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高考题立体几何
(2007年广东理科)
6．三棱锥D—ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角A—BC—D的大小为
A． 300 B． 450 C．600 D．900
11．一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，五个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 9π .
17．（本小题满分14分）
如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
答案 方法一：
（I）证明：连结OC


在中，由已知可得
而

即

平面
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，

是直角斜边AC上的中线，

异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设点E到平面ACD的距离为

在中，

而

点E到平面ACD的距离为
(2008年广东理科)
5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

8．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ B ）
A． B． C． D．
20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）证明：是直角三角形；
（3）当时，求的面积．
答案
（1）在中，
，
而PD垂直底面ABCD，
,
在中，,即为以为直角的直角三角形。
设点到面的距离为,
由有,
即 ，
;
(2),而,
即,，,是直角三角形；
（3）时,,
即,
的面积
(2009年广东理科)
5. 给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
【解析】选D.
15．（几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点， 且， 则圆的面积等于 ．
【解析】解法一：连结、，则，∵，，∴，则；解法二：，则.
18．（本小题满分14分）
如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点．设点分别是点，在平面内的正投影．
（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（2）证明：直线平面；
（3）求异面直线所成角的正弦值.
解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为
，
又面，，∴.
（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，
∴，，即，，
又，∴平面.
（3），，则，设异面直线所成角为，则.
(2010年广东理科)
6．如图1，为正三角形，，，
，则多面体的正视图（也称主视图）是
14．（几何证明选讲选做题）如图3，是半径为的
圆的两条弦，他们相交于AB的中点P，，
，则＝_________．
18．(本小题满分14分)
如图5，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，。
（1）证明：；
（2已知点为线段上的点，
，，求平面与平面所成二面角的正弦值。
（1）证明： 连结，因为是半径为的半圆，为直径，点为的中点，所以。
在中，。
在中，，为等腰三角形，且点是底边的中点，故。
在中，，所以为，且
。
因为，，且，所以平面，
而平面，。
因为，，且，所以平面，
而平面，。
（2）设平面与平面RQD的交线为.
由，，知.
而平面，∴平面，
而平面平面= ，
∴.
由（1）知，平面，∴平面，
而平面，∴，，
∴是平面与平面所成二面角的平面角．
在中，，
，．
在中，由知，，
由余弦定理得，
由正弦定理得，，即，
。
故平面与平面所成二面角的正弦值为。
(2011年广东理科)
７．如下图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为

Ａ． Ｂ． 　　Ｃ． 　　Ｄ．
15．如图，过圆外一点P分别作圆的切线和割线交圆于,且=7，是圆上一点使得=5，∠=∠, 则= 。（几何证明选讲选做题）
18．(本小题满分13分)在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点.
(1)证明：AD 平面DEF；
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值。
解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD，，
由题意知ΔABC是等边三角形，，
又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，
，
，
，
(2) 由（1）知为二面角的平面角，
在中，；在中，；
在中，.
(2012年广东理科)
6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A．12π B.45π C.57π D.81π
15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_____________。
18.（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。
证明：BD⊥平面PAC；
若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；
(2012年北京理科)
7.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）
A. 28+6
B. 30+6
C. 56+ 12
D. 60+12
16. （本小题共14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.
求证：A1C⊥平面BCDE；
若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？
说明理由
(2012年山东理科)
14、如果正方体的棱长为，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为 。
18、（本题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，平面，。
求证：平面；
求二面角的余弦值。
(2012年湖北理科)
4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为，故选B
19.（本小题满分12分）
如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小
(2012年全国理科)
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

【解析】选
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
此几何体的体积为
（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，，
是棱的中点，
（1）证明：
（2）求二面角的大小。
【解析】（1）在中，
得：
同理：
得：面
（2）面
取的中点，过点作于点，连接
，面面面
得：点与点重合
且是二面角的平面角
设，则，
既二面角的大小为
(2012年上海理科)
5、一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为
19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分
如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠＝，，，，求：
（1）三棱锥的体积
（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）


(2012年浙江理科)
10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项B是正确的．
【答案】B
【考点定位】考察空间图形的形状大小位置的变化规律，动手可以直观的感受到其中的奥妙。
11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三
棱锥的体积等于_____1______cm3．
【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角
形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于．
【答案】1
【考点定位】考察空间几何的三视图，及多面体体积的求法。
20．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。
(Ⅰ)如图连接BD．
∵M，N分别为PB，PD的中点，
∴在PBD中，MN∥BD．
又MN平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD；
(Ⅱ)在菱形ABCD中，得，
AC=AB=BC=CD=DA
由因为PA面ABCD，所以
,,
所以PB=PC=PD.所以。而M、N分别是PB、PD的中点，所以
MQ=NQ，且AM=
取线段MN的中点E，连结AE、EQ，则，
所以为二面角的平面角。
由AB=，，故在△AMN中，AM=AN=3，MN=BD=3，得
在Rt△PAC中，，得AQ=,QC=2，PQ=4
在△PBC中，，得
在等腰△MQN中，MQ=NQ=，MN=3，得
在△AEQ中，，，，得
∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ．
【考点定位】考察平行关系的证明与二面角的求解，掌握定理，正确理解空间位置是关键。
(2012年重庆理科)
（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（本小题满分12分（Ⅰ）小问4分（Ⅱ）小问8分）
如图，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点
（Ⅰ）求点C到平面 的距离;
（Ⅱ）若 求二面角 的平面角的余弦值。

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