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高考试题中函数概念问题的类型与解法
函数概念问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及到函数概念的问题。从题型上看是选择题，也可能是填空题）；难度系数为低，中档，但也有可能是高档。纵观各种考试试卷，归结起来函数概念问题主要包括：①函数解析式及运用；②函数图像及运用；③求函数值的问题；④求函数值域（或最值）的问题；⑤函数零点及运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数概念问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能够完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新增订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）（2020全国高考新课标II）
A 10名 B 18名 C 24名 D 32名
【解析】
【考点】①函数定义与性质；②求函数解析式的基本方法； ③已知函数值，求自变量的基本方法。
【解题思路】根据函数性质和求函数解析式的基本方法，求出订单量f(x)关于志愿者人数x的函数解析式，运用已知函数值，求自变量的基本方法，求出志愿者x的值就可得出选项。
【详细解答】设第二天需要的志愿者人数为x人，能够完成的订单配货数为f(x)单， f(x)
=50x，第二天需要完成的订单配货数为500+（1600-1200）=500+400=900（单）， f(x)
=50x=900，x= =18(人)，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者18人，B正确，选B。
2、基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）= 描述累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与.T近似满足=1+rT，有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍，需要的时间约为（ ）（ln20.69）（2020全国高考新高考I）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
【解析】
【考点】①函数定义与性质；②求函数解析式的基本方法； ③已知函数值，求自变量的基本方法。
【解题思路】根据函数性质和求函数解析式的基本方法，求出累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的函数解析式，运用已知函数值，求自变量的基本方法，求出累计感染病例数增加1倍，需要时间的近似值就可得出选项。
【详细解答】设新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数b人，指数增长率r与.T近似
满足=1+rT，当=3.28时，T=6，3.28=1+6r，r=0.38， I（t）= = ，
b= ，I（t+）= =.=b=2=2b，=2，0.38t
=ln20.69，t18(天)，B正确，选B。
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数解析式即运用的问题，解答这类问题需要理解函数解析式的定义，掌握求函数解析式的基本方法；
（2）函数解析式是指表示函数y与自变量x之间的关系的式子；
（3）求函数解析式的基本方法有：①待定系数法；②拼凑法；③换元法；④运用方程思想求解函数解析式；⑤直接代入法；⑥运用轴对称图形和中心对称图形的性质求函数解析式；⑦根据应用问题的类型与特征求函数解析式。
【典例2】解答下列问题：
1、函数f(x)=cosx.ln(-x)在［-1，1］的图像大致为（ ）（2020成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①余弦三角函数的定义与性质；②对数函数的定义与性质；③已知函数解析式确定函数图像的基本方法；④函数奇偶性的定义与性质；⑤判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合函数解析式得到函数f(x)是奇函数，可以排除C，D；求出f(-1)=co（-1）.ln(+1)= cos1.ln(+1)＞0，可以排除A，就可得出选项。
【详细解答】函数的定义域为R关于原点对称，f(-x)=cos（-x）.ln(+x)
=cosx.ln (-x)=- cosx.ln(-x)=- f(x), 函数f(x)是奇函数，排除C，D， f(-1)=cos（-1）.ln(+1)= cos1.ln(+1)＞0，排除A，B正确，选B。
2、函数y=在［-6，6］的图像大致为（ ）（2019全国高考新课标III）
【解析】
【考点】①奇函数的定义与性质；②已知函数解析式，判断函数是奇函数的基本方法；③函
数图像及运用；④已知函数解析式作函数图像的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质和已知函数解析式，判断函数是奇函数的基本方法，结合问题条件判断函数y是奇函数，从而可以排除C；当x (0，6］时，＞0，函数y的图像在X轴的上方，当x ［-6，0）时，＜0，函数y的图像在X轴的下方，可以排除D；当x=5时，求出函数y的值就可排除A，从而得出选项。
【详细解答】f(-x)= =- =-f(x)，函数y的定义域为R，函数y是R上的奇函数，可以排除C；当x (0，6］时，＞0，函数y的图像在X轴的上方，当x ［-6，0）时，＜0，函数y的图像在X轴的下方，可以排除D；当x=5时，y==＞＞7，可以排除A，B正确，选B。
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数图像及运用的问题，这类问题主要包括：①已知函数解析式，求作函数图像；②函数图像的平移变换；③函数图像的伸缩变换；④函数图像的对称变换；⑤函数图像的翻折变换；⑥函数图像的旋转变换；解答这类问题需要理解函数图像的定义，掌握函数图像的基本作法；⑦函数图像的识图和变图；⑧函数图像的运用问题；
（2）作函数图像的基本方法有：①直接作图法；②描点作图法；③图像变换法；
(3)函数图像的识图与辨图问题主要包括：①已知函数图像，确定函数解析式选；②已知函数解析式，确定函数的图像；
（4）已知函数图像，确定函数解析式的基本方法是：①从图像的左右，上下分布观察函数定义域域和函数的值域；② 从图像的变化趋势观察函数的单调性；③ 从图像的对称性观察函数的奇偶性；④从图像的循环往复观察函数的周期性；
（5）已知函数的解析式，确定函数图像的基本方法是：①从函数的定义域判断图像的左右位置，从函数的值域判断图像上下位置；②从函数的单调性，判断图像的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图像的对称性；④从函数的周期性，判断图像的循环往复；⑤从函数的极值点判断函数的最值点。
（6）函数图像的运用问题主要包括：①运用函数图像研究函数的性质；②运用函数图像求解不等式；③运用函数图像求函数的零点；
（7）解答函数图像运用问题的常用方法是：①定性分析法；②定量分析法；③函数模型法。
【典例3】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= |x-1|，x0，则f(f())=（ ）（2021成都市高三零诊）
A 0 lnx， x>0， B 1 C e-1 D 2
【解析】
【考点】①分段函数的定义与性质；②分段函数求值的基本方法。
【解答思路】根据分段函数的性质和求分段函数值的基本方法，结合问题条件求出f(f())的函数值就可得出选项。
【详细解答】 f()=ln=-1， f(-1)=|-1-1|=2， f(f()) =2，D正确，选D。
2、函数f(x)= -x，x＜1，若f(a)=2，则a的值为 。（2021成都市高三二诊）
【解析】 +1，x1,
【考点】①一元二次函数的定义与性质；②指数函数的定义与性质；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数和指数函数的性质，运用求函数值的基本方法求得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】①当a＜1时， f(a)= -a=2，a=-1或a=2， a=-1，②当a1时, f(a)= +1=2，a=0＜1，此时无解，综上所述，若f(a)=2，则a的值为-1。
3、已知函数f(x)= sin(x+)，x0，则f(-2)+ f(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）
+1， x>0，
A B C D
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②分段函数求值的基本方法；③正弦函数定义与性质；④三角函数诱导公式及运用；⑤指数函数定义与性质。
【解答思路】根据分段函数求值的基本方法，正弦函数的性质，三角函数诱导公式，指数的性质，结合问题条件分别求出f(-2)，f(1)的函数值，把两个函数值相加就可得出选项。
【详细解答】 f(-2)= sin(-2+)=sin=，f(1)= +1=3， f(-2)+f(1)=+3
=，C正确，选C。
4、已知函数f(x)= -3x，则“a>1”是“f(a)> f(1)”的（ ）（2020成都市高三三诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①函数值的定义及求法；②比较实数大小的基本方法；③求解不等式的基本方法；④判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据求函数值的基本方法分别求出f(a)，f(-1)的值，运用比较实数大小的基本方法得到关于a的不等式，求解不等式求出a的取值范围，利用判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法进行判断就可得出选项。
【详细解答】 f(a)= -3a，f(1)=1-31=1-3=-2， f(a)> f(1)， -3a>-2，
（a+2）>0，a>-2， 由a>1能推出f(a)> f(-1)，由f(a)> f(1)不能够推出a>1，“a>1”是“f(a)> f(1)”的充分不必要条件，A正确，选A。
『思考问题3』
（1）【典例3】是求函数值的问题，这类问题主要包括：①已知函数的解析式，求函数值；②分段函数求值；③抽象函数求值，解答这类问题需要理解函数值的定义，掌握求函数值的基本方法；
（2）已知函数的解析式，求函数值的基本方法是：①把给定的自变量x的值代入函数解析式；②通过运算求出结果；
（3）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出结果；
（4）抽象函数求值的基本方法是赋值法，其基本步骤是：①确定求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值；②确定求各个自变量函数值时需要赋的值；③求出所求自变量的函数值。
【典例4】解答下列问题：
1、下列函数最小值为4的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A y=+2x+4 B y=|sinx|+ C y=+ D y=lnx+
【解析】
【考点】①一元二次函数定义与性质；②基本不等式及运用；③指数函数定义与性质；④对数函数定义与性质；⑤求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据一元二次函数，指数函数，对数函数的性质和基本不等式，运用求函数最值的基本方法，分别求出各选项函数的最小值就可得出选项。
【详细解答】对A，函数y=+2x+4当且仅当x=- =-1时，=1+2 （-1）+4=3
4，排除A；对B，由|sinx|=，得|sinx|=2，而|sinx|1，等号不能成立，函数y=|sinx|+不存在最小值，排除B，对C，+=+2224，当且仅当=，即x=1时，等号成立，函数y=+最小值为4，C正确，选C。
2、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据分段函数和对数函数的性质；运用求函数最值的基本方法就可求出函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值。
【详细解答】①当x时，f(x)=|2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx，x，（x）=2-=，
令（x）=0得：x=1，x[，1）时，（x）<0，x[1，+ ）时，（x）0，
函数f(x)在[，1）上单调递减，在[1，+ ）上单调递增，= f(x)=21-1-2ln1=1；②当0f()=1-2-2ln=2ln2>2ln>2>1，综上所述，函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为1。
3、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④两条直线垂直的充分必要条件及运用；⑤两点之间距离公式及运用。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y的导函数，运用函数在某点导数的性质和求曲线在某点处切线方程的基本方法，分别求出曲线y= f(x)在点A，B处的切线方程，从而得到点M，N的坐标，运用两条直线垂直的充分必要条件和两点之间的距离公式得到关于的表示式，利用指数函数的性质就可求出的取值范围。
【详细解答】<0，>0， A（，1-），B（，-1），（）=-，（）=，曲线y= f(x)在点A，B处的切线方程分别为：y=-(x-+1)+1，y= (x-+1)
-1，M(0，-(-+1)+1)，N（0， (-+1)-1），直线AM垂直直线BN，-.
=-1，+=0，|AM|==-，|BN|=
==-，
==，<0，0<<1，即的取值范围是（0，1）。
『思考问题4』
（1）【典例4】求函数值域（或最值）的问题，解答这类问题需要理解函数值域（或最值）的定义，掌握求函数值域（或最值）的基本方法；
（2）求函数值域的常用方法有：①运用基本函数的值域求值域；②常数分离法；③配方法；④判别式法；⑤换元法；⑥运用重要不等式求函数的值域；⑦数形结合法；⑧运用函数的单调性求值域；⑨运用函数的导数求值域；
（3）求函数最值的基本方法是：①求出函数的值域；②确定函数的最值。
【典例5】解答下列问题：
1、若函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）（2021成都市高三一诊）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
【解析】
【考点】①函数零点的定义与性质；②确定函数零点的基本方法；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，得到f(x)= -3+a=0，-+3=a，设g(x)= -+3，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数g(x)的导函数，利用函数导函数确定函数极值的基本方法求出函数g(x)的极值，作出函数g(x)的大致图像，由函数图像求出函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点时，实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】 f(x)= -3+a=0，-+3=a，设g(x)= -+3，（x）=-3+6x=-3x(x-2)，令（x）=0解得：x=0或x=2，当x（-，0）（2，+）时，（x）＜0，当x（0，2）时，（x）＞0，函数g(x)在（-，0），（2，+）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
= g(0)=-0+0=0，= g(2)=-8+12=4，作出函数 y y=a
g(x)的大致图像如图所示，函数f(x)= -3+a有 g(x)= -+3
且仅有一个零点，直线y=a与函数g(x)的图像有且 0 1 2
仅有一个交点，由图知实数a的取值范围是（-，0）（4，+），A正确，选A。
2、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，若关于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A（- 2，0）（2，+）B（- 2，0）（0，2）C（- e，0）（e，+）D（- e，0）（0，e）
（文）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=x，若关于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）（2020成都市高三一诊）
A（- 1，0）（0，1）B（- 1，0）（1，+）C（- e，0）（0，e）D（- e，0）（e，+）
【解析】
【考点】①轴对称图形的定义与性质；②函数零点的定义与性质；③求函数函数零点的基本
方法；④函数图像及运用。
【解题思路】（理）根据轴对称图形的定义与性质，结合问题条件作出函数f(x)图像，由方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)=kx-2k+e-1，设g(x)=kx-2k+e-1，在同一直角坐标系中作出函数g(x)，依据条件可知方程有三个不相等的实数根，从而得到函数f(x)与函数g(x)应该有三个不同的交点，进一步可以得到实数k的取值范围。（文）根据轴对称图形的定义与性质，结合问题条件作出函数f(x)图像，由方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)=kx-2k+e-1，设g(x)=kx-2k+e-1，在同一直角坐标系中作出函数g(x)，依据条件可知方程有三个不相等的实数根，从而得到函数f(x)与函数g(x)应该有三个不同的交点，进一步可以得到实数k的取值范围。
【详细解答】（理）定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)， 当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，函数f(x)的图像关直线x= =2对称，作出函数f(x)的图像如图(1)所示，方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)+1=kx-2k+e，设g(x)= f(x)+1, h(x)=kx-2k+e，
在同一直角坐标系中作出函数g(x)，函数 h(x)的图像 y f(x)
如图（2）所示，方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三个不
相等的实数根，函数g(x)与函数h(x) 有三个不同的
交点，令h(x)=0，得x=2-，令x=0，得h(x)=-2k
+e, 函数h(x)的图像与X，Y轴的交点分别为（2-， 0 1 2 3 x
0），（0，-2k+e）,①当k>0时，如图函数g(x)与函 (图1)
数h(x)有三个不同的交点，2- <1，k②当k<0时，如图函数f(x)与函数g(x)有三个不同的交点，
2- >3， k>-e，-e-kx+2k-e+1=0有三个不相等的实数根时，实数k的取值范围是 0 1 2 3 x
（- e，0） （0，e），D正确，选D。 （图2）
（文）定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)， y
当x 2时，函数f(x)=x，函数f(x)的图像关直线x= f(x)
=2对称，作出函数f(x)的图像如图(1)所示，
设g(x)=k(x-2)+2，在同一直角坐标系中作出函数f(x)，
函数g(x)的图像如图（2）所示，方程f(x)=k(x-2)+2 0 1 2 3 4 x
有三个不相等的实数根，函数f(x)与函数g(x)的图像 (图1)
有三个不同的交点，令g(x)=0，得x=2- ，令x=0，得 y
g(x)=-2k+2，函数g(x)的图像与X，Y轴的交点分别为（2- g(x) h(x)
，0），（0，-2k+2）,①当k>0时，如图函数f(x)与函 h(x)
数g(x)的图像有三个不同的交点，2- <0，k<1， 0 1 2 3 4
0的交点，2- >4， k>-1，-1『思考问题5』
（1）【典例5】是与函数零点及运用的问题，解答这类问题需要理解函数零点的定义，同时注意方程的解，函数图像与X轴的交点，函数零点之间的关系；
（2）方程的解，函数图像与X轴的交点，函数零点之间的关系是：方程f(x)=0有解函数y=f(x)的图像与X轴有交点函数y=f(x)有零点；
（3）判断函数是否有零点（或零点个数）的基本方法是：①解方程法：令f(x)=0，如果方程有解，则方程有几个解函数y=f(x)就有几个零点；②运用函数零点存在定理，具体运用定理时应该注意：1＞函数y=f(x)在区间〔a,b〕上的图像是连续的曲线，2＞f(a).f(b)<0，3＞结合函数的图像和性质得出结果；③数形结合法：把问题转化为函数图像与X轴的交点问题（或两个函数图像的交点的问题）。

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