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求不等式中的字母取值（范围）三类型
1.依据解集定义，代入求解
例１已知x＝2是不等式x-3m+1≤0的一个解，那么m的取值范围为　 　．
解析：由不等式解的定义，知x＝2满足不等式x-3m+1≤0，所以2-3m+1≤0，根据不等式的性质解得m≥1．
故填m≥1．
2.求出解集，列方程（组）求解
例2　关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集为x≤﹣1，则a的值是　　．
解析：根据不等式的基本性质解不等式2x-a≤-1，得x≤.
因为不等式的解集为x≤-1，所以＝-1，解得a＝-1．
故填-1．
3.借助数轴，分析求解
例3已知关于x的不等式2x＞4的解都是不等式x-a＞5的解，则a的取值范围是（　　）
A．a＞-3 B．a≥-3 C．a≤-3 D．a＜-3
解析：根据不等式的性质，解不等式2x＞4，得x＞2；解不等式x-a＞5，得x＞a+5.
因为不等式2x＞4的解都是不等式x-a＞5的解，结合图1所示的数轴可知a+5≤2，解得a≤-3．
故选C．
图1
例4 若不等式的正整数解只有4个，则m的取值范围是_____.
解析：根据不等式的基本性质解不等式x-m≤0，得x≤m.因为不等式的正整数解只有4个，即为1，2，3，4，结合图1所示的数轴可知4≤m＜5.
图2
●
第 1 页 共 1 页远离不等式的误区
1.列不等式出错
例1 用不等式表示：
（1）y的3倍不大于2y+1；
（2）x与5的和不小于x的一半.
（3）小明在一次检测中，数学和英语的平均分是83分，若语文、数学、英语三科的平均分至少为80分，求
语文分数x应满足的不等式.
错解：（1）3y<2y+1；（2）x+5>；（3）（83×2+x）>80.
剖析：错解在对“不大于、不小于、至少”理解不正确，不大于表示小于或等于，用“≤”连接 ；不小于表示大于
或等于，用符号“≥”连接；至少用符号“≥”连接.
正解：_____________________.
2.混淆“解”与“解集”的概念出错
例2 下列说法：①x=2是不等式x+1>2的解集；②x<2是不等式x-2<0的解；③x>3是不等式2x-6>0的解集；
④不等式x+4＜5有一个正整数解；⑤x+3＜4的解有无限多个．其中正确的有__________.
错解：①②④.
剖析：不等式x+1>2的解集是满足此不等式的所有x的值的集合，表示为x>1，而x=2是其中的一个解，故①
不正确； x<2是不等式x-2<0所有解的集合，所以x<2是不等式x-2<0的解集，不能说成是不等式x-2<0的解，故②不正确；x>3是不等式2x-6>0的解集，故③正确；不等式x+4＜5的解集为x＜1，该范围内没有正整数，故④不正确；x+3＜4的解集是x＜1，显然其解有无限多个，故⑤正确.
正解：_____________________.
3.应用不等式性质判断出错
例3 已知m>n，下列式子：①m2>n2；②m-2>n-2；③m-n>0；④-2m>-2n；⑤am>an.其中正确的有（ ）
A. 2个 B.3个 C.4个 D.5个
错解：选D.
剖析：①不正确，如当m=2，n=-3时，m2=4，n2=9，显然m2n两边
都减去2，得m-2>n-2；③正确，根据不等式的性质1，在m>n两边都减去n，得m-n>0；④不正确，根据不等式的性质3，在m>n两边都乘以-2，得-2m<-2n；⑤不正确，因为a的取值不确定，所以应分情况讨论：当a＞0时，am>an；当a=0时，am=an；当a＜0时，am＜an.
正解：_____________________.
4.用数轴表示不等式的解集出错
例4 在数轴上表示解集x≥-1.
错解： 如图所示：
剖析：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定界点时要注意，点是实心还是空心，若界
点含于解集为实心圆点，不含于解集为空心圆圈；二是定方向，定方向的原则是：小于向左画，大于向右画．
正解：_____________________.
参考答案：例1（1）3y≤2y+1；（2）x+5≥；（3）（83×2+x）≥80.
例2 ③⑤. 例3 A
例4如图所示：
第 2 页 共 2 页通过对比掌握性质
一、性质对比
1.不等式的基本性质：
不等式基本性质 文字叙述 数学语言
性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变 若a>b，则a±c>b±c
性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a>b且c>0，则ac>b或
性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若a>b且c<0，则ac等式的基本性质：
等式基本性质 文字叙述 数学语言
性质1 等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式 若a=b，则a±c=b±c
性质2 等式的两边都乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc（c为常数）或（c≠0）
理解:（1）性质1主要涉及了加减运算，应注意不等式两边要同时进行加减运算，且两边加上或减去的必须是
同一整式；（2）不等式的性质2和性质3都是利用乘除运算对不等式进行变形的，两者存在很大差别，关系到不等号的方向变与不变，是等式的基本性质和不等式基本性质的根本区别.
2.等式和不等式基本性质的区别
相同点：性质1相同；
不同点：（1）对于等式，在等式的两边都乘以(或除以)同一个正数或同一个负数，情况一样，即等式仍然成立；
但是，对于不等式来说却不同，不等式两边都乘以(或除以)同一个正数时，不等号方向不变，而不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号要改变方向；（2）等式的基本性质是解一元一次方程的理论依据，不等式的基本性质是解一元一次不等式的理论依据.
二、分清正反，灵活应用
1.正向应用
例1 如果a＜b＜0，下列不等式中错误的是（ ）
A.ab>0 B. a+b<0 C.<1 D.a-b<0
解析：由a＜b＜0，可得ab>0，a+b＜0；不等式两边都除以b，可得＞1；不等式两边都减去b，可得a-b＜
0.所以错误的是C.故选C.
2.逆向应用
例2 如果不等式ax＞b的解集是x＜，那么a的取值范围是____.
解析：依题意，解不等式ax＞b时，两边同时除以a，不等号的方向改变了，即利用了不等式的基本性质3，
需加条件a＜0.故填a＜0.
第 2 页 共 2 页解一元一次不等式秘密武器
秘密武器一 巧移项
例1 解不等式：x+＞x-．
分析：常规解法是先去分母，但注意到-=2， --= -1，于是先移项，则可快速获解.
解：移项，得x-x＞--.
合并同类项，得2x＞-1.
系数化为1，得x＞-.
秘密武器二 巧用不等式的性质
例2 解不等式：-＜3+.
分析：仔细观察发现-=，于是利用不等式的性质，可以将问题简化.
解：不等式变形，得-＜3-.
两边同时加上，得＜3.
系数化为1，得x＜6.
秘密武器三 巧用分数的基本性质
例3 解不等式：.
分析：根据分数的基本性质，先将分子、分母整数化，化为整数系数的一元一次不等式，则可以避免错误，巧妙获解.
解：整理得.
去分母，得30x-7（17-10x）≥21.
去括号，得30x-119+70x≥21.
移项、合并同类项，得100x≥140.
系数化为1，得x≥1.4．
第 1 页 共 1 页一道例题的变式探究
例题呈现：（1）比较a与a+2的大小；（2）比较2与2+a的大小；（3）比较a与2a的大小.
命题意图：本题看似是比较代数式的大小，本质是不等式基本性质的灵活运用，关注了分类讨论思想方法的考查.
分析:（1）想到0<2，不等式两边同时加a；（2）类比（1），从0与a的大小思考，由于题目中没有明确0与a的大小，要分类讨论，然后两边同时加2；（3）想到1<2，不等式两边同时乘以a，但a的正负不确定，所以需分类讨论.
解：（1）由0<2，两边都加a，得a（2）当a>0时，两边都加2，得2+a>2；当a=0时，两边都加2，得2+a=2；当a<0时，两边都加2，2+a<2.
（3）由1<2，当a=0时，a=2a；当a>0时，两边都乘以a，得a<2a；当a<0时，两边都乘以a，得a>2a.
【变式1】若a＞b，讨论ac与bc的大小关系．
分析：本题与原题（3）比较，将数换成了字母，但明确了大小关系，只需把c的值分三种情况讨论，再比较．
解：由a＞b，当c＞0时，ac＞bc；当c=0时，ac=bc；当c＜0时，ac＜bc．
【变式2】比较下列代数式的大小．
（1）2a-3与2a+1；（2）3a与-a．
分析：本题与原题比较，代数式更加复杂，考虑应用不等式的基本性质.（1）由-3<1，两边都加2a；（2）由3>-1，两边都乘以a，a的值需分情况讨论.
解：（1）由-3<1，两边都加2a，得2a-3<2a+1；
（2）由3>-1，当a=0时，两边都乘以a，得3a=-a；当a>0时，两边都乘以a，得3a>-a；当a<0时，两边都乘以a，得3a<-a.
温馨提示：本题也可以利用作差法，同学们自己试一试！
【变式3】赵军说不等式2a＞3a永远不会成立，因为如果在这个不等式两边同除以a，就会出现2＞3这样的错误结论．你同意他的说法吗？若同意，请说明其依据；若不同意，请说出错误的原因．
分析：本题与原题相比属于逆向思考的题目，已知代数式的大小，去探究理由.可以先假设成立，然后结合不等式的基本性质2和3，不等式的两边都除以一个数时要考虑这个数是正数还是负数判断．
解：他的说法不正确．
因为a的值不确定，所以解题时不等式的两边不能同时除以a.
若2a＞3a，则2a-3a＞0，-a＞0，则a＜0．
所以，赵军错误的原因是两边除以a时不等号的方向没有改变．巧用数轴确定字母取值范围
数轴是理解不等式解集与解不等式（组）的重要工具，是数与形结合的基础.借助数轴解题，可以化难为易、化繁为简.本文主要讲解数轴在求不等式组中字母取值范围问题时的巧妙应用.
例1 若关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（ ）
A.a>1 B.a<1 C. a≥1 D. a≤1
解析：把不等式组中每个不等式的解集画在数轴上，不等式组的解集为x＞1，说明a在1的左边或等于1，如图1所示，所以a≤1.
故选D.
图1
例2 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是　　　　.
解析：解不等式①，得x≤2.解不等式②，得x＞a.
将两个不等式的解集表示在数轴上如图2所示，由不等式组无解，可知a在2的右边或等于2.所以a≥2.
图2
例3 若关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是_____.
解析：解不等式①，得x＞-2.解不等式②，得x≤.
所以不等式组的解集是-2＜x≤.
因为不等式组只有两个整数解，即-1，0.
将两个不等式的解集表示在数轴上如图3所示，可知0≤＜1，解得-2≤m＜1.
图3
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