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聊城市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数（其中i为虚数单位）的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．i
3．的展开式中，的系数为（ ）
A．40 B． C．80 D．
4．已知函数的定义域为R，则“是偶函数”是“是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．酒后驾驶是严重危害交通安全的行为．某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”．根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是（ ）
A．甲地：均值为4，中位数为5 B．乙地：众数为3，中位数为2
C．丙地：均值为7，方差为2 D．丁地：极差为3，75%分位数为8
8．已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与交于，两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使平面平面，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角为30° D．向量在上的投影向量为
10．已知实数，，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为4
11．在平面直角坐标系内，已知，，是平面内一动点，则下列条件中使得点的轨迹为圆的有（ ）
A． B． C． D．
12．在棱长为1的正方体中，为侧面（不含边界）内的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为45°，则下列说法正确的是（ ）
A．线段的长度为
B．的最小值为1
C．对任意点，总存在点，使得
D．存在点，使得直线与平面所成的角为60°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．经过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为______．
14．已知，且，则的值为______．
15．甲乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球．抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随机摸出一个球．则摸到红球的概率为______．
16．某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列．如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列1，2，2；第三行得到数列1，2，2，4，2；……；第5行从左数起第6个数的值为______．用表示第行所有项的乘积，若数列满足，则数列的通项公式为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知，．
（1）求角；
（2）若点在边上，且，求面积的最大值．
18．（12分）
已知数列满足：，，．
（1）记，求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求．
19．（12分）
如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
20．（12分）
某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查．结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占．
（1）请根据以上数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族有关联？
满意 不满意 合计
上班族
非上班族
合计
（2）为了改善市民对交通状况的满意度，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到时，抽样结束．抽样结束时，记抽样的总次数为随机变量．以频率代替概率．
（ⅰ）若，写出的分布列和数学期望；
（ⅱ）请写出的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明的数学期望的实际意义．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中．
21．（12分）
已知函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值；
（2）若不等式恒成立，求的最小值．
22．（12分）
已知为圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
数学试题评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D A A B C D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 BD BC BCD ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．4；
14．；若写成也正确；
15．；若写成也正确；
16．(第一空2分，第二空3分)．
若第二空写成，不扣分；
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】
说明：①本题满分10分，每一问均为5分；
（1）【法一】因为， 所以 ，
所以 ， 2分
所以 ，
因为 ，所以 ， 4分
因为 ，所以 ． 5分
说明：②2分点等价于或或；
③没写，不扣分；
④没写，不扣分；
【法二】因为， 所以 ，
所以 ， 2分
所以 ，
所以 ， 4分
因为 ，所以 ． 5分
说明：②2分点等价于或；
③没写，不扣分；
【法三】因为， 所以 ，
所以 ， 2分
所以 ， 4分
因为 ，所以 ． 5分
说明：②2分点利用射影定理；
③没写，不扣分；
（2）【法一】因为 ，所以 ；
所以 ， 7分
因为 ，
所以 ，当且仅当时，等号成立， 9分
所以 ，
所以 面积的最大值为． 10分
说明：②7分点只要出现（面积关系）即可给分；
③若求出，但没写取等条件，不扣分；
④得到，没有下结论，不扣分；
【法二】因为 ，所以 ；
所以 ， 7分
所以
9分
所以 当时，有最大值． 10分
说明：②7分点只要出现（面积关系）即可给分；
③求出有最大值．没写角，不扣分；
【法三】因为 ，所以 ；
所以 ， 7分
因为，
所以 的外接圆为半径为的定圆， 8分
所以 当到直线的距离最大，即为等边三角形时，
的面积最大值为， 9分
所以 有最大值． 10分
说明：②7分点只要出现（面积关系）即可给分；
③8分点没有，直接说明等边三角形最大，扣1分；
18．【解析】
说明：本题满分12分，第一问为5分；第二问7分；
（1）因为 ，
令取，则 ， 3分
即 ，，
所以 数列是以1为首项，3为公差的等差数列，
所以 ． 5分
说明：（1）第一问5分；其中 “”或者“，”或者“数列是以1为首项，3为公差的等差数列”只要有一个都得3分； 2分
令取同样得分；
由不完全归纳法：，，， 2分；
数学归纳法
，，，猜想 2分
用数学归纳法证明结论成立，
当时显然成立；
假设当时成立，则；
当时， 4分
所以，即当时，结论成立；
由归纳法原理可知：猜想正确 5分
（2）令取，则 ， 7分
所以 ，
由（1）可知，； 9分
； 11分
所以 ． 12分
说明：（1）表达式 2分；奇数项和330，2分；偶数项和23，2分；
前30项和353，1分；共7分
（2）如果学生一个表达式直接得出结果(必须有过程)，结果正确的不扣分，
结果不对得0分
（3）若学生把前30项都列举出来，最后求出前30项的和如果求对不扣分。
19．【解析】
说明：①本题满分12分，第一问6分，第二问6分；
（1）【法一】证明：连接，取的中点为，连接，
因为 为的中点，所以 ，且
，
所以 四边形为平行四边形，所以 ， 2分
又因为 为的中点，所以 ，且，
所以 四边形为平行四边形，所以 ， 4分
所以 ， 5分
所以 四点共面； 6分
说明：②前两个平行各2分；共面的平行1分 ；结论1分
③辅助线也可连接， 与中点，与中点，这三种方式评分标准与法一相同.
【法二】证明：以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，
则，，， 3分
故 5分
所以，四点共面 6分
说明：②重点关注5分点，只建系不得分；
③5分点等价于或 或；
④若建立左手系，整个过程正确得满分，结论不正确得0分.
【法三】证明：以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，，
所以，，，， 3分
则，等式右侧系数之和为1， 5分
所以，四点共面 6分
说明：②重点关注5分点，第一问中只建系不得分；
③5分点等价于，，，中任取三个向量作为基底表示另一个向量；
④若建立左手系，整个过程正确得满分，结论不正确得0分.
（2）【法一】连接，交于点，连接，
因为，为中点，可知，
又易知动点在上运动时，，
所以，
所以平面和平面的二面角的平面角为， 2分
又平面平面时，，
设，，，
， 4分
解得 6分
说明：①指出二面角的平面角为得2分，未证明不扣分；
②4分点等价于利用三角函数或直角三角形相似建立方程求解.
【法二】以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点，设， 1分
由已知 ，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，取，则； 3分
设平面的法向量为，
则，即，
取，则； 5分
因为 平面平面，所以 ，
所以 ，所以 ， 6分
所以 存在满足题意的点，使得平面平面，的长度为.
说明：①建坐标系1分，
两个法向量各2分；得到值（或直接写出长度）得1分；
②若建立左手系，整个过程正确得满分，结论不正确得0分.
20．【解析】
说明：①本题满分12分，第一问5分，第二问7分；
（1）由题意可知
满意 不满意 合计
上班族 15 40 55
非上班族 35 10 45
合计 50 50 100
2分
零假设为
市民对交通的满意度与是否上班独立，
因为 ；
4分
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. 5分
②没有零假设，不扣分；
③的近似值写成或或均认为正确；若出现，也正确；
④结论写成：
“根据小概率值的独立性检验，可以（能）认为市民对于交通的满意度与是否为上班族有关”；
或“在犯错误概率不超过的前提下，可以（能）认为市民对于交通的满意度与是否为上班族有关”；
或“有的把握认为市民对于交通的满意度与是否为上班族有关”
上述表达均正确；
⑤结论只写“可以（能）认为市民对于交通的满意度与是否为上班族有关”的情况，5分点不得分；
（2）（i）当时，的取值为1，2，3，4，5， 6分
由（1）可知 市民的满意度和不满意度均为；
所以 ，，，，，
所以 的分布列为
1 2 3 4 5
P
9分
⑥9分点中5个概率均正确，得3分，不全对的得1分；没有列表格，不扣分；
所以 ； 10分
（ii），
11分
当趋向于正无穷大时，趋向于2，此时恰好为不满意度的倒数；
也可以理解为平均每抽取2个人，就会有一个不满意的市民． 12分
⑦只要写对，不需过程，即可给分；
⑧当趋向于正无穷大时，趋向于2；
的极限值为2；
的极限值为不满意度的倒数；
平均每抽取2个人，就会有一个不满意的市民；
写出上述任何一条，均给1分；
21．【解析】
说明：①本题满分12分，第一问3分，第二问9分；
（1）由已知 ， 1分
所以 ， 2分
又，所以 ； 3分
②求导1分，a，b的值各1分；
（2）【法一】
函数的定义域为；
因为 ，
（i）若，即时，，在上单调递增，
因为 当时，，
所以 取，则，不合题意； 5分
说明：③ 利用，或利用一次函数无下界说明，均不扣分；
（ii）若，即时，，在上单调递增，
若不等式恒成立，则，
所以 ，即的最小值为0； 6分
说明：④此处利用图像说明的取值范围，不扣分；
（iii）若，即时，
令，解得，
令，解得，
所以 在上单调递减，
在上单调递增；
若不等式恒成立，
则，
即 ， 8分
所以 ； 9分
设，则，
设，则，
所以 当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以 ，此时； 11分
即的最小值为；
综上所述 的最小值为． 12分
说明：⑤分类讨论 的情况2分，的情况1分；
⑥求函数最值部分2分，写出 的不等式1分，
构造新函数求最值2分，结论1分
【法二】
由题意，，即，
说明：③分离参数后，求导研究右侧函数，标准与方法一相同.
（i）若，则，
令，则，
又，，所以在上恒正，在上单调递增，
所以时，，
故不成立； 4分
（ii）若，则，则，
①当时，此时在上恒负，在上单调递减，
所以时，，不成立； 5分
②当时，，则恒成立，此时的最小值为0；
6分
③当时，令，解得，
令，解得，
所以 在上单调递增，
在上单调递减，
则的最大值为
8分
若恒成立，则， 9分
设，则，
设，则，
所以 当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以 ，此时； 11分
即的最小值为；
综上所述 的最小值为． 12分
说明：④分类讨论，，三种情况各1分；
⑤求函数最值2分，写出 的不等式1分，
构造新函数求最值2分，结论1分
22．【解析】
说明：本题满分12分，第一问4分，第二问8分；
（1）由题意可知 圆的圆心为，半径为4，
因为线段的垂直平分线交线段于点，
所以 ，所以 ， 2分
又因为 ，所以 的轨迹是以为焦点的椭圆，
设，则，
所以 点的轨迹方程为． 4分
说明：第一问4分；表示式 2分
结果．2分
没写，不扣分。
（2）
【法一】
（i）若其中一条直线斜率不存在或者等于0，则直线方程为；若两条直线的斜率分别为，则直线方程为 5分
（ii）若两条直线斜率均存在且不为0和，
设过点的弦所在直线的方程为，代入椭圆方程联立得：
，设与椭圆两交点的坐标分别为
所以 ， 6分
所以 ，则 ； 7分
同理 ； 8分
所以 ，
直线EF的方程为 ，即；
综上 直线必过定点； 10分
取点与点的中点为，则， 11分
因为 ，所以 ，
所以 点在以为圆心，为半径的圆上运动，
所以 存在定点，使得为定值． 12分
【法二】
（i）若其中一条直线斜率不存在或者等于0，则直线为轴； 5分
（ii）若两条直线斜率均存在，
设过点的弦所在直线的方程为，代入椭圆方程联立得：
，设与椭圆两交点的坐标分别为
所以 ， 6分
所以 ，则 ； 7分
同理 ； 8分
由对称性可知 所过定点必在轴上，设为，
显然 ，所以 ，
化简得 ，即；
综上 直线必过定点； 10分
取点与点的中点为，则， 11分
因为 ，所以 ，
所以 点在以为圆心，为半径的圆上运动，
所以 存在定点，使得为定值． 12分
说明：（1）第2问8分，其中证明直线必过定点 6分；
具体分为：特殊情况1分；联立方程组韦达定理1分，E,F点的坐标各1分；找出定点2分；
（2）找出定点，使得为定值 2分；
具体分为：找出定点的坐标1分，证明为定值 1分.

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