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1．已知数列和满足：，，数列的前项和为.
（1）求数列和的通项公式：
（2）设数列，求数列的前项和.
【答案】
（1），
（2）
【分析】
（1）构造等比数列，求解的通项公式；利用 求解的通项公式；（2）根据第一问的求解，得到，其中利用错位相减法求和，进而求出数列的前项和
（1）
∵
∴设，整理：
∴
∴
∴公比是2的等比数列
∴
∴
当时
当时，，符合
故的通项公式为：
（2）
∴设的前n项和为
则①
②
①-②得：
∴
∴
2．设各项均为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的公差；
（2）数列满足，且，求数列的通项公式．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）根据，，成等比数列可得，利用表示出和，解方程组可求得，结合可得结果；
（2）由（1）可得，整理得，可知数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到结果.
（1）
（1）设等差数列的公差为，
，，成等比数列，，即，
又，解得：或；
当时，，与矛盾，，
即等差数列的公差；
（2）
由（1）得：，，即，
，又，解得：，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，整理可得：.
3．已知数列{an}中，a1=3，，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由递推关系可得，再根据等差数列的定义得，即可知{an}的通项公式；
（2）由（1）得，应用错位相减法求{an}的前n项和Sn.
【详解】
（1）由得：，
∴，即数列是首项为，公差为的等差数列，
∴，故.
（2）由（1）得：，
∴①，②，
①②得：
∴ .
4．已知数列满足，，数列满足，．
（1）证明数列为等比数列并求数列的通项公式；
（2）数列满足，设数列的前项和，证明：．
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）要证明数列为等比数列，只要证明等于一定值即可，由代入化简即可得证，然后跟等比数列的通项求出答案即可；
（2）求出数列的通项，利用将裂项成，即可求得数列的前项和，从而证明结论.
【详解】
解：（1）证明：当时，，
又，数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，；
（2）证明：，，
当时，
当时，
，
当时符合，，
，
．
又，．
5．已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由，变形为，利用等比数列的通项公式可得，再利用与的关系即可得出答案；
（2）将裂项为，裂项相消求和即可.
【详解】
解：（1）因为，
所以，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以，
当时，
，
当时也成立，
所以.
（2）令，
所以数列前项和
.
6．已知数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式；
（2）错位相减法求数列的和.
【详解】
（1）因为，令，则，又，
所以，
对两边同时除以，得，
又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，故；
（2）由（1）得：
所以，
则
两式相减得
所以
故
7．已知数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令的前项和为，求证：，
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）令可求得的值，推导出，可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，求出的表达式，即可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法可求得，即可证得结论成立.
【详解】
（1）因为，令，则，又，所以.
对两边同时除以，得，
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，故；
（2）由（1）得：
所以
因为，所以，故，即.
8．已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）将已知递推式两边同除以，由等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）求得，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和.
【详解】
解：（1）由，
可得=1，
则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，
则=，
即；
（2），
.
9．已知数列中，.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为.
【分析】
（1）将递推关系式变形为即可证明；
（2）先求出数列的通项公式，再分奇偶讨论求，然后解不等式即可.
【详解】
（1）由得：，即
，即有数列是常数数列；
（2）由（1）知：
即，
当为偶数时，，显然无解；
当为奇数时，，令，解得：，
结合为奇数得：的最小值为
所以的最小值为
10．已知数列中，，为数列的前项和，当时，．
（1）证明：数列|为等比数列；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）当时，由可得，两式相减可得，
整理可得，即可得解；
（2）由（1）可得整理可得，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，即可得解.
【详解】
（1）因为当时，，所以，
两式相减，得，即．
易知，又，所以，
则，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得，
则，
所以是首项为，公差为的等差数列，
得，
所以．
11．已知数列的前项和(为正整数)
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由于题目已知给出和的关系，可令，求出，然后当时，利用，得出和的关系，有数列是首项为，公差为的等差数列，进而求得的通项公式；
（2）由得出，符合使用错位相减法求和，于是采用错位相减法，求出数列的前项和即可.
【详解】
（1）由得，
两式相减得，
即得数列是首项为，公差为的等差数列，
所以
（2）由（1）及得，
所以（1）
（2）
由（1）（2）得.
12．已知等差数列中，，，数列满足，.
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根据等差数列的下标和性质先求解出的值，结合的值可求解出公差，由此可求解出的通项公式；采用构造等比数列的方法可证是等比数列，根据首项和公比可求解出的通项公式；
（2）采用分组求和方法进行求和，其中数列的前项和需要分奇偶项进行分析，由此确定出的前项和，再结合的前项和，则的前项和可求.
【详解】
（1）设数列的公差为，
∵为等差数列，∴，∴.
∵，∴，解得.
∴.
∴，∴，
∴.
∵，
∴是首项 公比均为的等比数列.
∴，∴.
∴，.
（2），
设为数列的前项和，
则；
设为数列的前项和，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
则
∴
即
13．已知数列的前项和为，，．
（1）证明数列为等差数列，并由此求出通项公式；
（2）若数列满足，记，求满足成立最小自然数n的值．
注：已知等差数列的公差，，则
【答案】（1）证明见解析，；（2）2021.
【分析】
（1）直接利用数列的递推关系式变形得到，即可得到数列为等差数列，再根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法求出数列的和，进一步求出的的最小值．
【详解】
（1）数列的前项和为，，，
所以，
所以，
整理得（常数），
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以．
（2）由（1）得：数列满足．
所以，
故，
由于满足成立，
即，
故，所以的最小值为2021．
14．在①，；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答：
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和.
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.
【分析】
选①：（1）推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，求出，即可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项求和法可求得；
选②：（1）由可求得，当时，由可得出，两式作差可求得，再对是否满足进行检验，由此可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项求和法可求得；
选③：（1）由可求得，当时，由可得出，两式作差可求得的表达式，再对是否满足进行检验，由此可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项求和法可求得.
【详解】
若选①，（1），两边取倒数得，即，
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，故；
（2）由（1）得：，
所以；
若选②，（1）.
当时，，
两式相减得，所以，
当时，，满足上式，则；
（2）由（1）得：，
所以；
若选③，（1），时，，
两式相减得，
当时，，所以；
（2）由（1）得：，
所以.
15．已知数列的前项和为，且，数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和，并证明：.
【答案】（1），；（2），证明见解析.
【分析】
（1）利用求通项公式，构造是等比数列，求通项公式即可；
（2）先由（1）知，利用错位相减法求和再判断范围即可.
【详解】
（1）数列的前项和为，且，
当时，.
当时，，显然也适合上式.；
数列满足，.
整理得，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列.
故， ；
（2）数列满足，
故， ①
，②
①－②得：
，
整理得，故.
而，所以 .
16．已知数列满足，的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由求得，令，由得出，两式作差可得出，推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；
（2）推导出，然后利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得成立.
【详解】
（1）当时，，，
当时，，，作差得，
整理得，且，
又，所以，数列是以为首项，以为公比等比数列，，
因此，；
（2）当时，；
当时，，
.
综上所述，对任意的，.
17．已知首项为1的数列满足点在函数的图象上.
（1）求的表达式；
（2）首项为m的数列为单调递增数列，且满足，求实数m的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）点在函数的图象上即，可得数列为等比数列，从而求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得的通项，再根据数列的单调性，得到，从而求m的取值范围.
【详解】
解：（1）点在函数的图象上，
，即，
，
，
由，得，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，即.
（2）由，
得，
又数列为单调递增数列，
则，，,
∴实数m的取值范围为.
18．已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【分析】
（1）由题意可得，利用等差数列的通项公式求出后即可得解；
（2）设，利用裂项相消法求出后即可得证.
【详解】
（1）因为，所以，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列，
则有，
所以.
（2）证明：设，
，
因为，所以.
综上，.
19．在数列中，已知，，且对于任意正整数都有.
（1）令，求数列的通项公式.
（2）求的通项公式.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）由.化为，利用等比数列的通项公式即可求出；
（2）由（1）可得，可得，利用等比数列的通项公式即可求出.
【详解】
解：（1）由已知可得，
即，则是公比为的等比数列，
又，
所以，即；
（2）由（1）知，
所以，
令，
有，则是公比为的等比数列，
又，
所以，
所以.
20．已知数列的前n项和为，，且当时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见详解.
【分析】
（1）根据前项和的递推公式，构造等差数列，先求出，再利用求得；
（2）由（1）中所求，即可求得，利用裂项求和法即可求，再进行适当放缩即可.
【详解】
（1）因为当时，，
故可得，故可得数列是首项为2，公差为2的等差数列，
故可得，解得；
故当时，故可得；
又，不满足上式，
故可得
（2）由（1）可知，，
故可得；
则
则
.
又因为，
故可得，即证.
21．已知数列满足，数列的前项的和为.
（1）求出数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和.
【答案】（1）.，.（2）
【分析】
（1）根据构造法即可求出数列的通项公式，根据与的关系即可求出的通项公式；
（2）根据，即可采用分组求和法和错位相减法求出数列的前项的和．
【详解】
（1）由，可得，而，可推出，
即，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．
∴，∴.
即数列的通项公式为.
由数列的前项的和为，可得，
当时，，
当时，也符合．故数列的通项公式为．
（2）由（1）可知，
设，，
两式相减可得，
化简可得，．
而数列的前项的和为，
所以.
22．已知数列满足：，且
（1）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）令求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）
【分析】
（1）将已知等式取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【详解】
解：（1）证明：由，得，
可得，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，
且，则；
（2），
，①
，②
得，
则.
23．在数列{an}中，a1＝3，且对任意的正整数n，都有an+1＝λan+2×3n，其中常数λ＞0．
（1）设bn．当λ＝3时，求数列{bn}的通项公式；
（2）若λ≠1且λ≠3，设cn＝an，证明：数列{cn}为等比数列；
（3）当λ＝4时，对任意的n∈N*，都有an≥M，求实数M的最大值．
【答案】（1）；（2）证明见解析（3）最大值为3．
【分析】
（1）当可得,等式两边同除,进而根据等差数列定义以及通项公式求解即可；
（2）将代入中,整理后得递推关系，再根据等比数列定义即可证明；
（3）当时可得,等式两边同除并设,则,利用累加法求得,即可求得,再判断数列的单调性,进而求解即可.
【详解】
（1）当λ＝3时,有an+1＝3an+2×3n,
∴,
,则,
又∵,∴数列{bn}是首相为1,公差为的等差数列,
∴
（2）证明：当λ＞0且λ≠1且λ≠3时,
,
又∵,
∴数列是首项为,公比为λ的等比数列
（3）当λ＝4时,an+1＝4an+2×3n,
∴,
设pn,∴,
∴,
,
,
,
∴,
以上各式累加得:,
又∵,
∴,
∴,
∴,
,显然数列{an}是递增数列,
∴最小项为a1＝3,
∵对任意的n∈N*,都有an≥M,∴a1≥M,即M≤3,
∴实数M的最大值为3.
24．在数列中，
（1）求数列的通项；
（2）若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）由题意知，，从而可得是以1为首项，3为公差的等差数列，从而求通项公式；
（2）化简得，令，从而转化为求的最小值问题．
【详解】
解：（1）由已知得：
，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，，
（2）对的整数恒成立，即对的整数恒成立
整理得，令
当时，即数列为单调递增数列，所以最小，
所以的取值范围为.
25．已知数列的前项和为，且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求证：．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【分析】
（Ⅰ）因为，所以，两式相减，整理得，需验证是否满足此式，然后把两边同时加1，构造新等比数列，求出的通项公式，从而得解；
（Ⅱ）先求出的通项公式，并进行放缩，得到，再利用等比数列求和公式进行求和，得到，进一步得到.
【详解】
（Ⅰ）由题意知，，，
令，得，即，
解得，
由，，
两式作差，得，
即，
又，
所以，且，
故，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以，
所以数列的通项公式为.
（Ⅱ）
，
则
.
所以.
26．已知数列的前项和为，且对于任意正整数，有，，成等差数列，且数列满足．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）利用等差数列的性质并结合得递推关系，再构造等比数列求解的通项，同样的方法求的通项；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）求得，利用分组求和及错位相减法求解即可．
【详解】
解：（Ⅰ）因为，，成等差数列，
则，①
当时，，解得，
当时，，②
①②得，
即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，
故．
又由，③
得当时，，
当时，
，④
③④得，经验证当时也适合，
故所求的数列，的通项公式分别为
，．
（Ⅱ）
，
设，
，
两式相减可得
，
则，
．
27．已知数列中，.
（1）证明数列是等比数列并求数列的通项公式；
（2）若数列的通项公式，数列满足，记数列的前项和为.若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；；（2）.
【分析】
（1）推导出，由此能证明数列 是以3为公比，以为首项的等比数列，从而的通项，由此能求出 的通项公式．
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和，再对 分奇、偶两种情况分别求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1）因为，所以 .
所以，且 .
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列.
因此，从而 .
（2）由（1）得，
所以……①，
……②，
由①-②得，
所以.
因为不等式对任意 恒成立，
所以当为偶数时，，因为 ，所以；
当为奇数时，，因为 ，所以；
综上：实数的取值范围是.
28．已知在数列中，，．
（1）记，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）依题意可得，即可得到是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算得到，从而计算可得；
（2）利用错位相减法求和；
【详解】
（1）证明：由题意，得，
所以又，
所以，
故数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以，即，所以，
故数列的通项公式为．
（2）解：由（1）知，
所以
两式相减，得
所以
29．已知数列的每一项都是正数，，且对所有的正整数恒成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）是以为首项4为公比的等比数列，计算得到答案.
（2），利用错位相减法计算得到答案.
【详解】
（1）∵，所以是以为首项4为公比的等比数列，
∵，∴，且的每一项都是正数，∴.
（2），
，
，
两式相减得到：，
化简整理得.
30．①，②，，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知数列的前项和为，，______，求的表达式．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析．
【分析】
若选①，写出当时表达式与原式作差可得，结合等比数列求和公式即可求出的表达式；若选②，整理得，结合等差数列的定义和通项公式可得，由等比数列的求和公式可求出的表达式；若选③，构造新数列是以为首项，4为公比的等比数列，求出，结合分组求和方法可得的表达式.
【详解】
若选①：因为，
所以当时，．
两式相减，可得，则，故，
故，，经验证也符合该式，故，
则．
若选②：因为，所以等式两边同时除以，得，
故数列是公差为0的等差数列，即常数列．所以，
即，（1）由，得，所以．（2）
由（1）－（2）得，即，故，
经验证也符合该式，则．
若选③，因为，故，
所以数列是以为首项，4为公比的等比数列，故，
即．则
．
31．已知数列是公比大于的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列.数列的前项和为，满足，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和为；
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得；运用等差数列的定义和通项公式可得；
（2）求得，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和.
【详解】
（1）由已知，得，
即，也即，解得，，
故；
，，可得是首项为1，公差为的等差数列，
，，
当时，，
经检验时也符合上式.
则，；
（2），
设，
所以，
两式相减得
=
所以，
所以.
32．已知数列满足，.
（1）证明：存在等差数列，当时，成立；
（2）求的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
解法一：（1）将代入递推关系，化简得到，满足等差数列定义，即得证；
（2）求得的通项公式，代入化简，即可求出的通项公式.
解法二：（1）取，代入验证递推关系是否满足即可；
（2）化简递推关系为，则是等差数列，写出通项，即可求得的通项公式.
【详解】
解法一：（1）当时，由，得，
化简得，即，
这说明是等差数列，故存在一个等差数列，当时，成立.
（2）依题意，，
又由（1）知，所以，即，
所以等差数列的公差
所以，
故.
解法二：（1）由已知，当时，因为，，
所以，，
故令，则数列是首项为1，公差为2的等差数列.
此时，代入验算满足，
故存在一个等差数列，当时，成立，命题得证.
（2）由，得，
由，得，
所以，
所以是首项为，公差为1的等差数列，
即，
所以.
33．已知数列和满足，，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的正整数的值.
【答案】（1），；（2）或.
【分析】
（1）推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得的通项公式，即可得出的通项公式，利用裂项求和法可求得的通项公式；
（2）利用错位相减法结合分组求和法可求得，根据已知条件可得出关于的二次不等式，结合可得出的取值.
【详解】
（1）对任意的，，则，且，
所以，数列是等比数列，且首项和公比均为，
故，，
因为，
所以，
；
（2）设数列的前项和为，
则，
所以，，
上式下式，得，
所以，，
，
则，
由可得，
整理可得，解得，
因为，故或.
34．已知数列的首项，，、、．
（1）证明：对任意的，，、、；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）推出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而可求得的通项公式，然后利用配方法可证得结论成立；
（2）取，由（1）中的结论结合等比数列求和可证得所证不等式成立.
【详解】
（1）对任意的，，则，
因为，可得，，，
以此类推，可知，对任意的，，且有，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，解得，，
对任意的，，
，得证；
（2）由（1）可知，对任意的，
有
取，
所以，，故原不等式成立.
35．已知数列满足，若数列满足，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）利用递推作差法求出通项公式，且证明当时也符合，再利用构造法结合已知条件求出的通项公式；
（Ⅱ）借助分组求和、等差、等比数列求和公式即可求出数列的前项和．
【详解】
（Ⅰ）由得
当时，，可得；
当时，，
两式相减得，
所以，
当时也满足上式，
所以的通项公式为，
因为，
因为，
所以，
即，且，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
．
36．已知数列满足：，．
（1）证明：数列是等比数列并求数列的前项和为．
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【分析】
（1）要证数列是等比数列，只需证明等于同一个常数即可，根据构造即可得证；求出数列的通项公式，利用分组求和法即可求出数列的前项和；
（2）求出数列得通项公式，利用错位相减法即可求得数列的前项和．
【详解】
（1）证明：因为，
所以，即，
，
所以数列是以2为首项2为公比的等比数列，
则 ，故，
所以
；
（2）解：，
则①
②
①②得：
所以.
37．已知数列满足，设．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）设数列的前项和为，则，则，两式作差，化简整理可得，根据等比数列的定义，即可得证.
（2）由（1）可得，利用错位相减求和法，计算化简，即可得答案.
（1）
证明：由题得，，
设数列的前项和为，则，
据此，
上述两式相减得，
经检验，当时，也成立，
所以，即，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列
（2）
由（1）可得，
则，将此式两边同时乘以3，
得3，
上述两式错位相减得，，
化简得，
38．已知数列中，，.
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【答案】
（1）证明见解析，
（2）
【分析】
（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，即可求出的通项公式；
（2）依题意可得，再利用错位相减法求出，则，再根据指数函数的性质对分奇偶两种情况讨论，即可求出参数的取值范围；
（1）
解：因为，，所以，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以
（2）
解：因为，所以，
所以
两式相减得，
所以，所以．
令，易知单调递增，
若为偶数，则，所以；
若为奇数，则，所以，所以．
所以．
39．已知数列中，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）数列满足的，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得到，即可得证；
（2）由（1）可得，从而得到，再利用错位相减法求和即可得到，即可得到，对一切恒成立，再对分奇偶讨论，即可求出的取值范围；
（1）
解：由，得
∴，
所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列 .
（2）
解：由（1）得，即.
所以
.
两式相减得:，
∴
因为不等式对一切恒成立，
所以，对一切恒成立，
因为单调递增
若为偶数，则，对一切恒成立，∴；
若为奇数，则，对一切恒成立，∴，∴
综上：.
40．已知数列的前n项和为，其中，满足．
（1）证明数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由可得，即可证明；
（2）可得，，，然后可算出答案.
【详解】
（1）由可得，
因为，所以
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列
（2）根据（1）可得：，
所以，
所以，
所以

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