资源简介

2022届高三数学二轮培优-数列的综合问题
已知正项数列的首项，前项和满足．
求数列的通项公式；
记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：对，，则称数列具有性质
若数列具有性质，求数列的前项和
对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式
若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立．
已知是公差不为的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列．
求和；
若，数列的前项和为，且对任意的恒成立，求实数的取值范围．
“绿水青山就是金山银山”，习近平主席十分重视生态环境保护某地有荒坡万亩，若从年初开始进行绿化造林，第一年绿化万亩，以后每一年比上一年多绿化万亩．
到哪一年可以使所有荒坡全部绿化成功？
若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为万立方米，每年树木木材量的自然生长率为，那么当整个荒坡全部绿化完成的那一年年底，共有木材多少万立方米？结果保留整数，
为了减少城市公交车的碳排放，优化城市环境，某市计划用若干年时间更换现有的辆燃油型公交车．每更换辆新车，则淘汰辆燃油型公交车更换的新车分别为电力型车、混合动力型车这两种车型．今年记为第年初投入了电力型公交车辆，混合动力型公交车辆，计划以后每年电力型车的投入量比上一年增加，混合动力型车每年比上一年多投入辆．设、分别为前年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量．
求、；
该市计划实现以下的更新目标：第年至少更新燃油型公交车总量的，第年至少更新燃油型公交车总量的，求的最小值．
已知正项数列满足，．
Ⅰ写出，并证明数列是等差数列；
Ⅱ设数列满足，，求证：．
某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款万元，第一年便可获利万元，以后每年比前一年增加的利润乙方案：每年贷款万元，第一年可获利万元，以后每年比前一年增加千元两种方案使用期都是年，到期一次性归还本息若银行两种形式的贷款都按年息的复利计算，试比较两种方案中，哪种纯获利更多取，，
已知等比数列的公比，且，是，的等差中项数列满足，数列的前项和为．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求数列的通项公式．
记为等差数列的前项和，已知．
若，求的通项公式；
若，求使得的的取值范围．
已知正项数列的首项，前项和满足．
求数列的通项公式；
记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】解：当时，，
，
即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
故，
又由，
当时，，不满足上式，
所以
，
当时，，
，
又因为，则由，
，
解得或．
即所求实数的取值范围是或．
【解析】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用．
由已知可得，，结合等差数列的通项公式可求，进而可求 ；
由，利用裂项求和可求，求出的范围进而可求的范围．
2.【答案】解：依题意，且，
所以数列的前和为．
由于数列具有性质和，其中为大于零的奇数，
令，，
则有，
所以，
综上，为常数列．
又因为具有性质，
所以，
所以．
证明：要证，
只需证，
即只需证，
令数列，由于数列其有性质，
则数列其有性质，
令，
设，，，的最小值为，
对，令，，，，
由于具有性质，所以，
所以，
所以成立．
【解析】根据条件，且，计算可得结果；
根据条件推得，可得为常数列，从而可得数列的通项公式；
利用分析法进行证明．
本题考查了数列与不等式的综合，属于难题．
3.【答案】解：设数列的公差为，由，，成等比数列，可得，
，化为：，又，解得．
．
．
由题意可得：，
数列的前项和为，
，．
令，
则，即，
数列单调递增．．
对任意的恒成立，．
实数的取值范围是．
【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力．
设数列的公差为，由，，成等比数列，可得，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出，．
由题意可得：，利用等比数列的求和公式、裂项求和方法即可得出数列的前项和为再利用数列的单调性即可得出．
4.【答案】解：设从年开始，各年绿化造林的万亩数依次构成数列，
由题意数列为等差数列，其中．
设第年可以使所有荒坡全部绿化成功，
，解得，
所以到年年底可以使所有荒坡全部绿化成功．
由得，
到年年底共年，设到年年底木材总量为万立方米，
则
记，
，
，得
，
，
，
故到年底，共有木材约万立方米．
【解析】本题考查等差数列和等比数列的实际应用，属于较难的题型．
由题意，各年绿化造林的万亩数依次构成数列，数列为等差数列，其中，即可求解．
由得，到年年底共年，设到年年底木材总量为万立方米，则，利用错位相减法即可求解．
5.【答案】解：设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，
依题意知，数列是首项为、公比为的等比数列；
数列是首项为、公差为的等差数列，
所以数列的前项和，
数列的前项和；
由知，经过年，该市更换的公交车总数，
因此是关于的单调递增函数，
所以应该满足，且，
即，解得，
又，所以的最小值为．
【解析】本题综合考查了数列在实际问题中的应用，等差数列和等比数列的求和公式，属于拔高题．
根据题意得出数列是首项为、公比为的等比数列；数列是首项为、公差为的等差数列，运用求和公式求解即可．
经过年，该市更换的公交车总数，
因此是关于的单调递增函数，所以应该满足且，，解得范围即可得出最小值．
6.【答案】解：．
因为，所以，即．
所以，
又，则恒成立，
所以，数列是以首项为，公差为的等差数列．
由可得．
因为，所以．
所以．
所以，，，，
将上面个式子累加得．
所以，则．
所以．
所以．
【解析】本题主要考查的是等差数列的判断，数列的放缩，累加法与累乘法，属于难题．
可变形为，利用累乘法即可得到通项公式，即可证明是等差数列；
由变形为，平方并化简得，利用累加法可求得，进而，通过求和即可证明．
7.【答案】解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
甲方案获利：
万元，
银行贷款本息和：万元，
故甲方案纯利：万元．
乙方案获利：
万元；
银行本息和：
万元
故乙方案纯利：万元．
综上可知，甲方案更好．
【解析】甲方案是等比数列，甲方案获利：万元，银行贷款本息和：万元乙方案是等差数列，乙方案获利：万元；银行本息和：万元由此能做出正确判断．
这是一道比较常见的数列应用问题，由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．
8.【答案】解：等比数列的公比，
且，是，的等差中项，
可得，
解得，
由，可得或舍去，
则的值为；
由及可得，
解得，故，
设，
可得时，，
时，可得，
上式对也成立，
则，
即有，
可得
，
，
相减可得
，
化简可得．
【解析】本题考查等比数列的通项公式、前项和公式及等差数列的性质、错位相减法的运用，考查运算能力．
运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质，解方程可得公比；
设，运用数列的递推式可得，再由数列的恒等式求得，运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．
9.【答案】解：根据题意，等差数列中，设其公差为，
若，则，
可得，即，
若，则，
则；
若，则，
当时，不等式成立，
当时，有，变形可得，
又由得，即，
则有，
又由，则有，
则有，
综合可得：且．
【解析】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，涉及数列与不等式的综合应用．
根据题意，等差数列中，设其公差为，由，即可得，可得，结合，计算可得的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；
若，则，分与两种情况讨论，求出的取值范围，综合即可得答案．
10.【答案】解：当时，，
，
即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
故，
又由，
当时，，不满足上式，
所以
，
当时，，
，
又因为，则由，
，
解得或．
即所求实数的取值范围是或．
【解析】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用．
由已知可得，，结合等差数列的通项公式可求，进而可求 ；
由，利用裂项求和可求，求出的范围进而可求的范围．
第2页，共2页
第1页，共1页

展开更多......

收起↑