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相交线易错题笔记
同学们，你有没有定期整理易错题的习惯？这个习惯对于数学学习有很大的帮助呢. 在学习相交线时，你会出现下面的错误吗？让我们一起整理一下吧！
误区一 概念不清
例1 有下列说法：①画出直线外一点到这条直线的距离；②有公共边的两个角是邻补角；③若两个角是邻补角，则它们的度数之和为180°.
其中正确的说法有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
错解：选D.
剖析：只能画出过直线外一点到这条直线的垂线段（图形），而不能画出距离（数量）；邻补角在位置上需满足：有一条公共边且另一边互为反向延长线；邻补角是特殊的互补角，它们的度数之和一定为180°.
正解： .
误区二 找不准垂线段
例2 下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（　　）
A B C D
错解：选C.
剖析：过点A作直线BC的垂线，所作的垂线段AD与BC垂直，而不是与AB垂直.这是平时最容易犯的错误，只要弄清作哪条直线的垂线段即可.
正解： .
误区三 识别不准
例3 如图所示，图中∠1的内错角是_________.
错解：填∠BED.
剖析：要确定∠1的内错角，首先要确定截线和被截线，内错角在截线两旁，被截线之间.当直线DF，BC被直线AB所截时，∠1与∠B是内错角；当直线DF，CD被直线AB所截时，∠1与∠AEC是内错角.
正解： .
参考答案：例1 B 例2 D 例3 ∠B和∠AEC
第 1 页 共 1 页相交线求角度
例题 如图1所示，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠EOC=35°，求∠AOD的度数.
思路导引：由EO⊥AB及∠EOC=35°能得出∠BOC的度数吗？要求的∠AOD与
∠BOC有什么关系呢？
解：因为EO⊥AB，所以∠BOE=90°.
因为∠EOC=35°，所以∠BOC=∠BOE +∠EOC =90°+35°=125°.
因为∠AOD与∠BOC互为对顶角，所以∠AOD=∠BOC=125°.
解题方法：解答此题有两个关键：一是通过已知条件求出关键角的度数，即利用EO⊥AB及∠EOC=35°，求出∠BOC的度数；二是观察图形，利用图形中所隐含的角之间的关系将待求角与已知角联系起来.
变式1 如图2所示，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，且∠AOC=
4∠COE，求∠AOD的度数.
思路导引：此题与例题相比，图形没有变化，只是变化了一个条件，原题中的解题思路仍然适用.一是抓住∠AOD与∠BOC之间的位置关系；二是由EO⊥AB及∠AOC=
4∠COE这两个条件求出∠BOC的度数.
解：因为EO⊥AB，所以∠AOE=∠BOE=90°.
因为∠AOC=4∠COE，且∠AOC+∠COE =∠AOE=90°，所以∠COE=18°.
所以∠BOC=∠BOE +∠COE =90°+18°=108°.
因为∠AOD与∠BOC互为对顶角，所以∠AOD=∠BOC=108°.
变式2 如图3所示，直线AB⊥CD于点O，且∠DOF=∠BOE，求∠COE的度数.
思路导引：此题与例题相比，图形略有变化，提供角度数量的条件也有变化，但解题的思路没有改变.由AB⊥CD可知∠DOF与∠BOE有什么数量关系吗 再结合∠DOF=∠BOE能求出哪些角的度数呢
解：因为AB⊥CD，所以∠BOC=90°.
因为∠DOF与∠COE互为对顶角，所以∠DOF=∠COE.
因为∠DOF=∠BOE，所以∠COE=∠BOE.
又∠COE+∠BOE=∠BOC=90°，所以∠COE=∠BOC=×90°=30°.
第 1 页 共 1 页和你聊聊“三线八角”
两条直线被第三条直线所截，构造了八个角，一般称为“三线八角”，其中没有公共顶点的角可分为三类：同位角、内错角、同旁内角.现有四种方法辨别这三类角，一起去看一下吧！
一、形象识别法
如图1，直线a，b被第三条直线l所截得到八个角，其中同位角有4对：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.不难发现，每一对同位角的边所在直线均可构成“F”型.内错角2对：∠3与∠5，∠4与∠6，每一对内错角的边所在直线均可构成“Z”型.同旁内角2对：∠4与∠5，∠3与∠6，每一对同旁内角的边所在直线均可构成“U”型.
二、简化法
简化就是排除次要的部分，把复杂图形中与需要识别的图形无关的部分略去不考虑，使隐藏于其中的基本图形显现出来，如图2中的∠1与∠2是否是同位角？将∠1与∠2的两边描粗，可知两角无共线边，故∠1与∠2不是同位角.
三、图形分离法
由于较复杂的图形都是由一些基本图形组合而成的，因此，在识别这三类角时，可以把相关的基本图形从复杂的图形中分离出来，排除其他直线的干扰，从而把问题转化为对简单的基本图形的识别.
如图3所示，将相关的线从图形中分离出来，得到图4所示的图形，这样就极易判断出
∠1与∠2，∠1与∠BAD分别是同旁内角，∠1与∠7是同位角，∠2与∠6是内错角，∠5与∠8是对顶角.
图4
四、手型识别法
如图5，“手型”辨别，其形式既好玩、易于接受，又能加深对同位角、同旁内角、内错角的印象.
同位角 内错角 同旁内角
图5
第 1 页 共 1 页三招搞定真假命题的识别
识别一个命题的真假，除需要理解真、假命题的定义外，还需要掌握识别真假命题的方法，现教你几招.
方法一 借助性质或定义识别
例1 下列命题中，是假命题的是（　　）
A. 对顶角相等
B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
C. 如果|x|=5，那么x=5
D. 如果两条平行线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
解析：根据对顶角的性质可知选项A是正确的；根据平行公理可知选项B，D是真命题；对于选项C，如果|x|=5，那么x=±5，所以选项C是假命题.故选C.
方法二 借助举反例识别
例2 找出下列命题中的假命题：（1）如果a＞b，那么ac＞bc；（2）如果a2=b2，那么a=b.
解析：（1）当a=3，b=1，c=-2时，满足a＞b，但ac＜bc，故（1）是假命题.
（2）当a与b互为相反数时，满足a2=b2，但a≠b，故（2）是假命题.
温馨提示：举反例只能说明一个命题是假命题，不能说明一个命题是真命题.
方法三 借助画图识别
例3 找出下列命题中的假命题：（1）相等的角是对顶角；（2）同位角相等.
解析：本题中的两个命题都是几何命题，可借助画图举反例来判断其真假.
（1）如图1，已知OB是∠AOC的角平分线，∠AOB=∠COB，但∠AOB与∠COB不是对顶角. 故（1）是假命题.
（2）如图2，∠1与∠2是同位角，显然，∠1≠∠2. 故（2）是假命题.
第 1 页 共 1 页拐弯抹角也精彩
课本原题：（人教版七年级下册课本第23第7（2）题）如图1，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（ ）
A. 180° B. 270° C. 360° D. 540°
思路引导：根据平行线的性质，可得∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，这两组数量关系与∠BAC+∠ACE+∠CEF有什么关系呢？
解：因为AB∥CD∥EF，所以∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°.
所以∠BAC+∠ACE+∠CEF=∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°.故选C.
教材（例）习题是教材编写者经过精心挑选的典型题，在学习时我们要充分挖掘其功能，下面请看这道习题的多种变式，希望对你的学习有所帮助.
变式1 （2020年呼伦贝尔）如图2，直线AB∥CD，AE⊥CE于点E，若∠EAB=120°，则∠ECD的度数是（　　）
A. 120° B. 100° C. 150° D. 160°
解析：如图2，过点E作EF∥AB.
所以∠A+∠AEF=180°，所以∠AEF=180°-∠A =180°-120°=60°.
因为AE⊥CE，所以∠AEC=90°，所以∠CEF=∠AEC -∠AEF=90°-60°=30°.
因为AB∥CD，所以EF∥CD，所以∠CEF +∠ECD =180°，所以∠ECD=180°-∠CEF =180°-30°=150°.故选C.
反思：所作的平行线EF，起到了连接AB和CD的作用，使已知条件“AB∥CD”应用到问题的求解当中.
变式2 （2020年常德）如图3，已知AB∥DE，若∠1=30°，∠2=35°，则∠BCE
的度数为（　　）
A. 70° B. 65° C. 35° D. 5°
解析：如图3，过点C作CF∥AB.
因为AB∥DE，所以CF∥DE.所以∠BCF=∠1=30°，∠FCE=∠2=35°.
所以∠BCE=∠BCF+∠FCE=30°+35°=65°.故选B.
反思：当“拐点”在平行线的内部时，“拐角”等于两个边角之和.
变式3 （2020年南通）如图4，已知AB∥CD，若∠A=54°，∠E=18°，则∠C的度数是（　　）
A. 36° B. 34° C. 32° D. 30°
解析：如图4，过点E作EF∥CD，则有EF∥AB.
所以∠AEF=∠A=54°.所以∠CEF=∠AEF-∠AEC=54°-18°=36°.
因为EF∥CD，所以∠C=∠CEF=36°.故选A.
反思：当“拐点”在平行线的外部时，“拐角”等于两个边角之差.
变式4 如图5，已知AB∥CD，若∠E=90°，则∠1，∠2与∠3的数量关系是（　　）
A. ∠2=∠1+∠3 B. ∠1+∠2-∠3=90°
C. ∠1+∠2+∠3=180° D. ∠2+∠3-∠1=180°
解析：如图5，过E作EN∥AB，过F作FM∥CD.
因为AB∥CD，所以AB∥CD∥EN∥FM，所以∠1=∠BEN，∠EFM=∠NEF，∠3=∠MFC.
因为∠BEF=90°，所以∠1+∠EFM=90°.
因为∠EFM=∠2-∠MFC=∠2-∠3，所以∠1+∠2-∠3=90°.故选B.
反思：两平行线内的角，向左边开口的角的和等于向右边开口的角的和.
第 1 页 共 2 页图形的平移易错展台
平移是图形变换之一，主要考查平移的性质，并能按要求画出简单平面图形平移后的图形.为避免同学们出
现错误，现就常见的错误剖析如下：
一、对平移的性质理解不透
例1 下列说法中不正确的是（ ）
A. 图形平移前后，对应线段、对应角分别相等
B. 图形平移前后，连接对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等
C. 图形平移过程中，对应线段一定平行
D. 图形不论平移到何处，它与原图形总是能完全重合
错解：选B.
剖析：平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状，即经过平移，对应线段相等（不改变大小），对
应角相等（不改变形状），图形不论平移到何处，它与原图形总是能完全重合.只需要注意的是对应线段不一定总平行，还可能在同一条直线上.
正解： .
二、平移作图的条件理解不清，导致作图不够完整
例2 如图1，已知正方形ABCD和线段MN，且MN=BC，请将正方形ABCD平移，使其一边与MN是对
应边，作出平移后的图形.
图1 图2 图3
错解：如图2，正方形ENMF就是平移后的正方形.
剖析：题中没有指出MN的对应边是BC，MN的对应边还可以是AD，所以满足条件的正方形应该有两个.
如图3，正方形ENMF和正方形NPOM都是平移后的正方形.
正解： .
参考答案：例1 C 例2 略
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