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代入消元风光无限
一、直接代入——一个未知数为另一个未知数的表达式
例1解方程组：
分析：方程①的特点是用含x的代数式表示y，所以可直接把①代入②消去y.
解：把①代入②，得4x-3（2x-3）=1，解得x=4.
把x=4代入①，得y=5.
所以原方程组的解为
二、变形代入——方程组中某一未知数的系数的绝对值是1
例2解方程组：
分析：方程①中y的系数是-1，可将方程①变形为y=5x-9，再将其代入②即可消去y.
解：由①，得y=5x-9③，把③代入②，得3x+4（5x-9）=10，解得x=2，把x=2代入③，得y=5，所以原方程组的解为
三、整体代入——方程组中某一未知数的系数成整数倍的关系
例3解方程组：
分析：方程②中x的系数是方程①中的x的系数的4倍，可把①变成2x=16-5y整体代入②，即可消去x.
解：由①，得2x=16-5y. ③
把③代入②，得4（16-5y）-7y=10，解得y=2.
把y=2代入③，得x=3.
所以原方程组的解为
四、常数代入——方程组中两个方程的常数项相等
例4解方程组
分析：方程①和方程②的常数项相等，可用常数项代入.
解：把①代入②，得3y-5x=3x+7y，所以x=-. ③
把③代入②，得3y+=11，解得y=2.
把y=2代入③，得x=-1.
所以原方程组的解为
① ②
① ②
① ②
① ②
第 2 页 共 2 页躲在长方形中的方程组
在方程组的应用题中，我们常常会遇到把若干个小长方形拼接成一个大长方形的问题.这类题目主要向同学们渗
透数形结合的数学思想，较好地把数、式、图形有机地结合起来.下面举例说明.
例1 如图1，宽为50 cm的大长方形图案是由10个完全一样的小长方形拼成，则其中一个小长方形的面积为
_____cm2.
图1
分析：求小长方形的面积，需先求出小长方形的长与宽，从图中大长方形的长与宽可以找到小长方形的长与宽
满足的两个等式，因此可借助方程组求得小长方形的长与宽.
解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，则大长方形的长可以表示为2x cm或（x+4y）cm，大长方形的宽可
以表示为（x+y）cm.
根据题意，得解得
所以小长方形的面积为40×10＝400(cm2).
故填400.
例2 如图2，在长方形ABCD中，放置了6个形状、大小相同的小长方形，有关的数据如图2所示，则图中阴
影部分的面积为_____.
图2
分析：显然图中阴影部分的面积等于长方形ABCD的面积减去6个小长方形的面积.小长方形的长与宽和长方
形ABCD的长与宽之间存在着两个等量关系，由此列方程组可求出小长方形的长与宽，进而求出长方形ABCD的长与宽.
解：设小长方形的长为x，宽为y，则长方形ABCD的长可表示为x+3y，宽可表示为x+y或2y+6，由图中数
据可得解得
所以S长方形ABCD＝14×（6+2×2）＝140.
S阴影=140-6×8×2=44.
第 2 页 共 2 页二元一次方程组考点展示
考点1 二元一次方程组的概念
掌握二元一次方程组的概念：含有两个未知数，所含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程．
例1 方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 .
解析：利用二元一次方程组的概念求出a与b的值，代入原式计算即可．
由题意，得|a|=1，b-5=0，a-1≠0，解得a=-1，b=5.
所以ab=（-1）5=-1．
故填-1．
考点2　二元一次方程组的解
根据二元一次方程（组）解的意义，一般是将二元一次方程（组）的解代入方程（组）得到关于未知数的方程
或方程组，进而解方程或方程组求得未知数的值，但有时不需要解出未知数的值，而是运用整体法直接求代数式的值.
例2（2020年绍兴）若关于x，y的二元一次方程组的解为则多项式A可以是　 　（写出一
个即可）．
解析：根据方程组解的概念，应满足方程组的每一个方程．
所以只要使列出的关于x，y的代数式的值为0即可，所以多项式A的答案不唯一，如x﹣y或2x-2y．
故可以填x﹣y．
考点3　解二元一次方程组
解二元一次方程组的思路是将“二元”化为“一元”，在解答时要根据方程组的特点选择合适的方法.一般地，若有
一个方程的某个未知数的系数为1或一个方程的常数项为零时，优先考虑代入法；若两个方程的某个未知数的系数相同或相反或成倍数关系时，优先考虑加减法.
例3（2020年乐山）解二元一次方程组：
解析：利用加减法与代入法都可以，下面选择加减法．
①×3，得 6x+3y＝6.③
②-③，得 2x＝3，解得x=.
把x=代入①，解得 y＝-1.
所以原方程组的解为
考点4　二元一次方程的应用
要求两个量，但只知一个等量关系，此时可以列二元一次方程，通过变形求出二元一次方程的整数解．
例4 （2020年齐齐哈尔）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3
元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
解析：设可以购买x支康乃馨，y支百合.根据题意，得2x+3y＝30.
所以+10．
因为x，y均为正整数，所以或或或
所以小明有4种购买方案．
故选B.
考点5　二元一次方程组的应用
例5 （2020年重庆）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产
量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/千克，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A，B两个品种全部售出后总收入为21 600元．
（1）求：A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩
产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A，B两个品种全部售出后总收入将增加a%．求a的值．
分析：（1）根据等量关系“A品种玉米的收入+B品种玉米的收入=21600”及“B品种的平均亩产量-A品种的平
均亩产量=100”列方程组求解.
（2）根据等量关系“预计调整后A品种玉米的收入+B品种玉米的收入=21600（1+a%）”列方程求解．
解：（1）设A，B两个品种去年平均亩产量分别是x千克，y千克.
根据题意，得解得
所以，A，B两个品种去年平均亩产量分别是400千克，500千克.
（2）根据题意，得2.4×（1+a%）×10×400+2.4×（1+a%）×10×500×（1+2a%）＝21600（1+a%），解得a=10.
所以a的值为10．
①
②
第 1 页 共 2 页认真纠错 引以为戒
一、概念不清
例1 下列方程组：①②③④其中属于二元一次方程组的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
错解：选D．
剖析：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．二元一次方程组的必备条件：
①至少含有两个一次方程；②一共含有两个未知数，而不一定要每个方程都含有两个未知数；③每个方程都是整式方程．方程组①中xy=7是二次方程，不是二元一次方程组；方程组②中方程2x+=1不是整式方程，该方程组也不是二元一次方程组；方程组③④符合二元一次方程组的概念，都是二元一次方程组．
正解：_________________.
二、周而复始，循环代入
例2 解方程组：
错解：由①，得y=3x-5．③
把③代入①，得3x-(3x-5)=5，则3x-3x+5=5，即5=5．
所以原方程组无解．
剖析：导致错误的原因在于由方程①得到了方程③，却又把③代回了①，犯了循环代入的错误．解方程组时，必
须用上每一个方程.本题由方程①得到了方程③后，只能把③代入②，而不能代入①．
正解：_________________.
三、加减消元，符号惹祸
例3 解方程组
错解：①-②，得-4y=-4.解得y=1．
把y=1代入②，得x-1=6.解得x=7．
所以原方程组的解是
剖析：用加减消元法解二元一次方程组时，要注意加减过程中未知数系数的符号．在两个方程相加减时，要带着
前面的性质符号一同计算．本例错解中，①－②时，含未知数y的项相减时应为-3y-（-y）=-3y+y=-2y，而不是-4y．
正解：_______________.
参考答案：例1 B 例2 例3
第 1 页 共 2 页一种题型多种解法
“已知方程组的解满足方程mx+ny=p，求……”是方程组中一类非常重要的题型，现就其解法点拨如下：
一、开门见山直接解方程组再将方程组的解代入方程mx+ny=p
例1若关于x，y的方程组的解满足x+2y=3，求m的值.
分析：将m看做已知数，解关于x，y的方程组，用含m的代数式表示出x，y，再代入x+2y=3中即可求出m的值.
解：①+②，得3x=2m-5.解得x=.
把x=代入①，得+y=m-2.解得y=.
把x=，y=代入x+2y=3，得+2·=3，解得m=4.
二、正难则间，打破重组
例2 已知方程组的解满足方程9x+2y=-19，求k的值.
分析：依题意可知含x，y的三个方程同解，将不含字母k的两个方程联立可得关于x，y的新方程组，解这个方
程组，再将x，y的值代入方程2x+ky=26可求得k的值.
解：解方程组得
把代入方程2x+ky=26，得-2-5k=26，解得k=.
三、着眼整体，拼而凑之
例3 若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y=5，求k的值.
分析：根据方程组的解满足x+y=5，观察方程组两个方程相同未知数的和都是5，所以只要将方程组中的两个方程
整体相加即可确定x+y的值，令其等于5，即可求出k的值.
解：将方程组中的两个方程左、右两边分别相加，得5x+5y=10k-10，即x+y=2k-2.
因为x+y=5，所以2k-2=5，解得k=.
第 1 页 共 2 页列方程组 找关键语句
1．高铁设计
例1被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342
千米，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36千米．求隧道累计长度与桥梁累计长度．
分析：设隧道累计长度为x千米，桥梁累计长度为y千米，根据“隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342千米，
隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36千米”，可得出关于x，y的二元一次方程组．
解：设隧道累计长度为x千米，桥梁累计长度为y千米.
根据题意，得解得
答：隧道累计长度为126千米，桥梁累计长度为216千米．
2．商品销售
例2某专卖店有A，B两种商品，已知在打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和
10件B商品用了840元，A，B两种商品打相同折扣以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，问：打了多少折？
分析：设打折前A商品的单价为x元/件，B商品的单价为y元/件，根据“买60件A商品和30件B商品用了1080
元，买50件A商品和10件B商品用了840元”，列方程组求得x，y的值，再算出打折前购买500件A商品和450件B商品所需钱数，结合少花钱数可求出折扣．
解：设打折前A商品的单价为x元/件，B商品的单价为y元/件.
根据题意，得解得
500×16+450×4=9800（元），=.
答：打了八折．
第 1 页 共 1 页

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