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专题4: 解直角三角形--方位角
一．选择题
1．如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（　　）
A．80海里 B．120海里 C．（40+40）海里 D．（40+40）海里
2．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里，在A岛周围20海里水域有暗礁．若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航行安全，需要计算A到OB的距离AC．下列算法正确的是（　　）
A．AC＝52cos64° B．AC C．AC＝52sin64° D．AC＝52tan64°
3．如图，建筑工地划出了三角形安全区△ABC，一人从A点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发，沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距（　　）（tan53°）
A． B． C． D．130m
4．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏东43°方向上，在海岛B的北偏东86°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（　　）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
5．如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20m，已知B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为（　　）
A．10m B．m C．10m D．（10+10）m
二．填空题
6．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 　 　海里．（结果保留根号）
7．如图，在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200米到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C处，那么，由此可知C地到B地的距离BC的长为 　 　米．
8．一名徒步爱好者来美丽永州旅行，他从宾馆C处出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达某书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆C处南偏东45°方向的滨江公园B处，如图所示，求AB的距离＝　 　米．
9．如图甲、乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则此时甲、乙两船之间的距离是 　 　海里．
三．解答题
10．如图，某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测距小岛P的方位是北偏东60°．
（1）求此时轮船与小岛P的距离BP；
（2）经过观测发现小岛P方圆3海里内有暗礁，请问若轮船继续向东航行是否有触礁的危险？并说明埋由．
11．某客轮在点C处失事后，在其附近有A、B两处专业救助点，B在A的正东方向，且相距100海里，海上搜救中心在获知客轮C失事后，测得出事地点C在A的南偏东60°方向，在B的南偏东30°方向，若救助轮航行速度是25海里/时，试问A处救助轮赶到出事地点C需要多长时间？（结果保留根号）
12．因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点B，使得点A恰好位于点B北偏东70°方向处，点C恰好位于点B的西北方向上，若经过测量，AB＝10千米．你能否经过计算得出AC之间的距离．（精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）
13．如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．
（1）求AB两地的距离；（结果保留根号）
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）
14．小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B处观察到电视塔在北偏西53度的方向上．已知电视塔C距离公路AB的距离为300米，求小明的徒步速度．（精确到个位，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan37°≈0.75，tan53°≈1.3）
15．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．
16．某客轮在C点失事后，海上搜救中心立即通知位于A，B两处的专业救助轮前往出事地点协助搜救，B在A的正东方向，且相距100海里．接到通知后，测得出事地点C在A的南偏东60°，C在B的南偏东30°，如果A，B两处救助轮航行速度都是25海里/时，试问A处救助轮赶到出事地点C需要多长时间？（结果保留根号）
17．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处立即出发以每小时30海里速度赶到C处进行救援，问救援队能否在2小时内到达C处进行救援？请说明理由．
18．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习，如图所示，学校在B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（32+32）km处，学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是32km/h，哪组学生先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
19．如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？
20．阅读下列材料，并解决问题．
如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则，，即AD＝csinB，AD＝bsinC．于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）如图2，一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AC．
（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）
专题4: 解直角三角形--方位角
参考答案与试题解析
一．选择题
1．如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（　　）
A．80海里 B．120海里
C．（40+40）海里 D．（40+40）海里
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
由题意得，∠CAD＝45°，∠BAD＝60°，AC＝40海里，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，AC＝40海里，
∴AD＝CD4040（海里），
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，AD＝40海里，
∴BDAD＝40（海里），
∴BC＝CD+BD＝（40+40）海里，
故选：D．
2．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里，在A岛周围20海里水域有暗礁．若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航行安全，需要计算A到OB的距离AC．下列算法正确的是（　　）
A．AC＝52cos64° B．AC
C．AC＝52sin64° D．AC＝52tan64°
【解答】解：由题意可得：∠CAO＝64°，
∴cos∠CAO，
即cos64°，
∴AC＝52cos64°．
故选：A．
3．如图，建筑工地划出了三角形安全区△ABC，一人从A点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发，沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距（　　）（tan53°）
A． B． C． D．130m
【解答】解：如图，过C作CF⊥AD，CE∥AD，BE∥AG，
∴∠CEB＝90°，∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°，AC＝50，BC＝100，四边形CEDF是矩形，
∴DE＝CF，DF＝CE，
在Rt△ACF中，tan∠ACFtan53°，
在Rt△BCE中，tan∠EBCtan53°，
∵tan53°，
∴，
∴AFCF，CEBE，
在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2，
∴CF2+（CF）2＝502，
解得CF＝DE＝30，AF30＝40，
在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2，
∴BE2+（BE）2＝1002，
解得BE＝60，CE＝DF60＝80，
∴AD＝AF+DF＝120，BD＝BE﹣DE＝30，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∴AB30．
故选：B．
4．一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏东43°方向上，在海岛B的北偏东86°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（　　）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
【解答】解：如图，根据题意得：∠CBD＝86°，∠CAB＝43°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝43°，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴BC＝AB，
∵AB＝15×2＝30（海里），
∴BC＝30（海里），
即海岛B到灯塔C的距离是30海里，
故选：C．
5．如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20m，已知B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为（　　）
A．10m B．m C．10m D．（10+10）m
【解答】解：如图，过点C作CD⊥直线l于点D，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BCD＝30°，∠ACD＝60°，AB＝20m，
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝60°﹣30°＝30°，∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AB＝BC＝20m，
在Rt△BCD中，
∵sin∠CBD，
∴CD＝BC sin∠CBD＝2010（m），
故选：C．
二．填空题
6．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 　20　海里．（结果保留根号）
【解答】解：作BD⊥AC于点D．
∵∠CBA＝25°+50°＝75°，∠CAB＝（90°﹣70°）+（90°﹣50°）＝20°+40°＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝30°，
∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABD＝75°﹣30°＝45°．
在Rt△ABD中，∠CAB＝60°，AB＝2×20＝40，
BD＝AB sin∠CAB＝40 sin60°＝4020．
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，cosC，
∴∠C＝90﹣∠CBD＝45°，
则BCBD＝20（海里）．
故答案为：20．
7．如图，在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200米到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C处，那么，由此可知C地到B地的距离BC的长为 　200　米．
【解答】解：∵B在A的正东方，C在A地的北偏东 60°方向，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵C在B地的北偏东30°方向，
∴∠ABC＝90°+30°＝120°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∴∠BAC＝∠C，
∴BC＝AB＝200米，
即C地到B地的距离BC的长为200米．
故答案为：200．
8．一名徒步爱好者来美丽永州旅行，他从宾馆C处出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达某书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆C处南偏东45°方向的滨江公园B处，如图所示，求AB的距离＝　（10001000）　米．
【解答】解：过C作CP⊥AB于P，
则∠APC＝∠BPC＝90°，
由题意可得：∠A＝30°，AC＝2000米，∠BCP＝45°，
∴PCAC＝1000（米），
∴AP1000（米），
在Rt△PBC中，PC＝1000米，∠BCP＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP＝PC＝1000米，
∴AB＝AP+BP＝（10001000）米，
故答案为：（10001000）．
9．如图甲、乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则此时甲、乙两船之间的距离是 　　海里．
【解答】解：设AB＝2x海里，
如图，
作BD⊥AC于点D，在AC上取点E，使BE＝CE，
根据题意可知：
∠BAD＝30°，∠C＝15°，
∴∠BED＝30°，
∴AD＝DEx，
CE＝BE＝AB＝2x，
∴AD+DE+CE＝60，
即xx+2x＝60，
∴x＝15（1），
∴AD＝15（3），
∴CD＝60﹣15（3）＝15+15，BDAB＝15（1），
∴BC30（海里），
答：甲、乙两船之间的距离是30海里，
故答案为：30．
三．解答题（共11小题）
10．如图，某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测距小岛P的方位是北偏东60°．
（1）求此时轮船与小岛P的距离BP；
（2）经过观测发现小岛P方圆3海里内有暗礁，请问若轮船继续向东航行是否有触礁的危险？并说明埋由．
【解答】解：（1）如图，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于C，
由方向角的定义可知，∠PAC＝90°﹣75°＝15°，∠PBC＝90°﹣60°＝30°，AB＝7，
∵∠PBC＝30°＝∠PAC+∠APB，
∴∠APB＝∠PAC＝15°，
∴PB＝AB＝7；
（2）没有触礁的危险，理由：
在Rt△PBC中，PB＝7，∠PBC＝30°，
∴PCPB3.5＞3，
∴轮船继续向东航行没有触礁的危险．
11．某客轮在点C处失事后，在其附近有A、B两处专业救助点，B在A的正东方向，且相距100海里，海上搜救中心在获知客轮C失事后，测得出事地点C在A的南偏东60°方向，在B的南偏东30°方向，若救助轮航行速度是25海里/时，试问A处救助轮赶到出事地点C需要多长时间？（结果保留根号）
【解答】解：根据题意可知，∠BAC＝30°，∠ABC＝120°，AB＝100，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∵A，B两处救助轮航行速度都是25海里/时，
∴BC＝AB＝100，
过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
∵∠CBD＝60°，BC＝100，
∴BD＝BCcos60°＝10050，
∴AD＝AB+BD＝150，
∵∠BAC＝30°，
∴cos30°，
∴AC100，
∵A，B处救助轮的行使速度为25海里/时，
∴A处救助轮到达C点的时间是4（小时）．
12．因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点B，使得点A恰好位于点B北偏东70°方向处，点C恰好位于点B的西北方向上，若经过测量，AB＝10千米．你能否经过计算得出AC之间的距离．（精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）
【解答】解：过D作BD⊥AC于D，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝70°，AB＝10千米，
∴BD＝ABcos∠ABD＝10×0.34≈3.4（千米），AD＝ABsin∠ABD＝10×0.94≈9.4（千米），
∵∠CBD＝45°，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝3.4千米，
∴AC＝CD+AD＝3.4+9.4＝12.8（千米），
答：AC之间的距离为12.8千米．
13．如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．
（1）求AB两地的距离；（结果保留根号）
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）
【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得
OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°．
∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）．
在Rt△AOC中，OC＝OA cos∠AOC≈60×0.8＝48（千米）．
∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝8（千米）．
在Rt△ABC中，AB．
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．
理由：延长AB交l于点D．
∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°．
∴△ABC∽△DBO，
∴，
∴，
∴OD＝135（千米）．
∵135＞58+1，
∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．
14．小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B处观察到电视塔在北偏西53度的方向上．已知电视塔C距离公路AB的距离为300米，求小明的徒步速度．（精确到个位，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan37°≈0.75，tan53°≈1.3）
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，由题意可得，∠CAD＝90°﹣37°＝53°，∠CBD＝90°﹣53°＝37°，CD＝300米，
在Rt△ACD中，
∵，
∴AD≈231（米），
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD＝tan37°≈0.75，
∴BD≈400（米），
∴AB＝AD+BD≈631（米），
∴速度为：631÷5≈126（米/分钟），
15．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，
∵∠BAC＝75°﹣30°＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴ACCD，
∵BC∥AE，
∴∠DBC＝∠BAE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，AD＝CDBD，
∵AD﹣BD＝AB，
∴BD﹣BD＝20海里，
解得：BD＝10（1）海里，
∴CDBD＝（30+10）海里，
∴ACCD＝（3010）（海里），
∴（3010）÷20＝（）（小时），
答：经过（）小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．
16．某客轮在C点失事后，海上搜救中心立即通知位于A，B两处的专业救助轮前往出事地点协助搜救，B在A的正东方向，且相距100海里．接到通知后，测得出事地点C在A的南偏东60°，C在B的南偏东30°，如果A，B两处救助轮航行速度都是25海里/时，试问A处救助轮赶到出事地点C需要多长时间？（结果保留根号）
【解答】解：根据题意可知，∠BAC＝30°，∠ABC＝120°，AB＝100，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∵A，B两处救助轮航行速度都是25海里/时，
∴BC＝AB＝100，
过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
∵∠CBD＝60°，BC＝100，
∴BD＝BCcos60°＝10050，
∴AD＝AB+BD＝150，
∵∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴cos30°，
∴AC100，
∵A，B处救助轮的行使速度为25海里/时，
∴A处救助轮到达C点的时间是4（小时）．
17．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处立即出发以每小时30海里速度赶到C处进行救援，问救援队能否在2小时内到达C处进行救援？请说明理由．
【解答】解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，如图所示：
由题意，知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°．
在Rt△ABM中，∠BAM＝45°，AB＝40海里，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴BM＝AMAB40＝20（海里）．
答：渔船航行20海里与小岛B的距离最近．
（2）救援队能在2小时内到达C处进行救援，理由如下：
∵BM＝20海里，MC＝20海里，
∴tan∠MBC，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∠MBC＝60°，
∴∠BCM＝30°，
∴BC＝2BM＝40（海里），
∴40÷302．
即：救援队能在2小时内到达C处进行救援．
18．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习，如图所示，学校在B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（32+32）km处，学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是32km/h，哪组学生先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于D，由题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°，
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴CBD＝45°＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝xkm，则CD＝xkm，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2x，tan30°，
∴，
∴ADx（km），
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB，
∴BCx（km），
∵CD+AD＝32+32，
∴xx＝32+32，
∴x＝32，
∴AB＝2x＝64（km），BCx＝32（km），
第一组用时：64÷40＝1.6（h），
第二组用时：3232（h），
∵1.6，
∴第二组先到目的地，
答：第一组用时1.6小时，第二组用时小时，第二组先到目的地．
19．如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？
【解答】解：过P作PB⊥AM于B，
在Rt△APB中，∵∠PAB＝30°，
∴PBAP32＝16海里，
∵16＜16，
故轮船有触礁危险．
为了安全，应改变航行方向，并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16海里，即这个距离至少为16海里，
设安全航向为AC，作PD⊥AC于点D，
由题意得，AP＝32海里，PD＝16海里，
∵sin∠PAC，
∴在Rt△PAD中，∠PAC＝60°，
∴∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°．
答：若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险．轮船自A处开始沿南偏东至多60°度方向航行才能安全通过这一海域．．
20．阅读下列材料，并解决问题．
如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则，，即AD＝csinB，AD＝bsinC．于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）如图2，一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AC．
（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）
【解答】解：（1）由示意图可知：∠ACB＝60°，
由平行线的性质可知∠ABC＝180°﹣30°﹣60°﹣15°＝75°，
则∠A＝180°﹣∠C﹣∠B＝45°，BC＝8040（海里），
过B作BD⊥AC于点D，
则∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，
∴DCBC＝20（海里），
由勾股定理得：BD20（海里），
∵∠A＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠A＝45°，
∴AD＝BD＝20海里，
∴AC＝AD+CD＝（2020）（海里），
答：此时货轮距灯塔A的距离AC为（2020）海里；
（2）如图，由（1）知，CD＝20海里，BD20海里，AD＝BD＝20海里，
∴AC＝AD+CD＝（2020）海里，
∵，
∴，
∴sin75°．

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