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高考试题中指数与指数函数和对数与对数函数问题的类型及解法
指数与指数函数和对数与对数函数问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必有指数与指数函数和对数与对数函数的问题。从题型上看是选择题或填空题，难度系数为中，低档（或高档）。纵观近几年高考试卷，归结起来指数与指数函数和对数与对数函数问题主要包括：①指数，对数的运算；②指数函数，对数函数概念及运用；③指数函数，对数函数图像及运用；④指数函数，对数函数性质及运用；⑤指数函数，对数函数的综合问题等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答指数与指数函数和对数与对数函数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知a=2，b=3，c=，则下列判断正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A c【解析】
【考点】①对数定义与性质；②求对数值的基本方法；③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质和求对数值的基本方法，分别求出a，b的近似值，运用实数比较大小的基本方法，得到a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 1<2<，0< a=2<，3>， b=3> =， c=， a2、（理）已知函数f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知函数f(x)=- +2|x|+3，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）(2021成都市高三零诊)
A b>a>c B b>c>a C a>b>c D a>c>b
【解析】
【考点】①函数求值的基本方法；②对数定义与性质；③实数大小比较的基本方法。
【解答思路】（理）根据函数求值的基本方法和对数的性质，结合问题条件分别求出a，b，c的值，运用实数大小比较的基本方法得出a，b，c的大小关系就可得出选项。（文）根据函数求值的基本方法和对数的性质，结合问题条件分别求出a，b，c的值，运用实数大小比较的基本方法得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】（理） a= f(ln2)= <0，b= f(-ln3)= >0，a0，，c>a，可以排除B，A正确，选A。（文）b- a= f(-ln3)- f(ln2)= -(-ln3) +2ln3+3 +( ln2) -2ln2-3=（ ln2+ ln3）（ln2- ln3）-2（ln2- ln3）=（ln2- ln3）（ ln2+ ln3-2）>0， b>a，可以排除C，D，a- c= f(ln2)- f(e)= -( ln2) +2ln2+3 +-2e-3=（e+ ln2）(e- ln2)-2(e- ln2)= (e- ln2) （e+ ln2-2）>0，，a>c，可以排除B，A正确，选A。
3、设a=，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）(2021成都市高三一诊)
A a＞b＞c B a＞c＞b C c＞a＞b D c＞b＞a
【解析】
【考点】①对数的定义与性质；②指数的定义与性质；③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用实数比较大小的基本方法，得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a==2021＞，0＜b=ln=ln2＜，a＞b，可以排除D；c=＞1，c＞b，可以排除A；2021＜2020， a==2021＜2020＜2＜1，可以排除B，C正确，选C。
4、计算+ - 3的值为 （2021成都市高三三诊）
【解析】
【考点】①指数的定义与性质；②对数的定义与性质。
【解题思路】根据指数和对数的性质，结合问题条件通过运算可求出+ - 3的值。
【详细解答】==，- 3=-==1，
+- 3=+1=。
5、（理）已知<，<，设a=3，b=5，c=8，则（ ）
A a（文）设a=2，b=3，C=，则（ ）（2020全国高考新课标III）
A a【解析】
【考点】①指数的定义与性质；②对数的定义与性质；③对数换底公式及运用；④实数比较大小的基本方法；⑤基本不等式及运用。
【解题思路】（理）根据指数和对数的性质，运用对数换底公式和比较实数大小的基本方法，结合问题条件对a，b，c的大小进行比较就可得出选项。（文）根据对数的性质，运用对数换底公式和比较实数大小的基本方法，结合问题条件对a，b，c的大小进行比较就可得出选项。
【详细解答】（理）===<=<
==1，a=，=，<<，即b25=，c6、已知a=，b=，c=ln ，则（ ）（2020成都市高三一诊）
A a>b>c B a>c>b C b>a>c D b>c>a
【解析】
【考点】①指数的定义与性质；②对数的定义与性质；③实数大小比较的基本方法。
【解题思路】运用指数，对数的定义与性质，结合实数大小比较的基本方法就可得出结果。
【详细解答】a==<1.42，b==>1.42，c=ln 『思考问题1』
（1）【典例1】是指数和对数运算的问题，解答时需要理解指数和对数的定义，掌握指数和对数的运算法则和基本方法，同时注意分数指数幂与n次根式之间的关系；
（2）求解根式的运算（或化简）问题的基本方法是：①把根式化为分数指数幂；②运用指数的运算法则和基本方法进行运算；③将运算结果进行化简；
（3）运用对数的基本运算性质解答问题时应该注意：①对数运算性质成立的条件；②灵活运用公式，作为一个公式既要能够从左边用到右边，也要能够从右边用到左边；
（4）对数的换底公式主要用来解决底数不同的对数运算问题，对数的恒等式通常用于指数和对数的混合式子的运算；
（5）在解答实际问题，到底是从左边用到右边还是从右边用到左边，必须依据问题给定的条件和需要解决的问题结合起来综合考虑。
【典例2】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数，偶函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】函数f(x)= （a. - ）是偶函数，函数y=是R上的奇函数，函数y= a. - 是R上奇函数， a. -=-（a. - ）=（a-1）+(a-1) =（a-1）（+）=0，+>0，a-1=0，即a=1。
2、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量p（mg/L）与时间t(h)之间的关系为p=,如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（ ）（参考数据：ln20.69,ln31.10,ln51.61）（2021成都市高三二诊）
A 4h B 6h C 8h D 10h
【解析】
【考点】①指数定义与性质；②对数定义与性质；③函数解析式定义与性质；④已知函数解析式与函数值，确定自变量值的基本方法。
【解题思路】根据指数和对数的性质，结合问题条件求出函数p关于时间t的解析式，运用函数解析式和函数值，确定自变量值的基本方法确定出污染物减少50%大约需要的时间就可得出选项。
【详细解答】前2小时消除了20%的污染物，80%=，-2k=3ln2-ln5-ln2=2ln2-ln5
=-0.23, k=0.115, p=,50%=,-0.115t=-ln2=-0.69，即t=
=6(h)，B正确，选B。
3、已知函数f(x)= -2，x1，且f(a)=-3，则f(6-a)=（ ）（2020全国高考新课标I）
A - -（x+1），x>1， B - C - D -
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③分段函数定义与性质；④求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据指数函数，对数函数和分段函数的性质，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值，运用分段函数求证的基本方法求出f(6-a)的值就可得出选项。
【详细解答】当 x1时，0<1，-2< f(x)=-2-1， f(a)=-3， f(a)= -（a+1）
=-3，（a+1）=3， a+1=8，a=7， f(6-a)= f(6-7)= f(-1)= -2=-2=-，A正确，选A。
4、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型，I（t）= ，其中k为最大确诊病例数，当I（）=0.95k时，标志已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln193）（2020全国高考新课标III）
A 60 B 63 C 66 D 69
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③已知函数值求自变量值的基本方法。
【解题思路】根据已知函数值求自变量值的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，运用指数函数和对数函数的性质求出的值就可得出选项。
【详细解答】 I（）= =0.95k， 0.95（1+）=1，
=，+5366，C正确，选C。
5、基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）= 描述累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与.T近似满足=1+rT，有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍，需要的时间约为（ ）（ln20.69）（2020全国高考新高考I）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
【解析】
【考点】①函数定义与性质；②求函数解析式的基本方法； ③已知函数值，求自变量的基本方法。
【解题思路】根据函数性质和求函数解析式的基本方法，求出累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的函数解析式，运用已知函数值，求自变量的基本方法，求出累计感染病例数增加1倍，需要时间的近似值就可得出选项。
【详细解答】设新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数b人，指数增长率r与.T近似
满足=1+rT，当=3.28时，T=6，3.28=1+6r，r=0.38， I（t）= = ，
b= ，I（t+）= =.=b=2=2b，=2，0.38t
=ln20.69，t18(天)，B正确，选B。
6、已知函数f(x)= -，则f(3)=（ ）（2020成都市高三三诊）
A 2 B C 3 D
【解析】
【考点】①函数值的定义与性质；②已知函数解析式，求函数值的基本方法；③指数函数的定义与性质；④对数的定义与性质。
【解题思路】根据指数函数，对数的性质和已知函数解析式，求函数值的基本方法求出f(3)的值就可得出选项。
【详细解答】 f(x)= -， f(3)= - =3- =，B正确，选B。
『思考问题2』
（1）【典例2】是指数函数和对数函数概念运用的问题，解答这类问题需要理解指数函数和对数函数的定义，注意指数函数和对数函数的结构特征；
（2）指数函数的结构特征是：①解析式是y=；②底数a是常数，满足a＞0,且a≠1；③指数是自变量x；
（3）理解的是函数的定义时，需要注意对数函数的结构特征，对数函数的结构特征是：①解析式是y=x；②底数a是常数，满足a＞0,且a≠1；③真数是自变量x。
【典例3】解答下列问题：
1、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，若关于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A（- 2，0） （2，+）B（- 2，0） （0，2）C（- e，0） （e，+）D（- e，0） （0，e）
（文）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=x，若关于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）（2020成都市高三一诊）
A（- 1，0）（0，1）B（- 1，0）（1，+）C（- e，0）（0，e）D（- e，0）（e，+）
【解析】
【考点】①轴对称图形的定义与性质；②函数零点的定义与性质；③求函数函数零点的基本方法；④函数图像及运用。
【解题思路】（理）根据轴对称图形的定义与性质，结合问题条件作出函数f(x)图像，由方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)=kx-2k+e-1，设g(x)=kx-2k+e-1，在同一直角坐标系中作出函数g(x)，依据条件可知方程有三个不相等的实数根，从而得到函数f(x)与函数g(x)应该有三个不同的交点，进一步可以得到实数k的取值范围。（文）根据轴对称图形的定义与性质，结合问题条件作出函数f(x)图像，由方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)=kx-2k+e-1，设g(x)=kx-2k+e-1，在同一直角坐标系中作出函数g(x)，依据条件可知方程有三个不相等的实数根，从而得到函数f(x)与函数g(x)应该有三个不同的交点，进一步可以得到实数k的取值范围。
【详细解答】（理）定义在R上的函数f(x)满足f(2-x) y
= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，函数f(x) f(x)
的图像关直线x= =2对称，作出函数f(x)的图像如图
(1)所示，方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)+1=kx-2k+e，
设g(x)= f(x)+1, h(x)=kx-2k+e，在同一直角坐标系中作出函 0 1 2 3
数g(x)，函数 h(x)的图像如图（2）所示，方程f(x) -kx -1 (图1)
+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，函数g(x)与函数h(x)
有三个不同的交点，令h(x)=0，得x=2- ，令x=0，得 y
h(x)=-2k+e,函数h(x)的图像与X，Y轴的交点分别为（2- g(x) h(x)
，0），（0，-2k+e）,①当k>0时，如图函数g(x)与函 h(x)
数h(x)有三个不同的交点，2- <1，k②当k<0时，如图函数f(x)与函数g(x)有三个不同的交点， -1
2- >3， k>-e，-e+2k-e+1=0有三个不相等的实数根时，实数k的取值范围是（- e，0） （0，e），D正确，选D。 y
（文）定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，
当x 2时，函数f(x)=x，函数f(x)的图像关直线x= f(x)
=2对称，作出函数f(x)的图像如图(1)所示，
设g(x)=k(x-2)+2，在同一直角坐标系中作出函数f(x)， 0 1 2 3 4 x
函数g(x)的图像如图（2）所示，方程f(x)=k(x-2)+2 (图1)
有三个不相等的实数根，函数f(x)与函数g(x)的图像
有三个不同的交点，令g(x)=0，得x=2- ，令x=0，得 y
g(x)=-2k+2，函数g(x)的图像与X，Y轴的交点分别为（2- g(x) h(x)
，0），（0，-2k+2）,①当k>0时，如图函数f(x)与函 h(x)
数g(x)的图像有三个不同的交点，2- <0，k<1， 0 1 2 3 4
0的交点，2- >4， k>-1，-1程f(x) =k(x-2) +2有三个不相等的实数根时，实数k的取值范围是（- 1，0） （0，1），A正确，选A。
2、函数f(x)=cosx.ln(-x)在［-1，1］的图像大致为（ ）（2020成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①余弦三角函数的定义与性质；②对数函数的定义与性质；③已知函数解析式确定函数图像的基本方法；④函数奇偶性的定义与性质；⑤判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合函数解析式得到函数f(x)是奇函数，可以排除C，D；求出f(-1)=co（-1）.ln(+1)= cos1.ln(+1)＞0，可以排除A，就可得出选项。
【详细解答】函数的定义域为R关于原点对称，f(-x)=cos（-x）.ln(+x)
=cosx.ln (-x)=- cosx.ln(-x)=- f(x), 函数f(x)是奇函数，排除C，D， f(-1)=cos（-1）.ln(+1)= cos1.ln(+1)＞0，排除A，B正确，选B。
『思考问题3』
（1）【典例3】是指数函数和对数函数图像运用的问题，解答这类问题需要掌握指数函数和对数函数的图像，注意指数函数和对数函数的底数取值对图像的影响；
（2）比较两个指数幂大小时，应尽量化为同底数（或同指数），①底数相同，可运用指数函数的单调性解答问题；②指数相同，可转化为底数相同（或借助函数图像）解答问题；③底数不同，指数也不同，解答问题时需要借助一个中间量；
（3）指数函数的底数a＞0,且a≠1是一个隐含条件，指数函数的单调性与底数相关，实际解答问题时，应该根据问题的条件确定底数的取值范围（不能确定时，应分两种不同情况分别考虑），然后依据指数函数的图像和性质得到问题的结果；
（4）对数函数与指数函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称；解答相关问题时注意分辨底数a的取值，确定问题涉及对数函数图像两种基本类型的哪一种，再根据相关基本类型的特征去解答问题；
（5）已知函数的解析式判断其图像的基本方法是：①取函数的特殊点（一般是三个关键点中的某一点）；②看函数的图像是否经过所取的点；③得出结果。
【典例4】解答下列问题：
1、设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A a【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用实数比较大小的基本方法，得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a=2ln1.01=ln =ln1.0201> b=ln1.02，a>b，可以排除A，D；设f(x)
=2ln(1+x)- +1，x(0，1)，令t=，t(1，)，x=，2ln(1+x)- +1，2ln-t+1，g(t)= 2ln-t+1，(t)= -1=
=->0在(1，)上恒成立，函数g(t) 在(1，)上单调递增，当t(1，)时，g(t)> g(1)= 2ln-1+1=0， a>c；设g(x)=ln(1+2x)- +1，x(0，1)，令t=，t(1，)，x=， ln(1+2x)- +1， ln -t+1，u(t)= ln -t+1，
(t)= -1==-<0在(1，)上恒成立，函数u(t) 在(1，)上单调递减，，当t(1，)时，u(t)< u(1)= ln-1+1=0， c>b，综上所述， bB正确，选B。
2、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据分段函数和对数函数的性质；运用求函数最值的基本方法就可求出函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值。
【详细解答】①当x时，f(x)=|2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx，x，（x）=2-=，
令（x）=0得：x=1，x[，1）时，（x）<0，x[1，+ ）时，（x）0，
函数f(x)在[，1）上单调递减，在[1，+ ）上单调递增，= f(x)=21-1-2ln1=1；②当0f()=1-2-2ln=2ln2>2ln>2>1，综上所述，函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为1。
3、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④两条直线垂直的充分必要条件及运用；⑤两点之间距离公式及运用。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y的导函数，运用函数在某点导数的性质和求曲线在某点处切线方程的基本方法，分别求出曲线y= f(x)在点A，B处的切线方程，从而得到点M，N的坐标，运用两条直线垂直的充分必要条件和两点之间的距离公式得到关于的表示式，利用指数函数的性质就可求出的取值范围。
【详细解答】<0，>0， A（，1-），B（，-1），（）=-，（）=，曲线y= f(x)在点A，B处的切线方程分别为：y=-(x-+1)+1，y= (x-+1)
-1，M(0，-(-+1)+1)，N（0， (-+1)-1），直线AM垂直直线BN，-.
=-1，+=0，|AM|==-，|BN|=
==-，
==，<0，0<<1，即的取值范围是（0，1）。
4、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()0.03)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）
（文）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(0.3),
b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（2021成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①函数图像及运用；②函数单调性的定义与性质；③对数的定义与性质；④指数的定义与性质；⑤比较实数大小的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数图像和函数单调性的性质，结合问题条件得到函数f(x)的图像关于直线x=1对称，[1，+）上单调递减，运用对数和指数的性质，确定ln2，0.03，
的大小，就可得出且在求出a，b，c的大小关系。（文）根据偶函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到函数f(x)的图像关于Y轴对称，[0，+）上单调递减，运用对数和指数的性质，确定0.3，0.1，的大小，就可求出a，b，c的大小关系。
【详细解答】（理）定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()=<-2，<<2， b=f(0.1)< c=f()5、（理）若+a=+2b，则（ ）
A a>2b B a<2b C a> D a<
（文）设函数y=f(x)的图像与y=的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+ f(-4)=1，则a=（）
（2020全国高考新课标I）
A -1 B 1 C 2 D 4
【解析】
【考点】①指数定义与性质；②对数数定义与性质；③指数函数定义与性质；④对数函数定义与性质；⑤轴对称图形定义与性质；⑥求函数解析式的基本方法。
【解答思路】（理）根据指数函数和对数函数的性质，得到函数f(x)= +x在R上单
调递增，运用指数和对数的性质，得到f(2b)= +(2b)> f(a)= +a，从而得到a<2b 就可得出选项。（文）根据轴对称图形的性质和求函数解析式的基本方法，求出函数y=f(x)的解析式，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】（理）设函数f(x)= +x，函数f(x) 在R上单调递增，f(2b)=
+(2b)= +1+b>+b=+2b=+a= f(a)， a<2b，B正确，选B。（文）设P（x,y）是函数y=f(x)图像上的任意一点，它关于直线y=-x的对称点为（，），点P与点关于直线y=-x对称，+y=-（+x）①，.（-1）=-1②，联立①②得：=-y，=-x，（-y，-x），点（-y，-x）在函数y=的图像的图像上，
-x=，y= f(x)= -（-x）-a， f(-2)+ f(-4)=- 2-a-4-a=-3-2a=1，
a=1, B正确，选B。
6、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，则的最大值为（ ）
A B e C D
（文）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，则的最小值为（ ）（2020成都市高三二诊）
A -1 B - C - D -
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数导函数的性质和求函数导函数的公式，法则与基本方法，结合问题条件，求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数导函数判断函数单调性和求函数最值的基本方法，得到x （0，1）时，f(x)<0，x （1，e）时，f(x)>0，x （e，+ ）时，f(x)>0；由g(x)= x= = = f()，存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，得到0<<1，且f()=g()=f()，从而求出=，=ln，得到k，关于的表示式，求出关于k的函数表示式，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出的最大值就可得出选项。（文）根据函数导函数的性质和求函数导函数的公式，法则与基本方法，结合问题条件，求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数导函数判断函数单调性和求函数最值的基本方法，得到x （0，1）时，f(x)<0，x （1，e）时，f(x)>0，x （e，+ ）时，f(x)>0；由g(x)= x= = = f()，存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，得到0<<1，且f()=g()=f()，从而求出=，=ln，求出关于的函数表示式，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出的最小值就可得出选项。
【详细解答】（理）函数f(x)的定义域为（0，+ ）， (x)= ，令 (x)=0解得：x=e，当x （0，e）时， (x)>0，当x （e，+ ）时， (x)<0，函数f(x)在（0，
e）上单调递增，在（e，+ ）上单调递减， f(x)= =0， x （0，1）时，f(x)<0，
x（1，e）时，f(x)>0，x （e，+ ）时，f(x)>0， g(x)= x= = = f()，存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，=，=ln，
k=，=，=，设G（k）=（k<0），（k）=2k+
=(2k+)，令（k）=0解得：k=0或k=-2， k<0， k=-2，当k（- ，-2）时，（k）>0，当k（- 2，0）时，（k）<0，函数G（k）在（- ，-2）上单调递增，在（- 2，0）上单调递减，= G（-2）= . =，C正确，选C。
（文）函数f(x)的定义域为（0，+ ）， (x)= ，令 (x)=0解得：x=e，当x （0，e）时， (x)>0，当x （e，+ ）时， (x)<0，函数f(x)在（0，e）
上单调递增，在（e，+ ）上单调递减， f(x)= =0， x （0，1）时，f(x)<0，x
（1，e）时，f(x)>0，x （e，+ ）时，f(x)>0， g(x)= x= = = f()，存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，=，=ln，
=ln(0<<1)，设G（x）=xlnx（0x=，当x（0，）时，（x）<0，当x（，1）时，（k）>0，函数G（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，= G（）= . ln=-，D正确，选D。
『思考问题4』
（1）【典例4】是指数函数和对数函数性质运用的问题，解答这类问题需要理解并掌握指数函数和对数函数的性质，注意指数函数和对数函数底数的取值对函数性质的影响；
（2）指数函数和对数函数性质的运用问题主要包括：①指数函数和对数函数单调性的运用；②复合函数的单调性问题；③求函数的值域或最值；④指数函数和对数函数的应用问题；
（3）运用指数函数（或对数函数）的性质解答问题的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②作出指数函数（或对数函数）的大致图像；③分辨问题与指数函数（或对数函数）的哪些性质相关；④借助函数的图像，结合指数函数（或对数函数）的相关性质解答问题；
（4）求解指数函数（或对数函数）的复合函数单调性问题，对函数y=（或y= g(x)）的单调性，单调区间的问题时，需要注意底数取值对指数函数（或对数函数）性质的影响，其解答的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②判断内层函数和外层函数的单调性；③运用复合函数单调性的判断法则判断函数的单调性；
（5）解答指数函数（或对数函数）的应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题的类型，建立相应的指数函数（或对数函数）模型；②借助于指数函数（或对数函数）的图像并结合指数函数（或对数函数）的性质解答问题；③结合实际应用问题的实际意义得出结果。
【典例5】解答下列问题：
1、若关于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）内恒成立，则满足条件的整数k的最大值为（ ）（2021成都市高三零诊）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用导函数求函数最值的基本方法；③运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】运用不等式在某区间恒成立的意义与性质，结合问题条件分离常数k，根据函数导函数的求法和运用导函数求函数最值的基本方法求出函数的值域，从而求出k的最大整数就可得出选项。
【详细解答】关于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）内恒成立，不等式>
k在（2，+）内恒成立，设g(x)= ，(x)= =
，令h(x)=x-2lnx-3， h(6)=6–2ln6-3= 3-2ln6<0，h()=-6-3=-9>0，
存在（6，），使h()=0，当x（6，）时，(x)= <0 ，x（，）时，(x)= >0，函数g(x)在（6，）上单调递减，在（，+）上单调递增，= g()2、（理）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，则（-）lnt的最小值为（ ）
A B C - D -
（文）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，则lnt的最小值为（ ）
（2021成都市高三一诊）
A B C - D -
【解析】
【考点】①对数的定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法； ③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据对数的性质，结合问题条件得到(-1)= ln,构造函数h(x)=x x（0，+）,运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，可知函数h(x)在（0，+）上单调递增，得到，的等式，从而得到（-）lnt关于t的函数表示式，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数的导函数，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出（-）lnt的最小值就可得出选项。（文）根据对数的性质，结合问题条件得到(-1)= ln,构造函数h(x)=x x（0，+）,运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，可知函数h(x)在（0，+）上单调递增，得到，的等式，从而得到lnt关于t的函数表示式，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数的导函数，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出lnt的最小值就可得出选项。
【详细解答】（理） f(x)=x+ln(x-1)，f()=+ln(-1)=ln(-1)=1+2lnt=lne，(-1)
= e，(-1)= , g(x)=xlnx，g()=ln= ln=，(-1)= ln，设h(x)=x，x（0，+），（x）=+x=(x+1)＞0在（0，+）上恒成立，函数h(x)在（0，+）上单调递增， h(-1)= h(ln)，-1= ln，（-）lnt=（-1）lnt=ln lnt= lnt，设函数u（t）=lnt， t（0，+），(t)=2tlnt+t=t(2lnt+1)，令(t)=0解得：t=0或t=，当t（0，）时，(t)＜0，当t［，+）时，(t) 0，函数u（t）在（0，）上单调递减，在［，+）上单调递增，= u（）=ln=-,（-）lnt的最小值为-,C正确，选C。（文） f(x)=x+lnx，f()=+ln=ln=lnt，= t， g(x)=xlnx，g()=ln= ln=t， = ln,设h(x)=x,x（0，+），（x）=+x=(x+1)＞0在（0，+）上恒成立，函数h(x)在（0，+）上单调递增， h()= h(ln)，= ln， lnt=ln lnt=t lnt，设函数u（t）=tlnt， t（0，+），(t)=lnt+1，令(t)=0解得：t=，当t（0，）时，(t)＜0，当t［，+）时，(t) 0，函数u（t）在（0，）上单调递减，在［，+）上单调递增，= u（）=ln=-,lnt的最小值为-，C正确，选C。
3、（理）若x=-2是函数f(x)=（+ax-1）的极值点，则f(x)的极小值为（ ）
A -1 B -2 C 5 D 1
（文）若-<-，则（ ）（2020全国高考新课标II）
A ln(y-x+1)>0 B ln(y-x+1)<0 C ln|x-y|>0 D ln|x-y|<0
【解析】
【考点】①一元二次函数定义与性质；②指数函数定义与性质；③函数求导公式，法则和基本方法；④函数极值定义与性质；⑤运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】（理）根据一元二次函数和指数函数的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和函数极值的性质得到关于a的方程，求解方程求出a的值，利用求函数极值的基本方法求出函数f(x)=（+ax-1）的极小值，就可得出选项。（文）根据指数函数的性质，得到函数f(x)= -在R上单调递增，由-<-，-<-，得到f(x)= -<-= f(y)，从而得到xln1=0，就可得出选项。
【详细解答】（理）（x）=（2x+a）+（+ax-1）=[+(2+a)x+a-1]，x=-2是函数f(x)=（+ax-1）的极值点，（-2）=（4-4-2a+a-1）=(-a-1) =0，a=-1，
（x）=（+x-2），令（x）=0解得：x=-2或x=1，当x（-，-2）时，（x）>0，当x[-2，1）时，（x）<0，当x[1，+）时，（x）>0，函数f(x)在
（-，-2）上单调递增，在[-2，1）上单调递减，在[1，+）上单调递增，即
= f(1)=（1-1-1）=-1，A正确，选A。（文）设函数f(x)= -，函数f(x) 在R上单调递增，-<-，-<-， f(x)= -<-= f(y)，x1，即ln(y-x+1)>ln1=0，A正确，选A。
『思考问题5』
（1）【典例5】是指数函数和对数函数的综合应用问题，解答这类问题需要熟悉指数函数（或对数函数）的图像，性质，注意指数函数（或对数函数）底数的取值对函数图像，性质的影响；
（2）求解指数函数（或对数函数）的定义域，值域（或最值），单调性，奇偶性问题的基本方法是：①把问题化归于指数函数（或对数函数）；②运用指数函数（或对数函数）的性质并借助于指数函数（或对数函数）的图像来解答问题；
（3）解答指数函数和对数函数综合问题的基本方法是：①图像法，在同一直角坐标系中分别作出问题涉及的所有函数的图像，借助于图像寻找结论；②代数法，分别运用指数函数，对数函数的性质求出问题中涉及的所有元素的取值范围，再根据结果得出结论。

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