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高三数学总复习--函数专题练习
方法点拨
函数是高考的必考内容，考查的题型主要有函数性质、函数图象、零点问题、指数幂的大小比较，与生活实际相关或函数文化结合的题．
（1）函数性质的考查主要为奇偶性、单调性、对称性、周期性的综合考查，要求学生熟悉一些相关结论的由来与应用，例如由得到关于对称．
（2）对于函数图象的题型，我们一般优先考虑函数的奇偶性，或结合函数的平移、伸缩变换考虑函数的对称性，然后再考虑自变量取某些特殊值时，对应的函数值的一些特点，比如函数值的正负，最后考虑函数的单调性．
（3）函数的零点问题一般可以转化成函数方程的根、函数图象与轴的交点个数、函数图象与某条水平线的交点个数问题、函数图象与某条斜直线的交点问题，或两条曲线的交点个数问题等．
（4）与生活实际相关或函数文化结合的题一般相对简单，要求学生耐心理解题目意思，知道题中每个量，每个公式所具有的意义．
典型试题汇编
一、选择题．
1．（江西省南昌市2021届高三一模）如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为，截面半径为（为常量），油面高度为，油面宽度为，储油量为（为变量），则下列说法：
①是的函数 ②是的函数 ③是的函数 ④是的函数
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（河南省联考2021-2022学年高三一模）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（贵州省遵义市2021届高三一模）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（福建省龙岩市2021届高三一模）定义在R上的奇函数满足，当时，（e为自然对数的底数），则的值为（ ）
A． B． C． D．0
5．（四川省资阳市2020-2021学年高三一模）定义在上的偶函数满足，则（ ）
A．或4 B．或3 C．3 D．4
6．（广东省佛山市顺德区2022届高三一模数学试题）已知函数，
则函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
7．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（安徽省池州市2021届高三一模）设函数满足对，都有，且在上单调递增，，，则函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（江苏省连云港市灌云县第一中学2021-2022学年高三一模）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）农业农村部于年月日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的倍．（参考数据：，，，．）
A． B． C． D．
12．（广西柳州市2022届高三11月第一次模拟）5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W﹒信道内所传信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小．其中叫做信噪比，按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比卡从1999提升至，使得C大约增加了20%，则入的值约为（ ）(参考数据，)
A．9121 B．9119 C．9919 D．10999
13．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）天文学中，用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度，用绝对星等反映星体的真实亮度．星体的视星等，绝对星等，距地球的距离有关系式（为常数）．若甲星体视星等为，绝对星等为，距地球距离；乙星体视星等为，绝对星等为，距地球距离，则（ ）
A． B． C． D．
14．（江苏省苏州市八校2020-2021学年高三一模）若函数满足：对定义域内任意的，有，则称函数具有性质．则下列函数中不具有性质的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（四川省资阳市高中2021-2022学年高三一模）设，，，
则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
16．（2020山东一模）已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
17．（湖北省武汉市部分学校2020届高三一模）已知，，，
则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
18．（天津市河北区2020-2021学年高三一模）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
19．（江西省赣州市2021届高三一模）设函数（且）．
若，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．（江苏省2021年对口高考单招一模）若函数，（a，）为奇函数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
21．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．（多选）（广东省普宁市勤建学校2021届高三一模）定义在上的函数满足，且在上是增函数，给出下列真命题的有（ ）
A．是周期函数 B．的图象关于直线对称
C．在上是减函数 D．
23．（辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上一模）指数函数（，且）在
上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（ ）
A．单调递增 B．单调递减
C．在上递增，在上递减 D．在上递减，在上递增
24．（山东省烟台市2021届高三一模）已知是定义在上的奇函数，，
当时，，则（ ）
A． B．是的一个周期
C．当时， D．的解集为
25．（山东省青岛胶州市2019-2020一模）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
26．（吉林省长春市2022届高三一模）设函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法一定正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
27．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
28．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）函数的零点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
29．（多选）（2021届高三下学期一模）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．2
30．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）若函数有且仅有一个零点，
则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
31．（安徽省合肥市2020-2021学年高三一模）设函数．若
时，方程有唯一解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．（四川省成都市新都区2021-2022学年高三一模）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，．
则函数在区间上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
33．（2020届浙江省金华十校高三一模）已知函数，下列关于函数的零点个数的判断，正确的是（ ）
A．当，m∈R时，有且只有1个 B．当，时，都有3个
C．当，时，都有4个 D．当，时，都有4个
34．（山东省实验中学2021届高三一模）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
35．（安徽省滁州市定远中学2019-2020学年一模）已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题．
36．（江苏省2021年对口高考单招一模数学）在平面直角坐标系中，函数（且）的图象恒过定点P，若角θ的终边过点P，则________．
参考答案
一、选择题．
1-21：BDDADBCABBABABDDBDBBB
22．【答案】ACD
，所以是周期函数，4是它的一个周期，A正确；
，函数图象关于点对称，B错；
，函数图象关于直线对称，
又在上递增，因此在上递增，所以在上是减函数，C正确；
，D正确，
故选ACD．
23．【答案】C
【解析】结合指数函数的性质可知：，
函数的导函数：，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
本题选择C选项．
24．【答案】D
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，所以，
所以的最小正周期是4，故B错误；
，故A错误；
因为当时，，是定义在上的奇函数，
所以当时，，
当时，，，故C错误；
因为当时，，的最小正周期是4，
所以的解集为，故D正确，
故选D．
25．【答案】B
【解析】是偶函数，得，即，
是奇函数，得，即，
，得，
由是奇函数，得，
因为在上单调递增，所以，
，，
所以，故选B．
26．【答案】B
【解析】由题意，函数是奇函数，可得的图象关于点对称，
所以，所以②正确；
令，则，
又由是偶函数，所以的图象关于对称，
所以的图象关于对称，则有，
令，则，所以③正确；
在中，将用替换，则，
在中，将用替换，则，
所以，再将用替换，则，
所以，所以①正确；
对于④中，由，无法推出其一定相等，
故选B．
27．【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以①；
又为偶函数，所以②；
令，由②得：，
又，所以，得，
令，由①得；
令，由②得，所以，
得时，，
结合①②得，，
所以函数的周期为，
所以，故选C．
28．【答案】B
【解析】由题意知函数的定义域为，
由，得，所以，
所以函数的零点有1个，故选B．
29．【答案】AB
【解析】（1）当时，由题得，，
因为，所以此种情况不存在；
（2）当时，由题得，，
因为，所以，
故选AB．
30．【答案】A
【解析】由题意知：，
∴时，，得或；时，，得，
∴在上递增，上递减，上递增，
当时，有极大值；当时，有极小值，
∴只有当或时，函数有且仅有一个零点，
∴或，故选A．
31．【答案】B
【解析】因为函数，
所以，
若时，作出的图象，
结合图象可知方程有唯一解，则，
故选B．
32．【答案】A
【解析】因为函数的定义域为，
所以在无零点；
∵，故将的图象向右平移个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍，
∴在平面直角坐标系，的图象以及在上如图所示：
又，
故、在上的图象共有5个不同交点，故选A．
33．【答案】B
【解析】令，则，
当时，若，则或，即或，
即当，时，不是有且只有1个零点，故A错误；
当时，时，可得或，可得的个数为个，即B正确；
当，或时，由，且，可得零点的个数为1个或3个，
故C，D错误，
故选B．
34．【答案】C
【解析】∵时，，
即时，；
时，；
时，，
画出时，的图象，
再利用奇函数的对称性，画出时，的图象，如图所示：
直线与共有5个交点，则方程共有五个实根，
最左边两根之和为，最右边两根之和为6，
∵时，，∴，
又，∴，
∴中间的一个根满足，即，得，
∴所有根的和为，故选C．
35．【答案】D
【解析】当时，，
；，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，，
；，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
函数有四个不同的零点，即两函数与图象有四个不同的交点，
如下图所示：
由图可知，，
是方程的两根，即的两根，
所以，
是方程的两根，即的两根，
所以，，
故选D．
二、填空题．
36．【答案】
【解析】由题意，函数，令，可得，此时，
即函数恒过定点，则，
根据三角函数的定义，可得，，
所以，
故答案为．

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