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2022届高三数学二轮培优-圆锥曲线中的最值、范围问题1
已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，过作直线交椭圆于两点，的周长为．
求椭圆的方程
若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值。
如图，直线与抛物线交于两点，与轴相交于点，且．
求证：点的坐标为；
求证：；
求的面积的最小值
已知椭圆：，点在椭圆上，不过原点的直线与椭圆交于，两点，且线段被直线平分．

Ⅰ求椭圆方程；
Ⅱ设是抛物线上动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，，求的面积的最大值．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，以为直径作圆，当直线的斜率为时，．
求抛物线的标准方程；
过焦点作的垂线与圆的一个交点为，交抛物线于，点在，之间，记的面积为，求的最小值．
已知点是离心率为的椭圆：上的一点．
求椭圆的方程；
点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值若不是，请说明理由；
斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
已知圆，点是圆上任意一点，在轴上的射影为，点满足，记点的轨迹为．
求曲线的方程；
已知，过的直线与曲线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求的取值范围．
已知点到点的距离比它到直线的距离小．
Ⅰ求点的轨迹方程
Ⅱ点，在点的轨迹上且位于轴的两侧，其中为坐标原点，求面积的最小值．
已知为圆上的一个动点，过作轴的垂线，垂足为，为线段的中点，的轨迹为．
求的方程；
若不过原点的直线：与交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值．
已知离心率为的椭圆：经过点．
求椭圆的方程；
若不过点的直线：交椭圆于，两点，其中为坐标原点，求面积的最大值．
已知椭圆的焦点恰为椭圆长轴的端点，且的短轴长为．
求的方程
若直线与直线平行，且与交于，两点，，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】解：由题意得：，，
，，
，
椭圆的方程为；
直线的斜率为，
可设直线的方程为，
与椭圆的方程联立可得：

设，两点的坐标为，，
由韦达定理得：
，，
，
点到直线的距离，
，
由知：，，
令，则，，
令，则在上的最大值为，
的最大值为，
综上所述：三角形面积的最大值为．
【解析】【试题解析】
本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，涉及二次函数，点到直线的距离公式，属于中档题．
根据题意得到，即可；
由题意设直线的方程为，与椭圆的方程联立可得：，进而得到点到直线的距离，从而得到即可．
2.【答案】解：设点的坐标为，直线的方程为，
代入抛物线可得，
，是此方程的两根，
所以，即点的坐标为；
由，
所以，
所以；
由方程，且，
则，
所以当时，的面积取最小值．
【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．
设点的坐标为，直线的方程为，代入抛物线利用根与系数的关系即可得点的坐标为；
由，证得，即有；
由方程根据二次函数的性质即可得，所以有的面积最小值为．
3.【答案】解：Ⅰ椭圆：，点在椭圆上，
不过原点的直线：与椭圆交于，两点，且线段被直线平分，
设，，，的中点坐标，
则有
两式作差整理可得，
又，
解得，，
椭圆的方程为：
Ⅱ设抛物线在点的切线方程为，
由，得，
，，
又，，
则
由
得，
设，，
则，，
，
点到切线距离，
，
令
，
，
，
在上递增，
，即时，取最大值．
【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查椭圆、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式．
Ⅰ由椭圆：，点在椭圆上，不过原点的直线：与椭圆交于，两点，且线段被直线平分，列出方程组求出，，由此能求出椭圆的方程
Ⅱ设抛物线在点的切线方程为，由，得，得，由，得，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，能求出的面积的最大值．
4.【答案】解：易知，，
所以抛物线方程为．
设，，，，根据题意：
，即：，
又：，
所以，即：，
显然直线斜率存在且不为零，设：，
，
则，又：，
所以，即，即，
所以，
令，
显然在时单调递增，且，
即时，，即，
时，，即，
所以，时．
所以的最小值．
【解析】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
利用题目给出的条件求出抛物线方程．
先设出点的坐标，然后利用垂直时向量的数量积为，再利用方程组联立即可解决圆锥曲线面积的最值问题．
5.【答案】解：，，
将代入椭圆方程得，
所以椭圆方程为；
依题意得，设，所以，
，
，
所以直线和的斜率之积为定值；
设直线的方程为，
由消去，整理得，
，
，
点到直线的距离为，
，
当，即时面积最大，且最大值为，
此时直线的方程为．
【解析】本题考查椭圆的标准方程的求法和直线与椭圆的位置关系，属综合题．
根据和过点可求结果；
设，所以，，．
先求点到直线的距离为，再计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程．
6.【答案】解：设点，由，得，
由点在圆上，所以，
整理得，
所以曲线的方程是．
当直线的斜率为时，，，，
当直线的斜率不存在时，，，，
当直线的斜率存在且不为时，设，则，
点到直线的距离，
所以，
将代入曲线的方程，整理得
，
设，，
则，，
则，
所以，
令，
则，，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，即
综上所述，的取值范围是
【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及函数单调性的应用，考查转化思想，属于中档题．
设点坐标，根据向量的坐标求得点坐标，代入圆的方程，即可求得的方程；
分类讨论，当斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式即可求得，利用直线与圆的位置关系求得，即可表示出，再令，求导根据单调性即可求得的取值范围．
7.【答案】解：因为点到点的距离比它到直线的距离小，
所以点到点的距离等于到直线的距离，
由抛物线定义知，点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，
所以点的轨迹方程为：．
Ⅱ易知直线的斜率不为，设其方程为，
设，，
联立，消去得，
其中，，，
由，得
，
解得：或，
由已知点，位于轴的两侧，则，即，
所以，
从而直线的方程为，所以直线过定点，
设的面积为，则
，
当且仅当时，等号成立，
因此的面积的最小值为．
【解析】本题考查了直线与抛物线的位置关系、圆锥曲线中的面积问题和圆锥曲线中的轨迹问题，是较难题．
Ⅰ由抛物线定义知，点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，可得点的轨迹方程
Ⅱ设其方程为，与抛物线联立，由，得，设的面积为，由基本不等式可得面积的最小值．
8.【答案】解：设，，由题意知，
由在圆上，故，
将代入化简可得．
由为线段的中点，可知与不能重合，
的方程为．
由题设，联立，
得，
则，
又不经过原点，．
设，两点的坐标分别为，，
则，，
，
又到直线的距离，
平行四边形的面积
当且仅当，即满足时等号成立，
故这个平行四边形面积的最大值为．
【解析】本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与椭圆位置关系的应用、点到直线距离公式的应用、弦长公式的应用、基本不等式求最值的应用，涉及知识点多，综合性强，对逻辑推理能力和化简运算能力有较高的要求，属于中档题．
设，，利用为线段的中点，得到的方程；
联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，由解得的范围，利用弦长公式求出，然后求出点到直线的距离，将平行四边形的面积用表示出来，然后再利用基本不等式求解最值即可；
9.【答案】解：因为，所以设，，则，椭圆的方程为．
代入点的坐标得，，所以椭圆的方程为．
设点，的坐标分别为，，
由得，
即，，．
，．
，
点到直线的距离，
的面积，
当且仅当，即时等号成立．
所以当时，面积的最大值为．
【解析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
根据，设，，则，椭圆的方程为，代入点的坐标解出即可；
设，直线：代入椭圆方程并化简，再利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．
10.【答案】解：
由题意可得解得
故C的方程为．
设直线的方程为，
联立得．
设，，则，，
，即且．
所以
．
因为，且，
所以当时，取得最小值，且最小值为，
故的最小值为．
【解析】本题考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中的最值问题，
考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
由已知可得解得，即得椭圆的方程；
设直线的方程为，联立直线与椭圆，结合平面向量数量积
与韦达定理可得，结合二次函数性质求解最值．
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