2021-2022学年人教版数学九年级下册第二十八章 锐角三角函数单元测试卷(二)(Word版含答案)

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2021-2022学年人教版数学九年级下册第二十八章 锐角三角函数单元测试卷(二)(Word版含答案)

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第二十八章 锐角三角函数(二) 单元测试卷2021-2022学年人教版数学九年级下册
一、单选题
1.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,作∠CAD=30°,CD⊥AD于D,若△ADC的面积为1,则△ABC的面积为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
2.如图,已知点E 是矩形ABCD对角线 AC 上的一动点,正方形EFGH的顶点G,H 都在边 BC 上,若足AB=3,BC=4,则tan∠CFE 的值( )
A. B. C. D.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若△ABC的三边都缩小3倍,则sinA的值( )
A.缩小3倍 B.放大3倍 C.不变 D.无法确定
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则的值为(    )
A. B. C. D.
5.如图,滑雪场有一坡角为20°的滑道,滑雪道的长AC为100米,则BC的长为(  )米.
A. B.100cos20° C. D.100sin20°
6.在Rt△ABC中,∠C=90 ,那么等于( )
A. B. C. D.
7.的相反数是( )
A. B. C. D.
8.一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端,行了100米,下落的铅直高度为50米,则该斜坡的坡度为( )
A.30° B. C. D.
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ABC沿AC翻折,得到△ADC,再将△ADC沿AD翻折,得到△ADE,连接BE,则tan∠EBC的值为( )
A. B. C. D.
10.如图,在菱形ABCD中,,,则菱形ABCD的面积是( )
A.12 B.24 C.48 D.20
二、填空题
11.如图,将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在AD的F处,若AB:BC=2:3,则cos∠DCF值为=_____.
12.第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区,登陆时强度为台风级,中心最大风速38米/秒.此时一艘船以27nmile/h的速度向正北航行,在A处看烟花S在船的北偏东15°方向,航行40分钟后到达B处,在B处看烟花S在船的北偏东45°方向.
(1)此时A到B的距离是 _____;
(2)该船航行过程中距离烟花S中心的最近距离为 _____.(提示:sin15°).
13.如图, 在 Rt 中, , 点 是 边上一点,将 沿着过点 的一条直线翻折,使得点 落在边 上的点 处,联结 , 如果 , 那么 的长为______
14.在Rt中,,如果,那么的值是_________.
15.如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,△BEC与△FEC关于直线EC对称,点B的对称点F在边AD上,G为CD中点,连结BG分别与CE,CF交于M,N两点.若BM=BE,MG=2,则BN的长为 ___,sin∠AFE的值为 ___.
16.把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的_____,记作_____,即tan A=_____
17.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=AB,点E、F分别是边CA、CB的中点,已知点P在线段EF上,联结AP,将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP,如果点P、D、C在同一直线上,那么tan∠CAP=_______.
18.在Rt△ABC中,∠C=90°,若c=5,,则AC=_____.
三、解答题
19.如图,△ABC内接于⊙O,弦BD⊥AC,垂足为E.点D,点F关于AC对称,连接AF并延长交⊙O于点G.
(1)连接OB,求证:∠ABD=∠OBC;
(2)求证:点F,点G关于BC对称;
(3)若BF=OB=2,求△ABC面积的最大值.
20.如图1,中,的平分线和外角的平分线交于点E,我们把叫做中的好望角.
(1)如图1,已知,点D是BC延长线上的一点,是中的好望角,,,求的度数;
(2)如图2,四边形ABCD内接于,且AC是的直径,点E是弧AD上的动点,弧弧BD,CD和BE的延长线交于点F,连接DE,AE,当是中的好望角时.
①求的度数;
②求证;
③若,,求的直径.
21.如图,在鉴江的右岸边有一高楼AB,左岸边有一坡度i=1:2的山坡CF,点C与点B在同一水平面上,CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度,在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°,然后沿坡面CF上行了20米到达点D处,此时在D处测得楼顶A的仰角为30°,求楼AB的高度.
22.如图,AB是的直径,PA,PC是的切线,A,C是切点,连接AC,PO,交点为D.
(1)求证:;
(2)延长PO交于点E,连接BE,CE.若,,求AB的长.
23.为进一步加强疫情防控工作, 避免在测温过程中出现人员聚集现象, 某学校决定安装红外线体温检测仪,该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的 人员进行快速测温, 无需人员停留和接触, 说明书中的部分内容如图所示.
名称 红外线体温检测仪
测温区域示意图
技术参数 探测最大角:∠OBC=72°
探测最小角:∠OAC=31°
(1)若该设备的安装高度为, 请你求出图中的长度. (结果精确到 )
(2)若学校要求测温区域的宽度为, 请你求出该设备的安装高度. (结果精确到 .)
(参考数据:
24.图1是一款平板电脑支架,由托板、支撑板和底座构成.工作时,可将平板电脑吸附在托板上,底座放置在桌面上,图2是其侧面结构示意图,已知托板AB长200mm,支撑板CB长80mm,当,时,求托板顶点A到底座CD所在平面的距离(结果精确到1mm).(参考数据:,,,√,)
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.C
【详解】
解:Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,
∠CAD=30°,CD⊥AD于D,
在中,,
,
△ADC的面积为1,
即,
故选C
2.C
【详解】
解:在正方形EFGH中,EF∥GH,EH⊥BC,
即EF∥BC,
∴∠CFE=∠BCF,
在矩形ABCD中,AB⊥BC,
∴EH∥AB,
△ABC∽△EHC,
∴,即,
设 ,则 ,
∴ ,
∴ .
故选:C
3.C
【详解】
解:∵∠C=90°,
∴sin∠A=,
∵△ABC的三边都缩小3倍,
∴∠A的对边与斜边的比不变,
∴sinA的值不变,
故选:C.
4.B
【详解】
解:∵∠ACB=90°,AB=5,BC=3,
∴,
∴.
故选:B.
5.B
【详解】
解:∵滑道坡角为20°,
∴,
∵AC为100米,,
∴,
∴.
故选:B.
6.A
【详解】
解:∵∠C=90°,
∴=,
故选:A.
7.C
【详解】
∵=,
∴的相反数是,
故选C.
8.B
【详解】
解:如下图所示:
由题意即图可知:,,
在中,由勾股定理可得:,
坡度为:.
故选:B.
9.A
【详解】
解:如图,连接,交于 过作于
由对折可得:

解得: 或 (舍去)
故选A
10.B
【详解】
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO==4,BO=DO,
在直角三角形ABO中,∵,
∴,
∴BO=3,
∴BD=6,
∴菱形ABCD的面积=;
故选:B
11.
【详解】
解:∵四边形ABCD是矩形,AB:BC=2:3,
设AB=2m,则BC=3m,
∴AB=CD=2m,AD=BC=CF=3m,∠D=90°,
∴cos∠DCF=,
故答案为:.
12. 18 nmile nmile## nmile
【详解】
解:如图,过作于
由题意可得:
设 则
设 而
解得: 经检验符合题意;
所以:该船航行过程中距离烟花S中心的最近距离为: nmile.
故答案为:18 nmile, nmile.
13.##
【详解】
解:由题意知,和关于过点的直线对称,如图所示
在中, , ,

∵,
∴,
在和中


又∵


∴,,

故答案为:.
14.##0.8
【详解】
解:如图
在Rt中,,
设,
故答案为:
15. 4; ##
【详解】
解:∵BM=BE,
∴∠BEM=∠BME,
∵AB∥CD,
∴∠BEM=∠GCM,
又∵∠BME=∠GMC,
∴∠GCM=∠GMC,
∴MG=GC=2,
∵G为CD中点,
∴CD=AB=4.
连接BF,FM,
由翻折可得∠FEM=∠BEM,BE=EF,
∴BM=EF,
∵∠BEM=∠BME,
∴∠FEM=∠BME,
∴EF∥BM,
∴四边形BEFM为平行四边形,
∵BM=BE,
∴四边形BEFM为菱形,
∵∠EBC=∠EFC=90°,EF∥BG,
∴∠BNF=90°,
∵BF平分∠ABN,
∴FA=FN,
∴Rt△ABF≌Rt△NBF(HL),
∴BN=AB=4.
∵FE=FM,FA=FN,∠A=∠BNF=90°,
∴Rt△AEF≌Rt△NMF(HL),
∴AE=NM,
设AE=NM=x,
则BE=FM=4-x,NG=MG-NM=2-x,
∵FM∥GC,
∴△FMN∽△CGN,
∴,
即,
解得:(舍)或,
∴,
∴.
故答案为:4;.
16. 正切;; tan A
17.
【详解】
解:①如图1,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.
∵CE=EA,CF=FB,
∴EF∥AB,
∴∠EFC=∠ABC=45°,
∵∠PAO=45°,
∴∠PAO=∠OFH,
∵∠POA=∠FOH,
∴∠H=∠APO,
∵∠APC=90°,EA=EC,
∴PE=EA=EC,
∴∠EPA=∠EAP=∠BAH,
∴∠H=∠BAH,
∴BH=BA,
∵∠ADP=∠BDC=45°,
∴∠ADB=90°,
∴BD⊥AH,
∴∠DBA=∠DBC=22.5°,
∵∠ADB=∠ACB=90°,
∴A,D,C,B四点共圆,
∠DAC=∠DBC=22.5°,∠DCA=∠ABD=22.5°,
∴∠DAC=∠DCA=22.5°,
∴DA=DC,
设AD=a,则DC=AD=a,PD=a=AP,
∴tan∠CAP===+1;
②如图2中,当点P在线段CD上时,同理可证:DA=DC,设AD=a,则CD=AD=a,PD=
∴PC=a﹣a,
∴tan∠CAP===,
∵点P在线段EF上,
∴情形1不满足条件,情形2满足条件;
故答案为:﹣1.
18.
【详解】
∵∠C=90°,
又∵

∵c=5

解得AC=4
故答案为:4.
19.(1)见解析
(2)见解析
(3)△ABC的面积最大值为
【分析】
(1)连接OC,根据,得出,根据得出可得,可得∠BAC=,得出即可;
(2)连接AD,BG.根据点D,点F关于AC对称,得出AC垂直平分DF ,可得,根据同弧所对圆周角性质,∠FAC=∠DAC,得出,∠DBC=∠GBC,根据∠ADB=∠AGB,∠AFD=∠BFG,得出BF=BG,根据∠CAG=∠CBG,得出BC⊥FG即可;
(3)连结OG,CG延长BO,交⊙O于H,连结GH,设AG与BC交于M,由(2)得BF=BG=2,可证△OBG为等边三角形,得出∠BOG=60°,根据OH=OG,得出∠OHG=∠OGH=,可得∠BAG=∠BCG=∠H=30°,利用30°直角三角形性质可得BA=2BM,根据勾股定理在Rt△ABG中,AG⊥BC于M,AM=,设BM=x,AM=,GM=,利用三角函数CM=MGcot30°=,得出当x=,△ABC的面积最大,求出x=即可.
(1)
证明:如图①,连接OC,






∴,
∵∠BAC=,


(2)
证明:如图②,连接AD,BG.
∵点D,点F关于AC对称,
∴AC垂直平分DF ,

,∠FAC=∠DAC,
∴,
∴∠DBC=∠GBC,
∵∠ADB=∠AGB,∠AFD=∠BFG,
∴BF=BG,
∵∠CAG=∠CBG,
∵BC⊥FG,
∴点F,点G关于BC对称;
(3)
(3)连结OG,CG延长BO,交⊙O于H,连结GH,设AG与BC交于M,
由(2)得BF=BG=2,
∵BO=GO=2=BG,
∴△OBG为等边三角形,
∴∠BOG=60°,
∵OH=OG,
∴∠OHG=∠OGH=,
∴∠BAG=∠BCG=∠H=30°,
∴BA=2BM,
在Rt△ABG中,AG⊥BC于M,AM=,
设BM=x,
∴AM=,GM=,
∴CM=MGcot30°=,
∴S△ABC=S△ABM+S△ACM=,
∴当x=,△ABC的面积最大,
∴解得x=,
S△ABC最大=2S△ABM=2=.
20.(1)
(2)①;②见解析;③.
【分析】
(1)根据角的平分线,∠DCE=∠DBE+∠E,计算即可;
(2)①连接EC,证明三角形AEC是等腰直角三角形即可;
②先证AE=EC,再证EF=EC,即可证明;
③连接AF,过点A作AH垂直于FB于点H,利用解答即可.
(1)
∵∠E是△ABC中∠A的好望角,,,
∴∠ACE=∠DCE==(180°-80°)=50°,∠ABE=∠DBE=∠ABC=30°,
∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-30°=20°;
(2)
①连接EC,延长BC到点G,
∵∠F是△ABC中∠BAC的好望角,
∴∠ABF=∠CBF,
∵∠ABF=∠ACE,∠EAC=∠CBF,
∴∠ACE=∠EAC,
∵AC是圆的直径,
∴∠AEC=90°,
∴∠EAC=45°.
②连接EC,
∵∠F是△ABC中∠BAC的好望角,
∴∠ABF=∠CBF,∠ACF=∠GCF,
∵∠GCF=∠F+∠CBF,∠ACF=∠ECF+∠ACE,∠ABF=∠ACE=∠CBF,
∴∠F=∠ECF,
∴EF=EC,
根据①得∠ACE=∠EAC,
∴AE=EC,
∴AE=EF.
③如图,连接AF,过点A作AH垂直于FB于点H,
根据第二问,得∠ABH=45°,
∵AB=8,
∴AH=BH=,
连接ED,EC,根据第2问,得AE=EF,∠EFC=∠ECF=∠EAD,
∵ED=ED
∴,
∴,
∵AC是直径,
∴∠ADF=90°,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
设,则,
∴,
∴,
解得,
∴.
21.楼AB的高度为(50+30)米
【分析】
由i==,DE2+EC2=CD2,解得DE=20m,EC=40m,过点D作DG⊥AB于G,过点C作CH⊥DG于H,则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形,证得AB=BC,设AB=BC=xm,则AG=(x-20)m,DG=(x+40)m,在Rt△ADG中,=tan∠ADG,代入即可得出结果.
【详解】
解:在Rt△DEC中,∵i==,DE2+EC2=CD2,CD=20(m),
∴DE2+(2DE)2=(20)2,
解得:DE=20(m),
∴EC=40m,
过点D作DG⊥AB于G,过点C作CH⊥DG于H,如图所示:
则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形,
∵∠ACB=45°,AB⊥BC,
∴AB=BC,
设AB=BC=xm,则AG=(x﹣20)m,DG=(x+40)m,
在Rt△ADG中,∵=tan∠ADG,
∴=,
解得:x=50+30.
答:楼AB的高度为(50+30)米.
22.(1)证明见解析
(2)
【分析】
(1)如图,连接先证明再证明可得 从而可得结论;
(2)如图,先求解 结合求解 再利用建立方程求解即可.
(1)
证明:如图,连接
为的切线,
(2)
解:如图,

23.(1)AC的长度为;
(2)该设备的安装高度OC为
【分析】
(1)根据题意可得OC⊥AC,∠OAC=31°,OC=2m,利用锐角三角函数列式计算即可;
(2)由锐角三角函数定义得BC=,OC≈(3+BC)×0.6,再根据OC=0.6(3+),即可解决问题.
(1)
根据题意可知:
OC⊥AC,∠OAC=31°,OC=2m,
在Rt△OAC中,
AC=,
∴AC的长度为;
(2)
根据题意可知:
OC⊥AC,∠OBC=72°,∠OAC=31°,AB=3m,
∴AC=AB+BC=3+BC,
∴在Rt△OBC中,
BC=,
在Rt△OAC中,
OC=AC tan∠OAC≈(3+BC)×0.6,
∴OC=0.6(3+),
解得OC≈2.3(m),
答:该设备的安装高度OC约为2.3m.
24.托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm.
【分析】
过点B作,,交CD于点G,过点A作,交BE于点F,由平行线的性质可得,得出,在与中,分别利用锐角三角函数求解得出,,托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出.
【详解】
解:如图所示:过点B作,,交CD于点G,过点A作,交BE于点F,
∵,
∴,
∴,
在中,

∴,
在中,

∴,
∴,
答:托板顶点A到底座CD所在平面的距离为.
答案第1页,共2页
答案第20页,共1页

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