资源简介 第二十八章 锐角三角函数(二) 单元测试卷2021-2022学年人教版数学九年级下册一、单选题1.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,作∠CAD=30°,CD⊥AD于D,若△ADC的面积为1,则△ABC的面积为( )A.2 B.3 C.4 D.82.如图,已知点E 是矩形ABCD对角线 AC 上的一动点,正方形EFGH的顶点G,H 都在边 BC 上,若足AB=3,BC=4,则tan∠CFE 的值( )A. B. C. D.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若△ABC的三边都缩小3倍,则sinA的值( )A.缩小3倍 B.放大3倍 C.不变 D.无法确定4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则的值为( )A. B. C. D.5.如图,滑雪场有一坡角为20°的滑道,滑雪道的长AC为100米,则BC的长为( )米.A. B.100cos20° C. D.100sin20°6.在Rt△ABC中,∠C=90 ,那么等于( )A. B. C. D.7.的相反数是( )A. B. C. D.8.一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端,行了100米,下落的铅直高度为50米,则该斜坡的坡度为( )A.30° B. C. D.9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,将△ABC沿AC翻折,得到△ADC,再将△ADC沿AD翻折,得到△ADE,连接BE,则tan∠EBC的值为( )A. B. C. D.10.如图,在菱形ABCD中,,,则菱形ABCD的面积是( )A.12 B.24 C.48 D.20二、填空题11.如图,将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在AD的F处,若AB:BC=2:3,则cos∠DCF值为=_____.12.第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区,登陆时强度为台风级,中心最大风速38米/秒.此时一艘船以27nmile/h的速度向正北航行,在A处看烟花S在船的北偏东15°方向,航行40分钟后到达B处,在B处看烟花S在船的北偏东45°方向.(1)此时A到B的距离是 _____;(2)该船航行过程中距离烟花S中心的最近距离为 _____.(提示:sin15°).13.如图, 在 Rt 中, , 点 是 边上一点,将 沿着过点 的一条直线翻折,使得点 落在边 上的点 处,联结 , 如果 , 那么 的长为______14.在Rt中,,如果,那么的值是_________.15.如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,△BEC与△FEC关于直线EC对称,点B的对称点F在边AD上,G为CD中点,连结BG分别与CE,CF交于M,N两点.若BM=BE,MG=2,则BN的长为 ___,sin∠AFE的值为 ___.16.把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的_____,记作_____,即tan A=_____17.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=AB,点E、F分别是边CA、CB的中点,已知点P在线段EF上,联结AP,将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP,如果点P、D、C在同一直线上,那么tan∠CAP=_______.18.在Rt△ABC中,∠C=90°,若c=5,,则AC=_____.三、解答题19.如图,△ABC内接于⊙O,弦BD⊥AC,垂足为E.点D,点F关于AC对称,连接AF并延长交⊙O于点G.(1)连接OB,求证:∠ABD=∠OBC;(2)求证:点F,点G关于BC对称;(3)若BF=OB=2,求△ABC面积的最大值.20.如图1,中,的平分线和外角的平分线交于点E,我们把叫做中的好望角.(1)如图1,已知,点D是BC延长线上的一点,是中的好望角,,,求的度数;(2)如图2,四边形ABCD内接于,且AC是的直径,点E是弧AD上的动点,弧弧BD,CD和BE的延长线交于点F,连接DE,AE,当是中的好望角时.①求的度数;②求证;③若,,求的直径.21.如图,在鉴江的右岸边有一高楼AB,左岸边有一坡度i=1:2的山坡CF,点C与点B在同一水平面上,CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度,在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°,然后沿坡面CF上行了20米到达点D处,此时在D处测得楼顶A的仰角为30°,求楼AB的高度.22.如图,AB是的直径,PA,PC是的切线,A,C是切点,连接AC,PO,交点为D.(1)求证:;(2)延长PO交于点E,连接BE,CE.若,,求AB的长.23.为进一步加强疫情防控工作, 避免在测温过程中出现人员聚集现象, 某学校决定安装红外线体温检测仪,该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的 人员进行快速测温, 无需人员停留和接触, 说明书中的部分内容如图所示.名称 红外线体温检测仪测温区域示意图技术参数 探测最大角:∠OBC=72°探测最小角:∠OAC=31°(1)若该设备的安装高度为, 请你求出图中的长度. (结果精确到 )(2)若学校要求测温区域的宽度为, 请你求出该设备的安装高度. (结果精确到 .)(参考数据:24.图1是一款平板电脑支架,由托板、支撑板和底座构成.工作时,可将平板电脑吸附在托板上,底座放置在桌面上,图2是其侧面结构示意图,已知托板AB长200mm,支撑板CB长80mm,当,时,求托板顶点A到底座CD所在平面的距离(结果精确到1mm).(参考数据:,,,√,)试卷第1页,共3页参考答案:1.C【详解】解:Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,∠CAD=30°,CD⊥AD于D,在中,,,△ADC的面积为1,即,故选C2.C【详解】解:在正方形EFGH中,EF∥GH,EH⊥BC,即EF∥BC,∴∠CFE=∠BCF,在矩形ABCD中,AB⊥BC,∴EH∥AB,△ABC∽△EHC,∴,即,设 ,则 ,∴ ,∴ .故选:C3.C【详解】解:∵∠C=90°,∴sin∠A=,∵△ABC的三边都缩小3倍,∴∠A的对边与斜边的比不变,∴sinA的值不变,故选:C.4.B【详解】解:∵∠ACB=90°,AB=5,BC=3,∴,∴.故选:B.5.B【详解】解:∵滑道坡角为20°,∴,∵AC为100米,,∴,∴.故选:B.6.A【详解】解:∵∠C=90°,∴=,故选:A.7.C【详解】∵=,∴的相反数是,故选C.8.B【详解】解:如下图所示:由题意即图可知:,,在中,由勾股定理可得:,坡度为:.故选:B.9.A【详解】解:如图,连接,交于 过作于由对折可得:设解得: 或 (舍去)故选A10.B【详解】解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=CO==4,BO=DO,在直角三角形ABO中,∵,∴,∴BO=3,∴BD=6,∴菱形ABCD的面积=;故选:B11.【详解】解:∵四边形ABCD是矩形,AB:BC=2:3,设AB=2m,则BC=3m,∴AB=CD=2m,AD=BC=CF=3m,∠D=90°,∴cos∠DCF=,故答案为:.12. 18 nmile nmile## nmile【详解】解:如图,过作于由题意可得:设 则设 而解得: 经检验符合题意;所以:该船航行过程中距离烟花S中心的最近距离为: nmile.故答案为:18 nmile, nmile.13.##【详解】解:由题意知,和关于过点的直线对称,如图所示在中, , ,∴∵,∴,在和中∴∴又∵∴∴∴,,∴故答案为:.14.##0.8【详解】解:如图在Rt中,,设,故答案为:15. 4; ##【详解】解:∵BM=BE,∴∠BEM=∠BME,∵AB∥CD,∴∠BEM=∠GCM,又∵∠BME=∠GMC,∴∠GCM=∠GMC,∴MG=GC=2,∵G为CD中点,∴CD=AB=4.连接BF,FM,由翻折可得∠FEM=∠BEM,BE=EF,∴BM=EF,∵∠BEM=∠BME,∴∠FEM=∠BME,∴EF∥BM,∴四边形BEFM为平行四边形,∵BM=BE,∴四边形BEFM为菱形,∵∠EBC=∠EFC=90°,EF∥BG,∴∠BNF=90°,∵BF平分∠ABN,∴FA=FN,∴Rt△ABF≌Rt△NBF(HL),∴BN=AB=4.∵FE=FM,FA=FN,∠A=∠BNF=90°,∴Rt△AEF≌Rt△NMF(HL),∴AE=NM,设AE=NM=x,则BE=FM=4-x,NG=MG-NM=2-x,∵FM∥GC,∴△FMN∽△CGN,∴,即,解得:(舍)或,∴,∴.故答案为:4;.16. 正切;; tan A17.【详解】解:①如图1,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.∵CE=EA,CF=FB,∴EF∥AB,∴∠EFC=∠ABC=45°,∵∠PAO=45°,∴∠PAO=∠OFH,∵∠POA=∠FOH,∴∠H=∠APO,∵∠APC=90°,EA=EC,∴PE=EA=EC,∴∠EPA=∠EAP=∠BAH,∴∠H=∠BAH,∴BH=BA,∵∠ADP=∠BDC=45°,∴∠ADB=90°,∴BD⊥AH,∴∠DBA=∠DBC=22.5°,∵∠ADB=∠ACB=90°,∴A,D,C,B四点共圆,∠DAC=∠DBC=22.5°,∠DCA=∠ABD=22.5°,∴∠DAC=∠DCA=22.5°,∴DA=DC,设AD=a,则DC=AD=a,PD=a=AP,∴tan∠CAP===+1;②如图2中,当点P在线段CD上时,同理可证:DA=DC,设AD=a,则CD=AD=a,PD=∴PC=a﹣a,∴tan∠CAP===,∵点P在线段EF上,∴情形1不满足条件,情形2满足条件;故答案为:﹣1.18.【详解】∵∠C=90°,又∵∴∵c=5∴解得AC=4故答案为:4.19.(1)见解析(2)见解析(3)△ABC的面积最大值为【分析】(1)连接OC,根据,得出,根据得出可得,可得∠BAC=,得出即可;(2)连接AD,BG.根据点D,点F关于AC对称,得出AC垂直平分DF ,可得,根据同弧所对圆周角性质,∠FAC=∠DAC,得出,∠DBC=∠GBC,根据∠ADB=∠AGB,∠AFD=∠BFG,得出BF=BG,根据∠CAG=∠CBG,得出BC⊥FG即可;(3)连结OG,CG延长BO,交⊙O于H,连结GH,设AG与BC交于M,由(2)得BF=BG=2,可证△OBG为等边三角形,得出∠BOG=60°,根据OH=OG,得出∠OHG=∠OGH=,可得∠BAG=∠BCG=∠H=30°,利用30°直角三角形性质可得BA=2BM,根据勾股定理在Rt△ABG中,AG⊥BC于M,AM=,设BM=x,AM=,GM=,利用三角函数CM=MGcot30°=,得出当x=,△ABC的面积最大,求出x=即可.(1)证明:如图①,连接OC,,,,,,,∴,∵∠BAC=,,;(2)证明:如图②,连接AD,BG.∵点D,点F关于AC对称,∴AC垂直平分DF ,,,∠FAC=∠DAC,∴,∴∠DBC=∠GBC,∵∠ADB=∠AGB,∠AFD=∠BFG,∴BF=BG,∵∠CAG=∠CBG,∵BC⊥FG,∴点F,点G关于BC对称;(3)(3)连结OG,CG延长BO,交⊙O于H,连结GH,设AG与BC交于M,由(2)得BF=BG=2,∵BO=GO=2=BG,∴△OBG为等边三角形,∴∠BOG=60°,∵OH=OG,∴∠OHG=∠OGH=,∴∠BAG=∠BCG=∠H=30°,∴BA=2BM,在Rt△ABG中,AG⊥BC于M,AM=,设BM=x,∴AM=,GM=,∴CM=MGcot30°=,∴S△ABC=S△ABM+S△ACM=,∴当x=,△ABC的面积最大,∴解得x=,S△ABC最大=2S△ABM=2=.20.(1)(2)①;②见解析;③.【分析】(1)根据角的平分线,∠DCE=∠DBE+∠E,计算即可;(2)①连接EC,证明三角形AEC是等腰直角三角形即可;②先证AE=EC,再证EF=EC,即可证明;③连接AF,过点A作AH垂直于FB于点H,利用解答即可.(1)∵∠E是△ABC中∠A的好望角,,,∴∠ACE=∠DCE==(180°-80°)=50°,∠ABE=∠DBE=∠ABC=30°,∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-30°=20°;(2)①连接EC,延长BC到点G,∵∠F是△ABC中∠BAC的好望角,∴∠ABF=∠CBF,∵∠ABF=∠ACE,∠EAC=∠CBF,∴∠ACE=∠EAC,∵AC是圆的直径,∴∠AEC=90°,∴∠EAC=45°.②连接EC,∵∠F是△ABC中∠BAC的好望角,∴∠ABF=∠CBF,∠ACF=∠GCF,∵∠GCF=∠F+∠CBF,∠ACF=∠ECF+∠ACE,∠ABF=∠ACE=∠CBF,∴∠F=∠ECF,∴EF=EC,根据①得∠ACE=∠EAC,∴AE=EC,∴AE=EF.③如图,连接AF,过点A作AH垂直于FB于点H,根据第二问,得∠ABH=45°,∵AB=8,∴AH=BH=,连接ED,EC,根据第2问,得AE=EF,∠EFC=∠ECF=∠EAD,∵ED=ED∴,∴,∵AC是直径,∴∠ADF=90°,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴,设,则,∴,∴,解得,∴.21.楼AB的高度为(50+30)米【分析】由i==,DE2+EC2=CD2,解得DE=20m,EC=40m,过点D作DG⊥AB于G,过点C作CH⊥DG于H,则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形,证得AB=BC,设AB=BC=xm,则AG=(x-20)m,DG=(x+40)m,在Rt△ADG中,=tan∠ADG,代入即可得出结果.【详解】解:在Rt△DEC中,∵i==,DE2+EC2=CD2,CD=20(m),∴DE2+(2DE)2=(20)2,解得:DE=20(m),∴EC=40m,过点D作DG⊥AB于G,过点C作CH⊥DG于H,如图所示:则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形,∵∠ACB=45°,AB⊥BC,∴AB=BC,设AB=BC=xm,则AG=(x﹣20)m,DG=(x+40)m,在Rt△ADG中,∵=tan∠ADG,∴=,解得:x=50+30.答:楼AB的高度为(50+30)米.22.(1)证明见解析(2)【分析】(1)如图,连接先证明再证明可得 从而可得结论;(2)如图,先求解 结合求解 再利用建立方程求解即可.(1)证明:如图,连接为的切线,(2)解:如图,而23.(1)AC的长度为;(2)该设备的安装高度OC为【分析】(1)根据题意可得OC⊥AC,∠OAC=31°,OC=2m,利用锐角三角函数列式计算即可;(2)由锐角三角函数定义得BC=,OC≈(3+BC)×0.6,再根据OC=0.6(3+),即可解决问题.(1)根据题意可知:OC⊥AC,∠OAC=31°,OC=2m,在Rt△OAC中,AC=,∴AC的长度为;(2)根据题意可知:OC⊥AC,∠OBC=72°,∠OAC=31°,AB=3m,∴AC=AB+BC=3+BC,∴在Rt△OBC中,BC=,在Rt△OAC中,OC=AC tan∠OAC≈(3+BC)×0.6,∴OC=0.6(3+),解得OC≈2.3(m),答:该设备的安装高度OC约为2.3m.24.托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm.【分析】过点B作,,交CD于点G,过点A作,交BE于点F,由平行线的性质可得,得出,在与中,分别利用锐角三角函数求解得出,,托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出.【详解】解:如图所示:过点B作,,交CD于点G,过点A作,交BE于点F,∵,∴,∴,在中,,∴,在中,,∴,∴,答:托板顶点A到底座CD所在平面的距离为.答案第1页,共2页答案第20页,共1页 展开更多...... 收起↑ 资源预览