米；
（2）∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∵EG＝ED+DG＝0.6+15＝15.6米，BG＝BC+CG＝25+20＝45米．
∴EM＝BG＝45米，BM＝EG＝15.6米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝15°，
∴AM＝EM tan15°≈45×0.27＝12.15米，
∴AB＝AM+BM＝12.15+15.6≈27.8（米）．
答：古树的高AB约为27.8米．
19．如图，测得两楼之间的水平距离为32m，从楼顶点A观测点D的俯角为45°，观测点C的俯角为58°．分别求这两幢楼的高度（结果精确到1m）．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠EBC＝∠DCB＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴DE＝BC＝32m，BE＝DC，
由题意可知：∠ADE＝45°，
∴AE＝DE＝32m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝58°，
∴AB＝BCtan∠ACB＝32×tan58°≈32×1.60≈51（m），
∴BE＝CD＝AB﹣AE＝51﹣32≈19（m）．
答：建筑物AB的高约为51m、CD的高约为19m．
20．如图，某校无人机兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，无人机在位于C点时距离地面MN的高度CH为30米，测得旗杆顶部A点的俯角为30°，测得旗杆底部B点的俯角为45°，求旗杆的高度．
【解答】解：如图，作AD⊥CH，垂足为点D．
根据题意得，∠CBH＝45°，∠CAD＝30°，
在Rt△BHC中，∠BHC＝90°，∠CBH＝∠BCH＝45°，
∴BH＝30米，
∵∠ABH＝∠BHD＝∠ADH＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴BH＝AD＝30米，AB＝DH，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD tan∠CAD米，
∴AB＝DH米，
答：旗杆高度为米．
21．如图，在同一剖面内，小明在点A处用测角仪测得居民楼的顶端F的仰角为27°，他水平向右前进了30米来到斜坡的坡脚B处，沿着斜坡BC上行25米到达C点，用测角仪测得点F的仰角为54°，然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底E处，若斜坡BC的坡度为3：4，请你求出居民楼EF的高度．
（测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到0.1米．）
参考数据：sin27°≈0.45，tan27°≈0.51，sin54°≈0.81，tan54°≈1.38）
【解答】解：如图，过点C作CG⊥AD于点G，EH⊥AD于点H，
得矩形CGHE，
∴CE＝GH，CG＝EH，
在Rt△BCG中，BC＝25米，CG：BG＝3：4，
∴CG＝EH＝15米，BG＝20米，
在Rt△AFH中，AH＝AB+BC+GH＝30+20+GH＝50+CE，
∵∠FAG＝27°，
∴FH＝AH tan27°，
∴EF+15≈（50+CE）×0.51，
在Rt△FCE中，
∵∠FCE＝54°，
∴EF＝CE×tan54°≈1.38CE，
∴1.38CE+15≈（50+CE）×0.51，
解得CE，
∴EF≈1.38CE≈16.7（米），
∴居民楼EF的高度约为16.7米．
22．“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们先在点D处用高1.5米的测角仪AD测得塔顶M的仰角为30°，然后沿DF方向前行70m到达点E处，在点E处测得塔顶M的仰角为60°．求永定楼的高MF．（结果保留根号）
【解答】解：由题意得：AB＝70米，CF＝1.5米，∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，
∵∠MAC＝30°，∠MBC＝60°，
∴∠AMB＝30°，
∴∠AMB＝∠MAB，
∴MB＝AB＝70米，
在Rt△BCM中，∠MCB＝90°，∠MBC＝60°，
∴∠BMC＝30°．
∴BCBM＝35（米），
∴MCBC＝35（米），
∴MF＝CF+CM＝（351.5）米．
即永定楼的高MF为（351.5）米．
23．近日，市委、市政府公布了第七批重庆市爱国主义教育基地名单，重庆市育才中学创办的陶行知纪念馆位列其中，如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）
（1）求点D到纪念馆AB的水平距离；
（2）求纪念馆AB的高度约为多少米？
【解答】解：（1）如图，延长AB交水平线于M，过F作FN⊥CM于N，延长DE交AM于H，
则HM＝CD＝1.5米，DH＝CM，
在Rt△CFN中，i＝1：2.4，CF＝6.5米，
∴BM＝FN＝2.5（米），CN＝6（米），
∵MN＝BF＝4米，
∴DH＝CM＝6+4＝10（米），
答：点D到纪念馆AB的水平距离为10米；
（2）在Rt△ADH中，tan∠ADEtan51°≈1.23，
∴AH≈10×1.23＝12.3（米），
∴AB＝AM﹣BM＝AH+HM﹣BM＝12.3+1.5﹣2.5≈11.3（米），
答：纪念馆AB的高度约为11.3米．
24．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，1.73，sin53°，
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．
【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝12米，AE＝24米，
∵i＝1：tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BMAB＝6（米），
即点B距水平地面AE的高度为6米；
（2）在Rt△ABM中，
∴NE＝BMAB＝6（米），
AMAB＝6（米），
∴ME＝AM+AE＝（624）米，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（624）米，
∴CE＝CN+NE＝（630）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝24米，
∴DE＝AE tan53°≈2432（米），
∴CD＝CE﹣DE
＝630﹣32
＝62
≈8.4（米）
答：广告牌CD的高约8.4米．
25．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点处测得该塔顶端F的仰角分别为∠α＝48°，∠β＝65°，矩形建筑物宽度AD＝20m，高度DC＝35m．计算该信号发射塔顶端到地面的高度FG（结果精确到1m）．
（参考数据：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
【解答】解：延长AD交FG于H，则四边形ABGH是矩形，AB＝CD＝GH＝30m，AH＝BG．设FH＝xm．
在RtAFH中，AH，
∴CG＝DH20，
在Rt△FCG中，tan65°，
∴2.1，
∴x＝84.7，
∴FG＝FH+GH＝84.7+35＝119.7≈120（m），
答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG为120m．
26．越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措，某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.5米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距4.5米的点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（精确到0.1米）（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
【解答】解：延长BE交MN于H，
则BH⊥MN，
设MH＝x米，
在Rt△MEH中，∠MEH＝45°，
∴EH＝MH＝x米，
∴BH＝（x+4.5）米，
在Rt△MBH中，∠MBH＝33°，
∴tan∠MBH，即0.65，
解得：x≈8.36，
∴MN＝MH+HN＝8.36+1.5≈9.9（米），
答：电池板离地面的高度MN的长约为9.9米．
27．如图，建筑物AB后有一座小山，∠DCF＝30°，测得小山坡脚C点与建筑物水平距离BC＝25米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离CE＝20米，某人从建筑物顶端A点测得E点处的俯角为48°．
（1）求凉亭到地面的距离；
（2）求建筑物AB的高．（精确到0.1m）
（参考数据：1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【解答】解：（1）过E作EM⊥BF于M，
∵∠DCF＝30°，CE＝20米，
∴EM＝CE sin30°＝10米；，
答：凉亭到地面的距离为10米；
（2）过E作EN⊥AB，交AB于点N，BN＝EM＝10米，NE＝BM，∠BNE＝90°，
在Rt△CME中，CM＝CE cos30°＝10米，
∴NE＝BM＝BC+CM＝（25+10）米，
∵α＝48°，
∴∠EAN＝90°﹣α＝42°，
在Rt△ANE中，AN（米），
∴AB＝AN+BN＝57.0米，
答：建筑物AB的高约为57.0米
28．阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；tan（α﹣β）．
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°＝tan（45°﹣30°）．
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题：
（1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离8米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据1.732，1.414）
【解答】解：（1）由题意可知：
sin15°＝sin（45°﹣30°）
＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
；
（2）在Rt△BDE中，
∵∠BED＝90°，∠BDE＝75°，DE＝AC＝8米，
∴∠DBE＝15°．
∴
（16+8）（米）．
∴（米）．
答：乌蒙铁塔的高度约为31.5米．
29．小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB＝2米，AC的坡度i＝1：，且B、C、D三点在同一直线上．
（1）求树DE的高度；
（2）求食堂MN的高度．
【解答】解：（1）如图，设DE＝x米，
∵AB＝DF＝2米，∠ACB＝30°，
∴EF＝（x﹣2）米，AC＝2AB＝4（米），
∵∠ECD＝60°，
∴△ACE是直角三角形，
∵AF∥BD，
∴∠CAF＝30°，
∴∠CAE＝60°，∠AEC＝30°，
∴∠ACE＝90°，
∴AE＝2AC＝8（米），
在Rt△AEF中，∠EAF＝30°，
∴EFAE＝4（米），
即x﹣2＝4，
解得x＝6，
即树DE的高度为6米；
（2）延长NM交DB延长线于点P，则AM＝BP＝3米，
由（1）知CDCEAC＝2（米），BC＝2（米），
∴PD＝BP+BC+CD＝（3+22）米＝（3+4）米，
∵∠NDP＝45°，且∠NPD＝90°，
∴NP＝PD＝（3+4）米，
∴NM＝NP﹣MP＝（3+42）米＝（1+4）米，
即食堂MN的高度为（1+4）米．
30．某“综合与实践”小组开展了测量运城北站关公铜像高度的实践活动，他们设计了两个测量方案如下表．经过老师与小组利用课余时间实地考察放弃了方案一，采用了方案二，他们在铜像底部所在的平地上选取两个不同的测点，分别测量了铜像顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果填入表格，测量数据如下表．
课题 测量公关铜像的高度
成员 组长：×××，组员：×××，×××，×××
工具 侧倾器，皮尺等
设计方案 方案一 测量示 意图 说明：线段AB表示铜像，线段CD表示侧倾器，CD的高度为1.1米，点E在AB上，点A，B，C，D，E在同一平面内．需要测量的数据有BC的距离，倾斜角BC的距离，倾斜角∠ADE的度数．
方案二 测量示 意图 说明：线段AB表示铜像，线段CD，EG表示侧倾器，CD，FG的高度为1.1米，点E在AB上，点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内．需要测量的数据有CF的距离，倾斜角∠ADE，∠AGE的度数．
实施方案 方案二的 测量数据 ∠ADE的平均值 ∠AGE的平均值 CF的平均值
28.5° 45° 10米
（1）“综合与实践”小组为什么放弃方案一，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）
（2）请你根据他们的测量数据计算关公铜像的高度．
（参考数据：sin28.5°≈0.48，cos28.5°≈0.88，tan28.5°）
【解答】解：（1）答案不唯一，如：方案一适合底部可直接到达；底部不可到达；方案二适合测量底部不可直接到达的物体的高度；在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离；
（2）解：由题意可得：四边形CDGF，四边形CDEB是矩形，
∴DG＝CF＝10，BE＝CD＝1.1，
设AE＝x．
在Rt△AEG中，∠AEG＝90°，∠AGE＝45°，
∵，
∴
∴，
在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠ADE＝28.5°，
∵，
∴
∴，
∵DG＝DE﹣EG，
∴，
∴x＝12，
∴AB＝AE+BE＝12+1.1＝13.1（米），
答：关公铜像AB的高度为13.1米．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2022/2/6 23:03:22；用户：初数；邮箱：18185201275；学号：31583080

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