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2021-2022学年山东省淄博市张店区九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位上）
1．下列几何体中，各自的主视图、左视图、俯视图三种视图完全相同的几何体是（　　）
A．三棱柱 B．圆柱
C．圆锥 D．球
2．若反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＞1 D．k＜1
3．将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+3）2，则这个平移过程正确的是（　　）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x﹣1）2+2
6．已知函数y＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数y＝ax+b的图象可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，∠ACB＝45°，∠PRQ＝125°，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（　　）
A．h1＝h2 B．h1＜h2
C．h1＞h2 D．以上都有可能
8．如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主视图＝a2，S左视图＝a2+a，则S俯视图＝（　　）
A．2a2 B．2a2+a C．a2+a D．a2+2a+1
9．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m．则路灯的高度OP为（　　）
A．3m B．4m C．4.5m D．5m
10．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是（　　）
A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q
11．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则sin∠AEC的值为（　　）
A． B． C． D．
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①b2﹣4ac＞0；
②2a﹣b＝0；
③m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数）；
④点（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y3＜y2．
其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分。不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
14．如图，直线y＝x与x轴所夹的锐角为α，则tanα＝　 　．
15．如图，抛物线y＝x2﹣2x+1与图象l关于直线y＝x对称，则图象l所对应的关于x与y的关系式为 　 　．
16．在测量时，为了确定被测对象的最佳近似值，经常要对同一对象测量若干次，得到测量结果分别为x1，x2，…xn，然后选取与各测结果的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．即如果设这组测量结果的最佳近似值为t0，则t0需要使得函数：y＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2．达到最小值．科研小组利用这种方法来分析麦穗的长度．如果在测量了3个麦穗长度之后，得到的数据（单位：cm）是x1＝6.2，x2＝6.3，x3＝5.8，则按上述方法，可以得到麦穗长的最佳近似长度为 　 　cm．
17．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为 　 　，点C'的坐标为 　 　．
三、解答题（本题共7小题，请把解答过程写在答题纸上）
18．（1）计算：6tan230°﹣sin60°﹣2cos45°．
（2）请用配方法推导出二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象的对称轴和顶点坐标公式．
19．如图，正方形ABCD的边长为1．
（1）请利用正方形ABCD借助尺规画出一个点D为顶点，一边过点C的67.5°角（保留作图痕迹）；
（2）利用正方形ABCD及所画的图形求出角67.5°的正切值．
20．如图，已知一次函数y＝2x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（﹣3，﹣1）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式及点A的坐标．
（2）若2x+b＜，请直接写出x的取值范围．
（3）求△AOB的面积．
21．九年级数学“综合与实践”课的任务是测量学校旗杆的高度．小明与小东分别采用不同的方案测量，以下是他们研究报告的部分记录内容：
课题 测量旗杆的高度
测量工具 测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺等
测量成员 小明 小东
测量方案示意图
示意图说明 如图，旗杆的最高点D到地面的高度为DN，在测点A、B用仪器测得点A、B处的仰角分别为α、β，点A、B、C、D、M、N均在同一竖直平面内，点A、B、C在同一条直线上．
测量数据 AM＝1.50m，AB＝13.12m，∠α＝37°，∠β＝60°． AM＝1.50m，AB＝33.22m，∠α＝37°，∠β＝60°.
参考数据 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan60°≈1.73．
请从小明和小东的方案中，任选其中一个方案，根据其数据求出旗杆的高度（精确到0.1m）．
22．某经销商以每箱12元的价格购进一批消毒水进行销售，当每箱售价为26元时，日均销量为60箱．为了增加销量，该经销商准备适当降价．经市场调查发现，每箱消毒水降价1元，则可以多销售5箱．设每箱降价x元，日均销量为y箱．
（1）求日均销量y关于x的函数关系式；
（2）要使日均利润为800元，则每箱应降价多少元？
（3）如果该经销商想获得最大的日均利润，则每箱消毒水应降价多少元最合适？最大日均利润为多少元？
23．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，如图1．
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　 　；
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 m …
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；
①　 　；
②　 　；
（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝　 　；
②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝　 　；
③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝　 　．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与x轴的另一交点为B，与y轴正半轴交于点C（0，3），其顶点为E，抛物线的对称轴与BC相交于点M，与x轴相交于点G．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得∠APB＝∠ABC，求点P的坐标．
（3）连接EB，在抛物线上是否存在一点Q（不与点E重合），使得S△QMB＝S△EMB，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位上）
1．下列几何体中，各自的主视图、左视图、俯视图三种视图完全相同的几何体是（　　）
A．三棱柱 B．圆柱
C．圆锥 D．球
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．
解：A．三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
B．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
C．圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
D．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意．
故选：D．
2．若反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＞1 D．k＜1
【分析】根据反比例函数的性质即可得到结论．
解：∵反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1，
故选：C．
3．将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+3）2，则这个平移过程正确的是（　　）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况．
解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝（x+3）2的顶点坐标为（﹣3，0），
∵点（0，0）向左平移3个单位可得到（﹣3，0），
∴将抛物线y＝x2向左平移3个单位得到抛物线y＝（x+3）2．
故选：A．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠A＝，根据计算器的应用，可得答案．
解：由tan∠A＝，得
tan∠A＝．
故选：D．
5．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x﹣1）2+2
【分析】根据配方法进行整理即可得解．
解：y＝x2﹣2x+3，
＝（x2﹣2x+1）+2，
＝（x﹣1）2+2．
故选：D．
6．已知函数y＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数y＝ax+b的图象可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线中自变量x＝1及x＝﹣1的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：∵y＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，
∵抛物线的开口向上知a＞0，与y轴的交点为在y轴负半轴上，∴ab＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，二次项系数＞0，∴﹣（a+b）＞0．
∴a+b＜0，
∵a＞b，
∴a＞0，b＜0，
∴y＝ax+b的图象是D选项，
故选：D．
7．如图，∠ACB＝45°，∠PRQ＝125°，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（　　）
A．h1＝h2 B．h1＜h2
C．h1＞h2 D．以上都有可能
【分析】过点A作AE⊥BC，垂足为E，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出高AE，过点P作PF⊥QR，交QR的延长线于点F，然后在Rt△PRF中，利用锐角三角函数的定义求出高PF，即可判断．
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点P作PF⊥QR，交QR的延长线于点F，
在Rt△AEC中，AC＝5，∠C＝45°，
∴h1＝AE＝ACsin45°＝5sin45°，
∵∠PRQ＝125°，
∴∠PRF＝180°﹣∠PRQ＝180°﹣125°＝55°，
在Rt△PRF中，h2＝PF＝PRsin55°＝5sin55°，
∴h1＜h2，
故选：B．
8．如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主视图＝a2，S左视图＝a2+a，则S俯视图＝（　　）
A．2a2 B．2a2+a C．a2+a D．a2+2a+1
【分析】由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论．
解：∵S主视图＝a2＝a a，S左视图＝a2+a＝a（a+1），
∴俯视图的长为a+1，宽为a，
∴S俯视图＝a （a+1）＝a2+a，
故选：C．
9．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m．则路灯的高度OP为（　　）
A．3m B．4m C．4.5m D．5m
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
解：∵AB∥OP，
∴△CAB∽△COP，
∴＝，
∴＝，
∴OP＝5（m），
故选：D．
10．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是（　　）
A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q
【分析】在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象，再作出直线y＝1，y＝3，它们与抛物线交于A，B和C，D，分别过交点作x轴的垂线，则垂足对应的数值为题干中方程的根，利用数形结合的方法即可得出结论．
解：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象如下图：
作直线y＝1与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于A，B，
分别经过A，B作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为m，n，
∴m，n是方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根；
作直线y＝3与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于C，D，
分别经过AC，D作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为p，q，
∴p，q是方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根．
由图象可知m，n，p，q的大小关系是：p＜m＜n＜q．
故选：B．
11．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则sin∠AEC的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出各个边的长度，求出AF和AE，解直角三角形求出即可．
解：
过A作AF⊥CD于F，
在Rt△ADB中，BD＝3，AD＝3，由勾股定理得：AB＝＝3，
在Rt△CAD中，AC＝1，AD＝3，由勾股定理得：CD＝＝，
由三角形的面积公式得：＝，
×AF＝1×3，
解得：AF＝，
∵AC∥BD，
∴△CEA∽△DEB，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
∴sin∠AEC＝＝，
故选：A．
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①b2﹣4ac＞0；
②2a﹣b＝0；
③m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数）；
④点（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y3＜y2．
其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由抛物线的图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac与0的关系，然后根据对称轴推理a、b关系，最后根据抛物线的递增情况，判断函数值的大小．
解：①图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，正确；
②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴2a﹣b＝0，正确；
③图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝﹣1时，y＝a﹣b+c有最大值，对于任意实数m均有a﹣b+c≥am2+bm+c，即a﹣b≥m（am+b），正确；
④∵（，y3）的对称点（﹣，y3），
﹣＜﹣＜﹣，
∴y1＞y3＞y2，正确；
故选：A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分。不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x＞1.5　．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解：由题意得2x﹣3＞0，
解得x＞1.5．
故答案为：x＞1.5．
14．如图，直线y＝x与x轴所夹的锐角为α，则tanα＝　　．
【分析】根据正切的定义即可求解．
解：设A（a，b），
∵当A在直线y＝x上，
∴b＝a，
∵直线y＝x与x轴所夹的锐角为α，
∴tanα＝＝，
故答案为：．
15．如图，抛物线y＝x2﹣2x+1与图象l关于直线y＝x对称，则图象l所对应的关于x与y的关系式为 　x＝y2﹣2y+1　．
【分析】设（x，y）为图象l上任意点，则关于y＝x的对称点为（y，x），把（y，x）在抛物线y＝x2﹣2x+1上，代入后即可得出要求的函数解析式；
解：设（x，y）为图象l上任意点，则关于y＝x的对称点为（y，x），
∴代入y＝x2﹣2x+1得：x＝y2﹣2y+1，
故答案为：x＝y2﹣2y+1．
16．在测量时，为了确定被测对象的最佳近似值，经常要对同一对象测量若干次，得到测量结果分别为x1，x2，…xn，然后选取与各测结果的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．即如果设这组测量结果的最佳近似值为t0，则t0需要使得函数：y＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2．达到最小值．科研小组利用这种方法来分析麦穗的长度．如果在测量了3个麦穗长度之后，得到的数据（单位：cm）是x1＝6.2，x2＝6.3，x3＝5.8，则按上述方法，可以得到麦穗长的最佳近似长度为 　6.1　cm．
【分析】先把函数化为一般式，再求出对称轴，利用二次函数的性质得到x＝6.1时，y有最小值，根据题意即可得到麦穗长的最佳近似长度．
解：y＝（x﹣6.2）2+（x﹣6.3）2+（x﹣5.8）2
＝x2﹣12.4x+6.22+x2﹣12.6x+6.32+x2﹣11.6x+5.82
＝3x2﹣36.6x+6.22+6.32+5.82，
其中对称轴直线x＝﹣＝6.1，
∴x＝6.1时，y达到最小值，即最佳近似长度为6.1cm，
故答案为：6.1．
17．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为 　　，点C'的坐标为 　（，﹣）　．
【分析】利用△BQM≌△OQN（AAS），得到点Q是MN的中点，利用Rt△OHQ∽Rt△OCB得到＝（）2＝，求出k的值，设AM＝a，则BM＝3a＝OM，求得OA＝2a，再根据反比例函数系数k的几何意义求得a，从而求得OC′＝BC＝OA＝2，ON＝BN＝OM＝，根据三角形面积求得C′G，再根据勾股定理即可求得OG，从而求得C′的坐标．
解：如图，连接OB，交MN于点Q，
∵矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN，
∴QB＝QO，MB＝MO，
∵AB∥CO，
∴∠ABQ＝∠NOQ，
∵∠MQB＝∠NQO，
而OQ＝BQ，
∴△BQM≌△OQN（AAS），
∴QM＝QN，即点Q是MN的中点，
过点Q作QH⊥BC于点H，则QH是△OBC的中位线，
则Rt△OHQ∽Rt△OCB，
则＝（）2＝，
而S△OBC＝S矩形AOCB＝，
则S△OHQ＝×＝＝k，
解得k＝，
∵点M是反比例函数上的点，
则S△AOM＝k＝，
而S△ABO＝S矩形AOCB＝＝4S△AOM，
故AM＝AB，
设AM＝a，则BM＝3a＝OM，
则OA＝＝2a，
则S△AOM＝＝ AM AO＝a 2a，
解得a＝（负值已舍去），
则AB＝4AM＝1，AM＝a＝，
连接BN，作C′G⊥ON于G，
∵QO＝BQ，QM＝NQ，
∴四边形MONB是平行四边形，
∴ON＝BN＝OM，
∵OC′＝BC＝OA，
∴Rt△AOM≌Rt△CBN≌Rt△C′ON（HL），
∴S△C′ON＝S△AOM＝，ON＝OM＝，OC′＝OA＝2a＝，
∴ON C′G＝，
∴×C′G＝，
∴C′G＝，
∴OG＝＝＝，
∴C′为（，﹣），
故答案为：，（，﹣）．
三、解答题（本题共7小题，请把解答过程写在答题纸上）
18．（1）计算：6tan230°﹣sin60°﹣2cos45°．
（2）请用配方法推导出二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象的对称轴和顶点坐标公式．
【分析】（1）将特殊三角函数值代入求解．
（2）通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而求解．
解：（1）6tan230°﹣sin60°﹣2cos45°
＝6×（）2﹣×﹣2×
＝2﹣﹣
＝．
（2）∵y＝ax2+bx+c
＝a（x2+x）+c
＝a[x2+x+（）2﹣（）2]+c
＝a（x+）2﹣+c
＝a（x+）2+．
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，）．
19．如图，正方形ABCD的边长为1．
（1）请利用正方形ABCD借助尺规画出一个点D为顶点，一边过点C的67.5°角（保留作图痕迹）；
（2）利用正方形ABCD及所画的图形求出角67.5°的正切值．
【分析】（1）连接BD，再作∠ADB的平分线交AB于E，则根据正方形的性质可得∠EDC＝67.5°；
（2）延长DE交CB的延长线于F点，如图，利用正方形的性质得到CB＝CD＝1，BD＝，AD∥BC，再证明∠F＝∠FDA得到BF＝BD＝，然后利用正切的定义求出tan∠CDF即可．
解：（1）如图，∠EDC为所作；
（2）延长DE交CB的延长线于F点，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD＝1，BD＝，AD∥BC，
∵AD∥BF，
∴∠ADE＝∠F，
而∠ADE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴BF＝BD＝，
在Rt△CDF中，tan∠CDF＝＝＝+1，
即角67.5°的正切值为+1．
20．如图，已知一次函数y＝2x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（﹣3，﹣1）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式及点A的坐标．
（2）若2x+b＜，请直接写出x的取值范围．
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出A点的坐标；
（2）根据A、B点的坐标和图象得出答案即可；
（3）求出C点的坐标，再根据三角形面积公式求得即可．
解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，点B的坐标为（﹣3，﹣1）．
∴把A的坐标代入函数解析式得：﹣1＝﹣6+b，m＝﹣3×（﹣1）＝3，
解得：b＝5，
∴一次函数和反比例函数的表达式分别为y＝2x+5、y＝，
解方程组得：或，
∴A点坐标为（，6）；
（2）2x+b＜时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜．
（3）在y＝2x+5中，令x＝0，则y＝5，
∴点C的坐标为（0，5），
∴OC＝5，
∴△AOB的面积S＝S△AOC+S△BOC＝+＝．
21．九年级数学“综合与实践”课的任务是测量学校旗杆的高度．小明与小东分别采用不同的方案测量，以下是他们研究报告的部分记录内容：
课题 测量旗杆的高度
测量工具 测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺等
测量成员 小明 小东
测量方案示意图
示意图说明 如图，旗杆的最高点D到地面的高度为DN，在测点A、B用仪器测得点A、B处的仰角分别为α、β，点A、B、C、D、M、N均在同一竖直平面内，点A、B、C在同一条直线上．
测量数据 AM＝1.50m，AB＝13.12m，∠α＝37°，∠β＝60°． AM＝1.50m，AB＝33.22m，∠α＝37°，∠β＝60°.
参考数据 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan60°≈1.73．
请从小明和小东的方案中，任选其中一个方案，根据其数据求出旗杆的高度（精确到0.1m）．
【分析】利用小明的方案，设BC＝x，在Rt△BCD中由∠DBC＝60°，即可求得CD＝x，在Rt△CHE中根据tan∠DAC＝可得出x的值，由DN＝CD+CN即可得出结论．
解：（1）设BC＝x，
在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，
∴CD＝x，
在Rt△ACD中，
∵tan∠DAC＝，
∴＝tan37°≈0.75，
∴x≈10.0（m），
∴CD＝x≈17.0（m），
∴DN＝CD+CN＝17.0+1.5＝18.5（m），
答：旗杆的高度为18.5m．
22．某经销商以每箱12元的价格购进一批消毒水进行销售，当每箱售价为26元时，日均销量为60箱．为了增加销量，该经销商准备适当降价．经市场调查发现，每箱消毒水降价1元，则可以多销售5箱．设每箱降价x元，日均销量为y箱．
（1）求日均销量y关于x的函数关系式；
（2）要使日均利润为800元，则每箱应降价多少元？
（3）如果该经销商想获得最大的日均利润，则每箱消毒水应降价多少元最合适？最大日均利润为多少元？
【分析】（1）每箱消毒水降价1元，则可以多销售5箱，每箱降价x元，则日均销量增加5x箱，从而可得日均销量y关于x的函数关系式；
（2）根据售价26元减降价x元，再减去进价12元，乘以销售量，等于利润800元，可得关于x的一元二次方程，解方程并作出取舍即可；
（3）设销售这种消毒水的日均利润为w元，列出w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案．
解：（1）∵每箱消毒水降价1元，则可以多销售5箱，每箱降价x元，
∴日均销量增加5x箱，
∴日均销量y关于x的函数关系式为y＝5x+60；
（2）由题意得：
（26﹣x﹣12）（5x+60）＝800，
整理得：x2﹣2x﹣8＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣2（不合题意，舍去）；
∴要使日均利润为800元，则每箱应降价4元；
（3）设销售这种消毒水的日均利润为w元，
由题意得：w＝（26﹣x﹣12）（5x+60）
＝﹣5x2+10x+840
＝﹣5（x﹣1）2+845，
∵﹣5＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝1时，w有最大值845，
∴每箱消毒水降价1元可获得最大利润，最大日均利润为845元．
23．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，如图1．
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　1　；
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 m …
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；
①　函数的图象关于y轴对称　；
②　当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小　；
（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝　4　；
②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝　4　；
③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝　2k　．
【分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，求出m的值；补全图象；
（2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可；
（3）由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．
解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，
∴m＝1，
故答案为：1；补全图象如图所示：
（2）由函数图象的对称性可知，函数的图象关于y轴对称，
从函数的增减性可知，在y轴的左侧（x＜0），y随x的增大而增大；在y轴的右侧（x＞0），y随x的增大而减小；
故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；
（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×|k|＝2|k|＝4，
②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，
③S四边形OABC＝2|k|＝2k，
故答案为：4，4，2k．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与x轴的另一交点为B，与y轴正半轴交于点C（0，3），其顶点为E，抛物线的对称轴与BC相交于点M，与x轴相交于点G．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得∠APB＝∠ABC，求点P的坐标．
（3）连接EB，在抛物线上是否存在一点Q（不与点E重合），使得S△QMB＝S△EMB，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0），C（0.3）代入y＝ax2+bx﹣3a，利用待定系数法即可求出抛物线解析式，并求出对称轴；
（2）先由抛物线解析式求得OB＝OC＝3，并求出∠ABC＝45°，再根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出∠MPB＝∠MBP，则由等腰三形判定得MP＝MB，最后由勾股定理及线段的和差关系可求出点P的坐标；
（3）先由三角形面积公式确定S△EMB＝EM BG，求出相应的点坐标及直线的表达式，利用平面直角坐标系内点的坐标特点，则可分别从当EQ∥BC和GQ∥BC时求出点Q的坐标．
解：（1）把A（﹣1，0）、C（0，3）分别代入y＝ax2+bx﹣3a得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为x＝ ＝1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，对称轴为x＝1；
（2）令y＝0得：﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝45°，
当点P在x轴上方时，
∵∠APB＝∠ABC＝45°，且PA＝PB，
∴∠PBA＝（180° 45°）＝67.5°，∠MPB＝∠APB＝22.5°，
∴∠MBP＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠MPB＝∠MBP，
∴MP＝MB，
在Rt△BMG中，BG＝MG＝2，
由勾股定理可得：BM＝2，
∴MP＝2，
∴PG＝MG+MP＝2+2，
∴P（1，2+2）；
当点P在x轴下方时，由对称性可得P点坐标为（1， 2 2）；
∴P点坐标为（1，2+2）或（1， 2 2）；
（3）存在．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，E为抛物线的顶点，
∴E（1，4），
∵S△EMB＝EM BG，
由（2）得，M（1，2），
∴EM＝4﹣2＝2，BG＝2．
设直线BC的表达式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入得，
，
解得：，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
设过点E与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，如图，当EQ∥BC时，S△QMB＝S△EMB，
则设直线EQ的表达式为y＝﹣x+m，将E（1，4）代入得，4＝﹣1+m，
解得m＝5，
∴直线FQ的表达式为y＝﹣x+5，
∵直线y＝﹣x+5与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点Q，
∴，
解得：（舍去），，
∴点Q的坐标为（2，3），
∵EG＝4，EM＝2，
∴GM＝EM＝2，
设过点G与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，如图，当GQ∥BC时，S△QMB＝S△EMB，
则设直线GQ的表达式为y＝﹣x+n，将G（1，0）代入得，0＝﹣1+n，
解得n＝1，
直线GQ的表达式为y＝﹣x+1．
∵直线y＝﹣x+1与抛物线y＝﹣x2+2x+3交于点Q，
则，
解得：，，
∴点Q的坐标为（，），（，），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（2，3）或（，）或（，）．

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