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2022届高三数学二轮培优-圆锥曲线中的定值、定点问题
已知椭圆：，右焦点的坐标为，且点在椭圆上．
求椭圆的方程及离心率；
过点的直线交椭圆于，两点直线不与轴垂直，已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．
已知椭圆：的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若直线：与椭圆相较于，两点不是左右顶点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
求椭圆的方程；
过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．
已知点是离心率为的椭圆：上的一点．
求椭圆的方程；
点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值若不是，请说明理由；
斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
已知椭圆的离心率为，且过点
求椭圆的方程．
若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点，如图所示设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且与直线相切．
求圆的方程；
设点，过点作直线与圆交于两点，若，求直线的方程；
设是直线上的点，过点作圆的切线，切点为求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
已知椭圆的离心率为，短轴长为
求椭圆的标准方程
已知点，是双曲线的两个实轴顶点，点是双曲线上异于，的任意一点，直线交于，直线交于，证明：直线的倾斜角为定值．
已知抛物线：，斜率为且过点的直线与交于，两点，且，其中为坐标原点．
求抛物线的方程；
设点，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为．
求椭圆的方程
经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由．
已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，且过点．
求双曲线的方程；
设为双曲线的左顶点，直线过坐标原点且斜率不为，与双曲线交于，两点，直线过轴上一点异于点，且与直线的倾斜角互补，与直线，分别交于，不在坐标轴上两点，若直线，的斜率之积为定值，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】解：由已知得
解得
椭圆的标准方程为，
椭圆的离心率．
证明：设，，则，
可设的直线方程为，
联立方程
整理得，
，
，
，
整理得，
，
解得，
的直线方程为：，
则直线恒过定点
【解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的定点问题，属于拔高题．
由已知得求解可得椭圆的方程及离心率；
设，，则，可设的直线方程为，联立直线的方程与椭圆的方程，得到根与系数的关系，由，得，得到与的关系，即可得到直线恒过定点的坐标．
2.【答案】Ⅰ解：由题意，，解得．
椭圆的方程为；
Ⅱ证明：设，，
知椭圆的右顶点为，
由，得，
且，
，．
而，即，
，得，
，
整理得，即，
当时，：过定点为右顶点，与已知矛盾；
当时，：过定点，此时；
综上知，直线过定点．
【解析】Ⅰ由已知列关于，，的方程组，求解方程组得到，的值，则椭圆方程可求；
Ⅱ联立直线方程和椭圆方程，化为关于的一元二次方程，设出两交点，的坐标，利用根与系数关系写出两交点横坐标的和与积，由以为直径的圆过椭圆的右顶点得到，代入向量坐标后结合根与系数关系得到与的关系，进一步由直线过定点，并求出该定点的坐标．
本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，是高考试卷中的压轴题．
3.【答案】解：由题意可得解得
所以椭圆的方程为．
证明：设，
当直线斜率存在时，
设直线方程为，
联立得．
由，
得．
，，
，
所以，所以，
即，
所以，
所以，
所以直线过定点．
当直线斜率不存在时，，，
则，
所以，则直线也过定点．
综合，可得直线过定点．
【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线的斜率及直线过定点问题，属于中档题．
根据题意列方程组求得，即可得到椭圆的标准方程；
设交点、的坐标，分直线斜率存在与不存在两种情况证明当直线的斜率存在时设直线的方程，联立椭圆方程消元后利用韦达定理及判别式求得，，，由求得，代入直线方程可证得直线过定点，再考虑直线的斜率不存在时情况，易证得结果．
4.【答案】解：，，
将代入椭圆方程得，
所以椭圆方程为；
依题意得，设，所以，
，
，
所以直线和的斜率之积为定值；
设直线的方程为，
由消去，整理得，
，
，
点到直线的距离为，
，
当，即时面积最大，且最大值为，
此时直线的方程为．
【解析】本题考查椭圆的标准方程的求法和直线与椭圆的位置关系，属综合题．
根据和过点可求结果；
设，所以，，．
先求点到直线的距离为，再计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程．
5.【答案】解：椭圆的离心率为，且过点，
由
解得，，
椭圆的方程为．
证明：由，得，．
设，，
则，，
，，三点共线，
，
．
在椭圆上，
，
，为定值．
【解析】本题考查椭圆的概念和标准方程、椭圆的性质和几何意义以及圆锥曲线中的定值问题，属于一般题．
根据椭圆的离心率且过点可列方程组即可求出，的值，即可求出椭圆方程；
设，，则可求，，又，，三点共线
可求出，可得，在椭圆上，代入可得，
，从而可求解．
6.【答案】解：设圆心，，
则由直线和圆相切的条件：，
可得，解得负值舍去，
即有圆的方程为；
若直线的斜率不存在，即，
代入圆的方程可得，，即有，成立；
若直线的斜率存在，可设直线，
即为，
圆心到直线的距离为，
由，即有，
即有，即，解得，
则直线的方程为；
所以直线的方程为：或者．
证明：由于是直线上的点，
设，由切线的性质可得，经过，，三点的圆，即为以为直径的圆，
则方程为，
整理可得，
可令，且，
解得，，或，．
则有经过，，三点的圆必过定点，
所有定点的坐标为，．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及到弦长和定点问题，属于较难题．
设出圆心，运用直线和圆相切的条件：，计算可得圆的方程；
设出直线的方程，注意讨论斜率是否存在，再由点到直线的距离公式和弦长公式，计算即可得到直线方程；
设出的坐标，根据切线的性质，可得经过，，三点的圆，即为以为直径的圆，求得圆的方程，运用曲线系恒过定点的方法整理，解方程即可得到所有定点．
7.【答案】解：由题意知，，，又，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
由知，双曲线方程为，
设，，，则，
因为，所以直线的方程为，
联立椭圆方程，消去得
，
于是，
将代入，化简得，
同理，直线的方程为，联立椭圆方程，解得，
所以直线的倾斜角为．
【解析】本题考查椭圆的方程及性质，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的定值问题，属于中档题．
由题意知，，，且，解得，，即可求解；
设，，，由，表示出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合，可求得，同理求得，即可证明．
8.【答案】解：根据题意，设直线的方程为，
联立方程组得，
设，，
所以，，
又，
所以，从而抛物线的方程为
证明：因为，，
所以，，
因此
，
又，，
所以，
即为定值．
【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线的几何性质，关键是求出抛物线的标准方程，属于较难题．
根据题意，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得，设，，利用根与系数的关系分析用表示，解可得的值，即可得抛物线的标准方程；
根据题意，由两点间连线的斜率公式可得、的值，将其值代入中，结合抛物线的焦点弦公式分析可得结论．
9.【答案】解：设椭圆的方程为，
由题意，得，解得
所以 ，
所求的椭圆方程为．
由知．
假设在轴上存在一点，使得恒为常数，
当直线与轴不垂直时，设其方程为，、，
由得，
所以，，
．
因为是与无关的常数，从而有，即，
此时，
当直线与轴垂直时，此时可取点，的坐标分别为，，
当时，亦有
综上，在轴上存在定点，
使得恒为常数，且这个常数为．
【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于较难题．
设椭圆的方程为，由题意，得，即可求解．
由知，假设在轴上存在一点，使得条件成立，分直线与轴不垂直或直线与轴垂直两种情况，求解即可．
10.【答案】解：由可得渐近线方程为：，
因为两条渐近线互相垂直，所以，可得，
又因为，解得：，
所以双曲线的方程为．
设，，，，
由知：，设直线，的斜率分别为，，
因为，，三点共线，所以，即，
因为直线过轴上一点异于点，且与直线的倾斜角互补，
所以，即，所以，
由可得
所以
同理可得，
因为直线，的斜率之积为定值，设定值为，
则，
整理可得：，其中，
因为上式对任意的都成立，所以，可得，，
所以点的坐标为．
【解析】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系、圆锥曲线中的定值问题，考查方程思想和运算能力，属于拔高题．
由题意可得，解方程求出，的值即可求解
，设，，，，直线，的斜率分别为，，根据，，可得利用和所表示的点的坐标，同理可得利用和所表示的点的坐标，将整理为关于的方程，由对于任意的恒成立列出等价条件即可求解．
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