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对比学方根
平方根、算术平方根、立方根，这三个概念既有联系，又有区别，容易混淆.下面采用列表的方式给予归纳概括．
算术平方根 平方根 立方根
概念 若（x≥0），则x叫做a的算术平方根 若，则x叫做a的平方根 若，则x叫做a的立方根
表示方法
a的取值范围 a≥0 a≥0 a为任意实数
性质 正数有一个算术平方根；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根 正数的平方根有两个；②0的平方根是0；③负数没有平方根 ①正数的立方根是正数；②0的立方根是0；③负数的立方根是负数
重要结论
求法 开平方（取非负值） 开平方 开立方
注意：1.对于有两点意义要理解：（1）被开方数a是非负数，即a≥0；（2）也是非负数，即≥0.
2.开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0可以进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个非负数；但“开平方”只有正数和0才可以“开平方”，负数不能开平方.
因为平方和开平方互逆，故可通过平方来找一个数的平方根，也可验算平方根是否正确.
3.开立方与立方运算互为逆运算.
因为开立方和立方互逆，故可通过立方来找一个数的立方根，也可验算立方根是否正确.
第 1 页 共 1 页以课本为源 学简单估算
“变式”能够教会我们从不同视角把握问题的本质，学会举一反三，能有效地解决“一听就会，一遇新题便
一筹莫展”的难题.
原题呈现：（七年级下册P47第6题）估计与最接近的两个整数是多少.
思路引导：解题关键是把的值限制在n和n+1这两个连续整数之间，通常的方法是确定40在哪两个平方
数之间，从而得到n＜＜n+1.
解法展示：因为36＜40＜49，即6＜＜7，所以与最接近的两个整数是6和7.
方法引荐：关于估计方根的取值问题，一方面要注意灵活利用平方根或立方根的定义，从平方或立方入手；另
一方面要学会用夹逼法.所谓“夹”就是从两边确定范围，而“逼”就是一点点加强限制，使其所处的范围越来越小，从而达到要求的精确程度.
变式1 估计+1的值在（　 ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间　 C. 4到5之间　 D. 5到6之间
分析：解题关键是把的值限制在和这两个连续整数之间.
解：因为4＜6＜9，即2＜＜3，所以3＜+1＜4，故选B.
变式2 若m＜＜m+1（m为整数），则m为（　 　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
分析：先确定97在哪两个连续整数的平方之间，然后估算出的范围，即可以判断m的值.
解：因为81＜97＜100，即＜＜，所以9＜＜10，所以m=9.故选B.
变式3 已知a，b为两个连续的整数，且a＜-1＜b，则ab= .
分析：先估算出的范围，就容易得到-1的范围，再求出a，b值，最后代入求出即可.
解：因为9＜14＜16，即3＜＜4，所以2＜-1＜3，所以a=2，b=3，所以ab=23=8.故填8.
第 1 页 共 1 页实际生活中的开方应用
一、开平方的实际应用
例1 学校准备在旗杆附近修建一个面积为81 m2的花坛，现有两种设计方案：
方案一：建成正方形.
方案二：建成圆形.
如果请你决策，从节省材料的角度考虑，你选择哪一种方案？请说明理由（取3.14）.
分析：从节省材料的角度考虑，就是用料少，即花坛周长小，因此只需要由已知条件计算出两种方案中各图形的周长，然后比较大小即可.
解：选择第二种方案.理由：
设正方形的边长为a m，由题意，得a2=81，则a=±=±9.
又因为a＞0，所以a=9，4a=36.
所以方案一建成正方形的花坛需要用料36 m；
设圆的半径为r m，由题意，得r2=81，则r=≈±5.08.
又因为r＞0，所以r≈5.08，2r≈31.90.
所以方案二建成的圆形花坛需要用料约31.90 m.
因为31.90＜36，所以第二种方案用料少一些.所以选择第二种方案.
二、开立方的实际应用
例2 张师傅打算用铁皮焊制一个密封的正方体水箱，使其容积为1.331立方米，求需要多大面积的铁皮.
分析：求所需铁皮的面积，即求正方体的表面积，需知正方体的边长，根据正方体的容积为1.331立方米，开立方即可求出棱长.
解：设水箱的棱长为x米，由正方体体积公式，得x3=1.331，所以x==1.1.
因为正方体有6个面，所以6×1.12=7.26，即所需铁皮的面积是7.26平方米.
例3 郝老师有棱长为50厘米的两只正方体纸箱装满书，他现在把这些书都放入一个新制的正方体木箱内，结果正好放下，求此木箱的棱长（结果精确到0.1厘米）.
分析：根据两只木箱内的书正好放入新制的木箱，说明两只木箱的体积之和等于新木箱的体积，若设新木箱的棱长为x厘米，则可建立方程解决.
解：设新木箱的棱长为x厘米，根据题意，得2×503=x3.解得x≈63.0，即此木箱的棱长为63.0厘米.
第 1 页 共 1 页初识两根，你出错了吗
有关平方根、立方根的许多题目，求解的思路不难，但解题时，同学们往往由于审题不清、考虑不周而出错.
下面将对这部分内容易出现的几种常见错误进行分析，希望同学们能够远离这些错误.
一、表达方式不正确
例1 的平方根是，用数学式子表示为________.
错解： =.
剖析：非负数a的平方根用式子表示为，算术平方根表示为.在式子“=”中，左边表示
的是的算术平方根，而右边表示的却是的平方根，故错误.
正解： .
二、平方根、算术平方根的概念混淆
例2 的值是________.
错解： 因为（±100）2=10 000，所以=±100.
剖析：错解混淆了平方根与算术平方根的概念，算术平方根是非负数的非负平方根.
正解： .
三、平方根、立方根的概念混淆
例3 343的立方根是________.
错解：343的立方根是±7.
剖析：错解混淆了正数的平方根与立方根的区别，一个数的立方根只有一个.
正解： .
四、审题不清
例4 的算术平方根是________.
错解：的算术平方根是25.
剖析：错解误认为是求625的算术平方根，由于=25，因此本题实际上是求25的算术平方根.
正解： .
五、一知半解
例5 的值是________.
错解：=-0.25.
剖析：表示（-0.25）2的算术平方根，而算术平方根具有非负性.
正解： .
六、忽视限制条件
例6 -0.01的平方根是（ ）
A. ±0.1 B. 0.1 C. ±10 D. 不存在
错解：-0.01的平方根是±0.1，选A.
剖析：对于数a，总有a2≥0，所以负数没有平方根或算术平方根.
正解： .
参考答案：例1 = 例2 100 例3 7 例4 5
例5 0.25 例6 D
第 1 页 共 2 页两数大小巧比较
比较两个数大小的方法有很多，但是最主要的是根据要比较的两数的特点选取适当的方法. 下面介绍几种两数大小的常用比较方法，供同学们参考.
一、法则比较法
适用于比较容易看出或估算出两数绝对值大小的两个数. 根据法则“正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小”来比较大小.
例1 比较下列各组数的大小：
（1）-，；（2）-2，-.
解析：（1）-＜0，＞0，根据“正数大于一切负数”，得-＜.
（2）因为2＞，根据“两个负数，绝对值大的反而小”，得-2＜-.
二、平方比较法
适用于符号相同的两个数. 根据“当a，b都是正数时，若a2＞b2，则a＞b；若a2＜b2，则a＜b；若a2=b2，则a=b. 当a，b都是负数时，若a2＞b2，则a＜b；若a2＜b2，则a＞b；若a2=b2，则a=b”来比较大小.
例2 比较与的大小.
解析：因为（）2=，（）2=5，而＞5，所以＞.
三、求差比较法
根据“若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b；若a-b=0，则a=b”来比较大小.
例3 比较与0. 25的大小.
解析：因为0. 25=，要比较与0. 25的大小，只要比较与的大小即可，为此可用作差法来比较.
因为-1-1＞0，所以-1＞1.
所以＞.
所以＞0. 25.
四、中间值比较法
根据“若a＜c，c＜b，则a＜b；若a＞c，c＞b，则a＞b”来比较大小，其中c为中间值.
例4 比较与的大小.
解析：可取一个中间值，借助这两个数与中间值的大小关系来比较这两个数的大小.
因为＞2，2=＞，所以＞.
第 1 页 共 2 页实数考点展示
考点1 算术平方根、平方根、立方根
解题技巧：算术平方根、平方根和立方根都与开方运算相关，解题时要理解它们的含义，明确它们之间的区别与联系. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根是这个数的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根，也没有算术平方根；任意一个实数都有立方根，非零实数的立方根与这个实数的符号相同.
例1 的平方根是（ ）
A. ±14 B. 14 C. ± D.
分析：先算的值，然后求其平方根.
解：=14，14的平方根是±.故选C.
考点2 实数的概念及分类
解题技巧：对无理数的判断问题，把握常见的三类无理数是关键，开方开不尽的数是其中一种.
例2 有下列说法：①是有理数；②是分数；③是无理数；④的立方根是无理数；⑤
的相反数是.其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
分析：判断一个实数是有理数还是无理数，主要根据有理数和无理数的定意义，不要被其外形所迷惑.
解：=-3是有理数，故①正确；形式上像分数，但不是，它是无理数，故②不正确；是无理数，
故③正确；即8的立方根是2，故④不正确；的相反数是-，故⑤不正确.故选B.
考点3 的非负性
解题技巧：具有双重非负性：被开方数具有非负性，即a≥0；具有非负性，即≥0.
例3 若与｜y-3｜互为相反数，则x+y的值为 .
分析：利用互为相反数的两个数和为0，及非负数的性质“若干个非负数的和为0，则其中每个非负数均为0”
求解.
解：根据题意，得+｜y-3｜=0.
由非负数的性质，得x2-9=0，y-3=0，解得x=±3，y=3.
所以x+y=0或x+y=6. 故填0或6.
考点4 估算
解题技巧：解题关键是把的值限制在和这两个连续整数之间.
例4 已知的整数部分是a，小数部分是b，则ab= .
分析：确定在哪两个连续整数之间，由此可得a，b的值，再进一步求值即可.
解：因为1＜＜2，所以a=1，b=-1，所以ab=1×（-1）=-1. 故填-1.
考点5 实数的大小比较
解题技巧：比较实数大小的原则：数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大；正数大于0，0大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
例5 比较3，，的大小，下列正确的是（　　）
A. 3＜＜ B. 3＜＜ C. ＜3＜ D. ＜＜3
分析：注意到3==，进行比较可得结论.
解：因为9＜10，所以＜，即3＜.
因为25＜27，所以＜，即＜3.所以＜3＜，故选C.
考点6 实数与数轴的关系
解题技巧：实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 根据实数在数轴上对应点的位置，可以确定实数的范围.
例6 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和5. 1，则A，B两
点之间表示整数的点共有（　　）
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
分析：先估算的范围，即可得出A，B两点之间表示整数的点的个数.
解：因为1＜＜2，5＜5. 1＜6，所以A，B两点之间的整数有2，3，4，5，共有4个. 故选C.
考点7 实数的运算
解题技巧：解实数有关的运算题，关键是熟练掌握运算法则.
例7 计算：3-+｜1-｜.
分析：利用实数的运算法则，结合绝对值的性质可求出答案.
解：原式=3-+-1=3-1.
考点8 方根的实际应用
解题技巧：学习了方根知识后，可以通过开方运算来解决由正方形的面积或立方体的体积确定其边长的问题.
例8 某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为900 m2的正方形空地上建一个篮球场，已
知篮球场的面积为420 m2，其中长是宽的倍，球场的四周必须留出1 m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场.
分析：设篮球场的宽为x m，可表示出其长，根据长方形面积列方程即可求解.
解：设篮球场的宽为x m，则长为 x m.
根据题意，得 x x=420，所以 x2=225.
因为x为正数，所以x=15.
因为900 m2的正方形空地的边长为30 m，且x+2=30(m)，所以能按规定在这块空地上建一个篮球场.
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