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2022届高三数学二轮培优-圆锥曲线中的探索性问题
椭圆：的离心率为，长轴端点和短轴端点的距离为．
求椭圆的标准方程；
点是圆上异于点和的任一点，直线与椭圆交于点，，直线与椭圆交于点，设为坐标原点，直线，，，的斜率分别为，，，问：是否存在常数，使得恒成立若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为．
求椭圆的方程
经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为．
求椭圆的方程
经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由．
已知椭圆的右焦点在直线上，且离心率为．
求椭圆的方程
设，，过点的直线与椭圆交于另一点异于点，与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，是否存在常数，使得若存在，求出的值若不存在，请说明理由．
平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心、以为半径的圆与以为圆心，以为半径的圆相交，且交点在椭圆上．
求椭圆的方程；
过点作直线与椭圆交于，两点，是坐标原点，设，问：是否存在这样的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为．
求椭圆的方程
经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由．
已知点，，曲线任意一点满足．求曲线的方程：
设点，问是否存在过定点的直线与曲线相交于不同两点，，无论直线如何运动，轴都平分？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
已知椭圆：的右焦点在直线上，且离心率为．
求椭圆的方程；
设，，过点的直线与椭圆交于另一点异于点，与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心、以为半径的圆与以为圆心、以为半径的圆相交，且交点在椭圆上．
求椭圆的方程；
过点作直线与椭圆交于，两点，是坐标原点，设，问：是否存在这样的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
已知点是椭圆：的右焦点，点到直线的距离为，椭圆的离心率．
求椭圆的方程；
动直线不垂直于坐标轴交椭圆于，不同两点，设直线和的斜率分别为，，若，试探究该动直线是否过轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】解：设椭圆焦距为，
由，解得，．
椭圆的标准方程为．
由题意直线，斜率存在且均不为，
设直线方程为，，
由
得．
，．
又
，
从而代入得．
又，以替代，以替代，
同理可得，
对恒成立，
解得或舍，
经检验，此时，
因此存在，使得恒成立．
【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系及其应用．
根据题意可知，即可求解椭圆的标准方程；
联立直线和椭圆利用韦达定理表示出，，令两个式子相等即可求出结果．
2.【答案】解：设椭圆的方程为，
由题意，得，解得
所以 ，
所求的椭圆方程为．
由知．
假设在轴上存在一点，使得恒为常数，
当直线与轴不垂直时，设其方程为，、，
由得，
所以，，
．
因为是与无关的常数，从而有，即，
此时，
当直线与轴垂直时，此时可取点，的坐标分别为，，
当时，亦有
综上，在轴上存在定点，
使得恒为常数，且这个常数为．
【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于较难题．
设椭圆的方程为，由题意，得，即可求解．
由知，假设在轴上存在一点，使得条件成立，分直线与轴不垂直或直线与轴垂直两种情况，求解即可．
3.【答案】解：设椭圆的方程为，
由题意，得，解得
所以 ，
所求的椭圆方程为．
由知．
假设在轴上存在一点，使得恒为常数，
当直线与轴不垂直时，设其方程为，、，
由得，
所以，，
．
因为是与无关的常数，从而有，即，
此时，
当直线与轴垂直时，此时可取点，的坐标分别为，，
当时，亦有
综上，在轴上存在定点，
使得恒为常数，且这个常数为．
【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于较难题．
设椭圆的方程为，由题意，得，即可求解．
由知，假设在轴上存在一点，使得条件成立，分直线与轴不垂直或直线与轴垂直两种情况，求解即可．
4.【答案】解：由题意得，解得，，
所以椭圆方程为；
因为，，，设，，显然．
可设直线的方程为，
因为点在这条直线上，则，．
的两根为和，
，．
，
设，则，
，，
因为，所以，．
故存在常数，使得．
【解析】本题考查了椭圆的性质与方程、直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的探索性问题，属于较难题．
根据椭圆的离心率和椭圆经过点，以及椭圆中的关系，列方程组，解方程即可求得结果；
设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程，再结合题意求出的值．
5.【答案】解：由题意可知，，，
又，，．
椭圆的方程为．
，四边形为平行四边形．
假设存在使得，则四边形为矩形．
，
若的斜率不存在，直线的方程为，
由得，，
不合题意，故的斜率存在．
设的方程是，，，
由得．
，，
，
由，得，
把，代入得．
存在直线：或使得．
【解析】本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆相交的相关问题．
根据椭圆的几何意义求其方程即可；
根据，得四边形为平行四边形，假设存在使得，则四边形为矩形．设直线的方程，把直线方程与椭圆的方程联立由根与系数的关系，解得就说明存在否则就不存在．
6.【答案】解：设椭圆的方程为，
由题意，得，解得
所以 ，
所求的椭圆方程为．
由知．
假设在轴上存在一点，使得恒为常数，
当直线与轴不垂直时，设其方程为，、，
由得，
所以，，
．
因为是与无关的常数，从而有，即，
此时，
当直线与轴垂直时，此时可取点，的坐标分别为，，
当时，亦有
综上，在轴上存在定点，
使得恒为常数，且这个常数为．
【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于较难题．
设椭圆的方程为，由题意，得，即可求解．
由知，假设在轴上存在一点，使得条件成立，分直线与轴不垂直或直线与轴垂直两种情况，求解即可．
7.【答案】解：设，
，
，
，即曲线的方程为．
设存在定点满足条件，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
设，．
联立
化为：，
，
．
，，
无论直线如何运动，轴都平分，
则，
，
，
，
，
化为：．
．
，
可得直线经过定点；
易知当直线的斜率不存在时，即垂直于轴的直线，与圆相交于两点，此时满足题意．
存在过定点的直线与曲线相交于不同两点，，无论直线如何运动，轴都平分．
【解析】本题考查两点之间的距离公式、直线与圆的位置关系、直线经过定点问题，属于中档题．
设，由可得．
设存在定点满足条件，当直线的斜率存在时，设直线的方程为设，直线的方程与圆的方程联立化为：，由无论直线如何运动，轴都平分，可得，可得，，利用根与系数的关系代入即可得出结果；当直线的斜率不存在时也满足题意，即可得解．
8.【答案】解：由题意得，解得，，
所以椭圆方程为；
由题可知共线，所以存在常数，使得．
【解析】本题考查了椭圆的性质与方程、直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的探索性问题，属于较难题．
根据椭圆的离心率和椭圆经过点，以及椭圆中的关系，列方程组，解方程即可求得结果；
设的坐标，由题意可得的坐标，设的方程分斜率为和斜率不为两种情况讨论，将直线与椭圆联立求出两根之和与两根之积，再求出直线的斜率之和，求出直线的斜率，即可求得结果．
9.【答案】解：由题意可知，，
，
又，，
．
椭圆的方程为．
，
四边形为平行四边形．
假设存在使得，则四边形为矩形．
，
若的斜率不存在，直线的方程为，
由得，，
不合题意，故的斜率存在．
设的方程是，，，
由得．
，，
，
由，得，
把，代入得．
存在直线：或使得．
【解析】本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆相交的相关问题．
根据椭圆的几何意义求其方程即可；
根据，得四边形为平行四边形，假设存在使得，则四边形为矩形．设直线的方程，把直线方程与椭圆的方程联立由根与系数的关系，解得就说明存在否则就不存在．
10.【答案】解：由题意知椭圆：，
则可知，所以，又因为，所以，则
所以椭圆方程，
假设该直线过定点且在轴上，设直线的方程，
联立消去整理得，
，设，，
则 ，
即，
所以，，即直线过定点
【解析】由题意知椭圆：，点到直线距离公式可得，然后利用离心率求出，进而求出椭圆方程
假设该直线过定点且在轴上，设直线的方程，联立直线与椭圆方程，设，，利用韦达定理，转化求解斜率之和，推出，即可得到直线过定点．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
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