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高考试题中函数性质问题的类型与解法
函数性质问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及到函数性质的问题。从题型上看是选择题，也可能是填空题）；难度系数为低，中档，但也有可能是高档。纵观各种考试试卷，归结起来函数性质问题主要包括：①函数单调性及运用；②函数奇偶性，周期性及运用；③函数单调性，奇偶性和周期性的综合运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数性质问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、下列函数中是增函数的为（ ）（2021全国高考甲卷）
A f(x)=-x B f(x)= C f(x)= D f(x)=
【解析】
【考点】①正比例函数的定义与性质；②指数函数的定义与性质；③一元二次函数的定义与性质；④幂函数的定义与性质。
【解题思路】根据正比例函数，指数函数，一元二次函数和幂函数的性质结合问题条件分别对各选项的单调性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，-1<0， f(x)=-x是减函数，即A错误；对B，0< <1， f(x)= 是减函数，即B错误；对C，当x （- ，0）时，函数 f(x)= 是减函数，C错误；对D，>0，函数 f(x)= 是R上的增函数，D正确，选D。
2、（理）设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，则f(x)（ ）
A 是偶函数，且在（，+）上单调递增 B 是奇函数，且在（-，）上单调递减C 是偶函数，且在（-，-）上单调递增 D 是奇函数，且在（-，-）上单调递减
（文）设函数f(x)= - ，则f(x)（ ）（2020全国高考新课标II）
A 是奇函数，且在（0，+）上单调递增 B 是奇函数，且在（0，+）上单调递减
C 是偶函数，且在（0，+）上单调递增 D 是偶函数，且在（0，+）上单调递减
【解析】
【考点】①函数单调性定义与性质；②函数奇偶性定义与性质；③判断函数单调性的基本方法；④判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数奇偶性的性质和判断函数奇偶性的基本方法，得到函数f(x)是奇函数，可以排除A，C；运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法，分别判断函数f(x)在（-，）上，在（-，-）上单调性就可得出选项。（文）根据函数奇偶性的性质和判断函数奇偶性的基本方法，得到函数f(x)是奇函数，可以排除C，D；运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法，判断函数f(x)在（0，+）上单调性就可得出选项。
【详细解答】（理）函数f(x)的定义域为（-，-）（-，）（，+）关于
原点对称，f(-x)= ln|-2x+1|-ln|-2x-1|= ln|2x-1|-ln|2x+1|=-（ln|2x+1|-ln|2x-1|）=- f(x)，函数 f(x)是奇函数，可以排除A，C；当x（-，）时，f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|= f(x)=ln（2x+1）-ln（1-2x）=ln =ln(-1-)单调递增，当x（-，）时，f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|= f(x)=ln（-2x-1）-ln（1-2x）=ln=ln(1+)单调递减，D正确，选D。（文）函数f(x)的定义域为（-，0）（0，+）关于原点对称，f(-x)= - = -+
=-（- ）=- f(x)，函数 f(x)是奇函数，可以排除C，D；当x（0，+）时，f(x)= - 单调递增，A正确，选A。
3、若定义在R上的奇函数f(x)在（-，0）上单调递减，且f(2)=0，则满足x f(x-1) 0的取值范围是（ ）（2020全国高考新高考I）
A [-1,1] [3，+） B [-3,-1] [0，1] C[-1,0] [1，+） D [-1,0] [1，3]
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数单调性定义与性质；③求解不等式组的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的性质，结合问题条件得到关于x的不等式组，运用求解不等式组的基本方法，求解不等式组求出满足x f(x-1) 0的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)是定义在R上的奇函数，在（-，0）上单调递减，且f(2)=0，满足x f(x-1) 0，①当x=0时，0. f(x-1)=0恒成立， x f(x-1) 0成立；②当x>0时， x f(x-1) 0， x-1-2或0 x-12，x -1或1 x3，1 x3；③当x<0时， x f(x-1) 0，-2 x-10或 x-12，-1x 1或 x3，-1 x0，综上所述，满足x f(x-1) 0的取值范围是[-1,0] [1，3]，D正确，选D。
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数单调性及运用的问题，解答这类问题需要理解增函数，减函数，函数单调性的定义，掌握增函数，减函数，函数单调性的性质和判断（或证明）函数单调性的基本方法，判断（或证明）函数单调性的基本方法有：①定义法；②图像法；
（2）图像法的基本方法是：①作出函数的图像；②确定判断（或证明）的区间；③在函数的图像上找到相应的区间；④根据函数图像得出结果；
（3）定义法的基本方法是：①求出函数的定义域；②确定判断（或证明）的区间；③在相应的区间上任取，，且＜； ④比较函数值f()，f()的大小；⑤根据④得出结果。
（4）比较函数值f()，f()的大小的基本方法是：①求差法；②求商法；
（5）求差法的基本方法是：①求出函数值f()-f()的差；②把①中的差与数0作比较；③根据②得出结果；
（6）求商法的基本方法是：①求出函数值的商；②把①中的商与数1作比较；③根据②得出结果；
（7）对含参数的函数，在判断（或证明）函数的单调性时，应注意对参数的可能情况先进行分别考虑，然后再综合得出结论。
【典例2】解答下列问题：
1、设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A f(x-1)-1 B f(x-1)+1 C f(x+1)-1 D f(x+1)+1
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，对各选项的函数奇偶性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数g(x)= f(x-1)-1= -1 =的定义域为（- ，0）（0，+）关于原点对称，g(-x)= =- -- g(x)，函数g(x)= f(x-1)-1不是奇函数，A错误；对B，函数g(x)= f(x-1)+1=+1=的定义域为（- ，
0）（0，+）关于原点对称，g(-x)= =-=- g(x)，函数g(x)= f(x-1)+1是奇函数，B
正确，选B。
2、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数，偶函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】函数f(x)= （a. - ）是偶函数，函数y=是R上的奇函数，函数y= a. - 是R上奇函数， a. -=-（a. - ）=（a-1）+(a-1) =（a-1）（+）=0，+>0，a-1=0，即a=1。
3、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②奇函数定义与性质。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用奇函数的性质，结合问题条件，就可求出函数f(x)。
【详细解答】设函数f(x)= ，f()==.，f(). f()=.， f()= f(). f()满足①；（x）=2x，当x,（0，+）时，（x）>0满足②；函数（x）=2x的定义域为R关于原点对称，（-x）=2（-x）=-2x=-（x），函数（x）是奇函数满足③，同时具有下列性质①②③的函数f(x)= 。
4、函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2-17，则f(f())= （2021成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①奇函数的定义与性质；②求函数值的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质，结合问题条件求出当x＜0时，函数f(x)的解析式，运用求函数值的基本方法就可求出f(f())的值。
【详细解答】 设x（-，0），则-x（0，+），函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2-17， f(x)=- f(-x)=-（2-17）=-2+17， f()=27-17=-3， f(f())=f(-3)=-29+17=-1。
5、关于函数f(x)=sinx+ 有如下四个命题：①f(x)的图像关于y轴对称；②f(x)的图像关
于原点对称；③f(x)的图像关于直线x=对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是
（2020全国高考新课标III）
【解析】
【考点】①正弦三角函数的图像与性质；②函数奇偶性的定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性的性质和判断函数奇偶性的基本方法判断函数f(x)是奇函数，从而得到①错误，②正确，③正确；设t= sinx，t［-1，1］，由f(t) =t+知函数f(t)无最值，从而得到④错误就可得出结果。
【详细解答】 函数f(x)=sinx+ 的定义域为{x|x k, kZ}, f(-x)=-sinx-
= -sinx-=- f(x), 函数f(x)是奇函数，①错误，②正确，③正确；设t= sinx，t［-1，1］，由f(t)=t+ 知函数f(t)无最值，④错误,即：其中所有真命题的序号是②③。
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数奇偶性，周期性及运用的问题，解答这类问题需要理解奇函数，偶函数，函数周期的定义，掌握判断（或证明）函数奇偶性，周期性的基本方法；
(2)判断（或证明）函数奇偶性，周期性的基本方法是：①图像法；②定义法；
（3）在具体判断（或证明）函数的奇偶性，周期性时，如果已知函数的解析式，一般应该采用定义法；如果已知函数的图像（或函数的图像容易作出）应该采用图像法；
（4）分段函数判断（或证明）奇偶性时，在验证f(-x)与f(x)时，需要分段分别进行验证。
（5）用定义法判断（或证明）函数周期性的基本方法是：①确定一个常数T；②验证f(x+T)
与f(x)的值是否相等；③得出结果；
（6）周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
【典例3】解答下列问题：
1、（理）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x [1，2]时，f(x)=a+b，若f(0)+ f(3)=6，则f()=（ ）
A - B - C D
（文）设f(x)的定义域在R上的奇函数，且f(x+1)= f(-x)，若f(-)=，则f()=（ ）（2021全国高考甲卷）
A - B - C D
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③周期函数定义与性质；④求函数值的基本方法。
【解答思路】（理）根据奇函数和偶函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，运用周期函数性质得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值得到当x [1，2]时，函数f(x)的解析式，利用求函数值的基本方法求出f()的值就可得出选项。（文）根据奇函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以2为周期的周期函数，运用周期函数的性质和求函数值的基本方法求出f()的值就可得出选项。
【详细解答】（理） f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，f(x+1)=- f(-x+1)，f(x+2)= f(-x+2)， f(x+4)=- f(x+2)，函数f(x)是以4为周期的周期函数，当x [1，2]时，f(x)=a +b， f(1)=a+b=0①，f(0)=- f(2)=-（4a+b）=-4a-b，f(3)= -f(1)=0，f(0)+ f(3)=6， f(0)+ f(3)= f(0)=- 4a-b =6②，联立①②解得：a=-2，b=2，当x [1，2]时，f(x)=-2+2， f()=f(4+)= f()=-f()=-（-2+2）=， f()=，D正确，选D。（文） f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+1)= f(-x)，f(x)=- f(x+1)， f(x)= f(x+2)， 函数f(x)是以2为周期的周期函数， f(-)=， f()=f(2-) = f(-) =，C正确，选C。
2、已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则（ ）（2021全国高考新高考II）
A f(-)=0 B f(-1)=0 C f(2)=0 D f(4)=0
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③周期函数定义与性质；④求函数值的基本方法。
【解答思路】根据奇函数和偶函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，运用奇函数和周期函数的性质得到f(-1)=0就可得出选项。
【详细解答】函数y= f(x+2)为偶函数，函数y=f(2x+1)为奇函数， f(-x+2)= f(x+2)，f(-2x+1)
=- f(2x+1)， f(x+3)= f(1-x)，f(1-x)=- f(x+1)，f(x+3)= - f(x+1)， f(x)= f(x+4)，函数
f(x)是以4为周期的周期函数，g(x)= f(2x+1)为R上的奇函数， g(0)= f(0+1)= f(1)=0， f(0+3)=- f(0+1)， f(3)=- f(1)=0， f(3)= f(4-1)= f(-1)， f(-1)= f(3)= - f(1)=0，B正确，选B。
3、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()0.03)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）
（文）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(
0.3),b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（20
21成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①函数图像及运用；②函数单调性定义与性质；③偶函数定义与性质；④对数的定义与性质；⑤指数的定义与性质；⑥比较实数大小的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数图像和函数单调性的性质，结合问题条件得到函数f(x)的图像关于直线x=1对称，从而得到函数f(x) [1，+）上单调递减，运用对数和指数的性质，确定ln2，0.03，的大小，就可求出a，b，c的大小关系。（文）根据偶函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到函数f(x)的图像关于Y轴对称，由函数f(x) [0，+）上单调递减，运用对数和指数的性质，确定0.3，0.1，的大小，就可求出a，b，c的大小关系。
【详细解答】（理）定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()=<-2，<<2， b=f(0.1)< c=f()『思考问题3』
（1）【典例3】是函数性质综合运用的问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，奇偶性和周期性，并能灵活运用函数的单调性，奇偶性和周期性解答相关问题；
（2）对于具体问题首先应该弄清楚它与函数单调性，奇偶性和周期性的哪些性质相关，然后结合函数的相应性质进行解答；
（3）解答函数性质综合问题的关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，注意两个常用结论：①f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)；②若奇函数在x=0处与意义，则有f(0)=0。

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