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2021 年广东省高职高考全真综合模拟测试卷
数 学
一、选择题（本大题共 15小题，每小题 5分，满分 75分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求. ）
1. 设集合M ={1,2,3}
2
，N = x | x 9 0 ，则M N = （ ）
A. 2, 1,0,1,2,3 B. 2, 1,0,1,2 C. 1, 2,3 D. 1, 2
7
⒉ cos 的值为 （ ）
3
3 1 1 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
3. 若 x R，函数 f (x) = sin x + cos x是 （ ）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
lg(x 2)
4. 函数 y = 的定义域是 （ ）
x 3
A. ( ,3) (3,+ ) B. (3,+ ) C. (2,+ ) D. (2,3) (3,+ )
5. 在同一直角坐标系中，当0 a 1时，函数 y = x + a 与 y = a x 的图像是 （ ）
4
6. 已知 a ，tan = ，那么 sin ( ) = （ ）
2 3
3 3 4 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
1
7. 将函数 y = 2sin 2x + 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为 （ ）
6 4

A． y = 2sin(2x + ) B． y = 2sin(2x + )
4 3

C． y = 2sin(2x ) D． y = 2sin(2x )
4 3
8. 已知数列 an 的前 n项和 Sn = 4n
2 n，则 a100 为 （ ）
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A. 810 B. 805 C. 800 D. 795
9. 已知 A、B、C 三点共线，A(3， 6)，B ( 5,1)，若C的横坐标为-3，则C的纵坐标为（ ）
6 3 2 3
A． B． C． D．
7 2 3 4
1
10. “ 1”是“0 x 1”的 （ ）
x
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件
1
11. 直线 l 经过椭圆的一个顶点和焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则该椭
4
圆的离心率为 （ ）
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
12. 设向量 AB = (3, 1), n = (2,1), 且n AC = 7 ,则n BC = （ ）
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
13. y2 =16x的焦点为 F ，抛物线上有一点P的横坐标是 2，则点P到焦点 F 的距离是（ ）
A. 2 2 B. 2 C. 6 D. 8
14. 在样本频率分布直方图中，共有 11 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他
1
10个小长方形的面积的 ，且样本容量为 200，则中间一组的频数是 （ ）
3
A. 40 B. 50 C. 60 D. 70
15. 圆 x2 + y2 2x 8y +13 = 0的圆心到直线 ax + y 1= 0的距离为 1,则a = （ ）
4 4
A. B. C. 3 D. 2
3 3
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，满分 25分. ）
1
16. 设 l 是过点 (0, 2)及点 (1, 2)的直线，则点 ( , 2) 到 l 的距离是________.
2
17. 若函数 f (x) = ax3 + bx 7 满足 f (13) = 25, 则 f ( 13) = .
18. 若函数 f (x) = 4sin x + a cos x的最大值为 5，则常数a = ___________．
19. 等差数列 an 的首项为1,公差为 0. a2 , a3 , a6 成等比数列，则 an 的前 6 项之和
为 .
20. 已知甲击中目标的概率为 0.8，乙击中目标的概率是 0.7，则甲乙分别射击一次至少有
一人击中目标的概率为________.
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三、解答题（本大题共 4小题，其中第 21，22，23,题各 12分，第 24题 14分，满分 50
分.解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤）
6
21. 在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c ，已知a = 3,cos A = , B = A+ ．
3 2
（1）求b 的值；
（2）求 ABC 的面积.
22. 某单位有一块如图所示的四边形空地 ABCD ,已知 A = 60 , AB = 3m, AD = 2m, BC
= 4m,CD = 3m .
(1)求 cosC 的值;
(2)求四边形的面积.
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1 2
23. 已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 y = x ，离心
4
2 5
率为 .
5
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点 F 作直线 l 交椭圆于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若
MA = aAF , MB = bBF ,求 a + b 的值.
3+ x
24. 已知函数 f (x) = ,数列 an 满足关系式：an = f (an 1)(n 2且n N ),且a1=19，
2
（1）求证：数列 an 3 是等比数列；
（2）求数列 an 的通项公式；
（3）设bn = log2 (an 3），求数列 b 的前 nn 项和 Sn ，并求 Sn 取得最大值时n的值.
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2021 年广东省高职高考全真综合模拟测试卷
数 学
参 考 答 案 及 解 析
一、选择题（本大题共 15小题，每小题 5分，满分 75分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求. ）
1.D 【解析】M ={1,2,3}， N ={x | x2 9 0}={x | 3 x 3}, M N ={1,2}，故选 D.
7 7 1
2.C 【解析】 cos( ) = cos( ) = cos(2 + ) = cos( ) = , 故选 C.
3 3 3 3 2
3.D 【解析】 f (x) = cos x是偶函数， f (x) = sin x 是奇函数， f (x) = sin x + cos x 是非
奇非偶函数，故选 D.
4.D 【解析】 x 2 0 且 x 3即 (2,3) (3,+ )，故选 D.
5.A 【解析】0 a 1, y = a x 在 R 是减函数 , y = x + a 在 y 轴上的截距在 y 轴上方,故选 A.
4
6.C 【解析】 a , tan = ,根据三角函数的定义，令 x = 3k, y = 4k(k 0), r = 5k,
2 3
y 4
sin( ) = sin = = ，故选 C.
r 5

7.D 【解析】依题意可知 y = sin(2x + )的函数图象按照向量 ( ,0)，平移所得图象对应
6 4

的函数为 y 0 = 2sin[2(x )+ ]，即 y = 2sin(2x ), 故选 D.
4 6 3
8.D 【解析】 a100 = S100 S99 = 795,故选 D.
8 7
9.D 【解析】设C( 3, y), AB = ( 8,7), AC = ( 6, y + 6）. A、B、C 三点共线，则 = ,
6 y + 6
3
解得 y = ，故选 D.
4
1 1 x
10.A 【解析】 1 0 0 x 1,故选 A.
x x
11.B 【解析】依题意可知直线 l 经过椭圆短轴的顶点和焦点（如
图 ）， OD 为 椭 圆 中 心 到 直 线 l 的 距 离 ， 显 然
2b b 1 1
OC = c,OB = b,CB = a,OD = = , S OCB = OC OB = OD CB, 即
4 2 2 2
b c 1
bc = a = ,故选 B.
2 a 2
12.B 【解析】 AC = AB + BC, 且n AC = n (AB+BC) = n AB+ n BC
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= 5+ n BC = 7 ,则n BC = 2,故选 B.
p
13.C 【解析】 y2 =16x, p = 8, PF = x + = 6，故选 C.
2
1
14.B 【解析】长方形的面积即频率，设中间一个长方形的面积为 x，则 x +3x =1 x = ,
4
1
中间一组的频数为 200 = 50,故选 B.
4
15.A 【解析】圆的标准方程 (x 1)2 + (y 4)2 = 4,圆心（1,4）到直线 ax + y 1= 0的距离
a 1+ 4 1 4
d = =1 a = ,故选 A.
a2 +12 3
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 5分，满分 25分. ）
2
16. 【解析】 直线过(0, 2) 及点 (1, 2) ,得到直线方程为 2 2x y 2 = 0 ，
3
1
2 2 2 2
1 2 2
点（ ，2）到直线 2 2x y 2 = 0的距离 d = = .
2 3 3
17. 39 【解析】 f (13) = a 133 +b 13 7 = 25, 则a 133 + b 13 = 32 ,
f ( 13) = a ( 13)3 + b ( 13) 7 = 32 7 = 39 .
【解析】 的最大值为 16+ a218. 3 f (x) = 4sin x + a cos x = 5 a = 3 .
19. 24 【解析】设等差数列的公差为 d 0,a 23 = a2 a6 (1+ 2d )
2 = (1+ d )(1+ 5d ),
6 5
d = 0(舍去)或d = 2, S6 = 6 1+ ( 2) = 24，故答案为 24 .
2
20. 0.94 【解析】1 0.2 0.3 = 0.94
三、解答题（本大题共 4小题，其中第 21，22，23,题各 12分，第 24题 14分，满分 50
分.解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤）
21.【解析】
2 3 6（1）由题意知在 ABC 中， sin A = 1 cos A = , sin B = sin(A+ ) = cos A = ,
3 2 3
6
3
a sin B
由正弦定理得b = = 3 = 3 2,(6分)
sin A 3
3
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3
（2）由B = A+ 得cos B = cos(A+ ) = sin A = ,由 A+ B +C = ,得C = (A+ B),
2 2 3
3 3 6 6 1
sin C = sin[ (A+ B)] = sin(A+ B) = sin Acos B + cos Asin B = ( )+ =
3 3 3 3 3,
1 1 3
ABC 的面积为 S= 3 3 2 = 2. (6 分)
2 3 2
22. 【解析】
（1）连接 B、D 两点，在 ABD 中， AB = 3, AD = 2, A = 60 , DB2 = AD2 + AB2
CD2 +CB2 BD2
2AD AB cos A = 7, (3分)在 CBD中，CD = 3,CB = 4, DB2 = 7,cosC =
2 CD CB
3
= .(3分)
4
1 3 3
（2） AB = 3, AD = 2, A = 60 , S ABD = AD AB sin 60 = , (2分) CD = 3,CB = 4,
2 2
3 7 1 3 7
cosC = , sin C = , (1分)S = CD CB sin C = , (2分) S ABCD = S CDB + S CBD ADB
4 4 2 2
3 7 +3 3
= .(1分)
2
23. 【解析】
x2 y2
（1）设椭圆方程为 2+ =1(a b 0),抛物线方程为 x = 4y ，其焦点为 (0,1) ，
a2 b2
c a2 b2 2 5 2
椭圆的一个顶点为 (0,1) ，即b =1,(2分) 由 e = = = ,得 a = 5 ，所求椭圆方程
a a 5
x2 y2
为 + =1.
5 1
（2）由（1）得 F (2,0),设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), M (0, y0 ), 设直线 l 的斜率为 k ，直线方程为
y = k(x 2) 20k 2
y = k(x 2),由 ,得 (1+ 5k
2 )x2 20k 2x + 20k 2 5 = 0, x1 + x2 = ,
x
2 +5y2 = 5 1+5k 2
20k 2 5
x1x2 = ,又MA = (x1, y1 y0 ), MB = (x2 , y2 2 y0 ), AF = (2 x1, y1), BF=(2 x2 , y2), 1+5k
由MA = aAF , MB = bBF 得(x1, y1 y0 ) = a(2 x1, y1), (x2 , y2 y0 ) = b(2 x2 , y2 ),
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x x
a = 1 ,b = 2
x x 2(x + x ) 2x x
, a +b = 1 + 2 = 1 2 1 2 = 10.(6分)
2 x1 2 x2 2 x1 2 x2 4 2(x1 + x2 )+ x1x2
24. 【解析】
3+ a
（1）证明：a = f (a ) = n 1
a 3 1
n n 1 , 2an = 3+ an 1(n 1),故2(an 3) = an 1 3,即
n = ,
2 an 1 3 2
1
数列 an 3 是以 a1 3 =16 为首项，q = 为公比的等比数列；（4 分）
2
1 1 1
（2）由（1）知an 3 =16 ( )
n 1 = ( )n 5 ,a n 5 （4 分） n = ( ) +3.
2 2 2
1 n 5 (b1 +bn )n (4+5 n)n 9 1 1（3） bn = log2 (an 3) = log2 ( ) = 5 n, Sn = = = n n
2 =
2 2 2 2 2 2
9 81
(n )2 + . n N. n = 4 或 5 时取最大值，Sn的最大值为10.(6分)
2 8
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