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第三章 函数（浙江省专用）
第10节 平面直角坐标系与函数的概念
【考试要求】
1.认识并能画出平面直角坐标系，了解平面直角坐标系内点的特征，能根据坐标确定点的位置，能点的位置写出它的坐标；
2.掌握关于原点、坐标轴对称的点的坐标特征，能综合运用图形的坐标的特征解决简单的实际问题；
3.了解函数的概念并能确定自变量的取值范围，能根据条件列出函数关系式并求出函数值，能用描点法画函数图象.
【考情预测】
该版块内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，是非常基础也是非常重要的，年年都会考查，分值为8分左右，预计2022年各地中考还将出现，在选填题中出现的可能性较大.
【考点梳理】
1．平面直角坐标系的概念及点的坐标特征：
(1)各象限内点的坐标特征如图所示．
(2)点到坐标轴或坐标原点的距离：点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为．
(3)特殊点的坐标特征：点P(x，y)在x轴上为(x，0)，在y轴上为(0，y)．若在第一、三象限的角平分线上，则x＝y；若在第二、四象限的角平分线上，则x＋y＝0．
(4)坐标系内点的对称及平移：
点P(x，y) 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称
对称点的坐标 (x，－y) (－x，y) (－x，－y)
将点P(x，y)向左(或右)平移a(a＞0)个单位，得对应点为(x－a，y)或(x＋a，y)．向上(或下)平移b(b＞0)个单位，得对应点为(x，y＋b)或(x，y－b)．
(5)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：①平行于x轴的直线上，所有点的 纵 坐标相等．
②平行于y轴的直线上，所有点的 横 坐标相等．
2．函数与图象：
(1)函数的定义：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．
(2)函数自变量的取值范围：由表达式给出的函数，自变量的取值范围应使表达式有意义．对于实际意义的函数，自变量的取值范围还应使实际问题有意义．
(3)函数的三种表示方法：①解析法；②列表法；③图象法．
(4)函数图象的画法：①列表；②描点；③连线．
【重难点突破】
考向1. 有序数对与位置确定
【典例精析】
【例】1．（2019·浙江中考真题）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（ ）
A．在南偏东75 方向处 B．在5km处 C．在南偏东15 方向5km处 D．在南偏东75 方向5km处
【答案】D
【分析】根据方向角的定义解答即可．
【详解】观察图形可得，目标A在南偏东75°方向5km处，故选D．
【点睛】本题考查了方向角的定义，正确理解方向角的意义是解题关键．
【变式训练】
变式1-1．（2021·海南中考真题）如图，点都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点的坐标建立平面直角坐标系，由此即可得出答案．
【详解】解：由点的坐标建立平面直角坐标系如下：则点的坐标为，故选：D．
【点睛】本题考查了求点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
变式1-2．（2021·湖北宜昌·模拟预测）如果第二列第一行用有序数对（2，1）表示，那么数对（3，6）和（3，4）表示的位置是（ ）
A．同一行 B．同一列 C．同行同列 D．不同行不同列
【答案】B
【分析】数对中第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，据此可作出判断．
【详解】解：第二列第一行用数对（2，1）表示，则数对（3，6）表示第三列，第六行，数对（3，4）表示表示第三列，第四行．所以数对（3，6）和（3，4）表示的位置是同一列不同行．故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，一般用数对表示点位置的方法是第一个数字表示列，第二个数字表示行，也有例外，具体题要根据已知条件确定．
变式1-3．（2021·浙江·一模）如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达；从出发向北走也到达．下列说法错误的是（ ）
A．从点向北偏西45°走到达 B．公路的走向是南偏西45°
C．公路的走向是北偏东45° D．从点向北走后，再向西走到达
【答案】A
【分析】根据方位角的定义及勾股定理逐个分析即可．
【详解】解：如图所示，过P点作AB的垂线PH，
选项A：∵BP=AP=6km，且∠BPA=90°，∴△PAB为等腰直角三角形，∠PAB=∠PBA=45°，
又PH⊥AB，∴△PAH为等腰直角三角形，∴PH=km，故选项A错误；
选项B：站在公路上向西南方向看，公路的走向是南偏西45°，故选项B正确；
选项C：站在公路上向东北方向看，公路的走向是北偏东45°，故选项C正确；
选项D：从点向北走后到达BP中点E，此时EH为△PEH的中位线，故EH=AP=3，故再向西走到达，故选项D正确．故选：A．
【点睛】本题考查了方位角问题及等腰直角三角形、中位线等相关知识点，方向角一般以观测者的位置为中心，所以观测者不同，方向就正好相反，但角度不变．
【考点巩固训练】
1．（2021·贵州遵义·中考真题）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（　　）
A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．（﹣1，2）
【答案】B
【分析】根据题中的新定义解答即可．
【详解】解：由题意，得z＝2 i可表示为Z（2， 1）．故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，弄清题中的新定义是解本题的关键．
2．（2020·湖北宜昌市·中考真题）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．
A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列
【答案】B
【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．
【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；
B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；
C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；
D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查了位置的确定，根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．
3．（2021·四川成都·二模）如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（　　）
A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（ 4，240°） D．E（3，60°）
【答案】C
【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标（5，30°），（2，90°），（4，240°），（3，300°），即可判断．
【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，
由题意可知、、、的坐标可表示为：（5，30°），故A不正确；
（2，90°），故B不正确；（4，240°），故C正确；（3，300°），故D不正确．故选择：C．
【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的C、F两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数是解题关键．
4．（2021·山西中考真题）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为__________．
【答案】
【分析】根据A，两点的坐标分别为，，可以判断原点的位置，然后确定C点坐标即可．
【详解】解：∵，两点的坐标分别为，，
∴B点向右移动3位即为原点的位置，∴点C的坐标为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标．
5．（2021·浙江九年级月考）如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”．若“今”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是_____，破译“正做数学”的真实意思是_____．
【答案】对应文字横坐标加1，纵坐标加2； 祝你成功
【详解】∵已破译出“今年考试”的真实意思是“努力发挥”．
∴ “今”所处的位置为（x，y），则对应文字“努”的位置是：（x+1，y+2）．
∴找到的密码钥匙是：对应文字横坐标加1，纵坐标加2．
∴“正”的位置为（4，2）对应文字位置是（5，4）即为“祝”；
“做”的位置为（5，6）对应文字位置是（6，8）即为“你”；
“数”的位置为（7，2）对应文字位置是（8，4）即为“成”；
“学”的位置为（2，4）对应文字位置是（3，6）即为“功”．∴“正做数学”的真实意思是：祝你成功．
6．（2020·山东威海·中考真题）如图①，某广场地面是用．．三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（型）地砖记作，第二块（型）地时记作…若位置恰好为型地砖，则正整数，须满足的条是__________．
【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数
【分析】几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．
【解析】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数，故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．
【点睛】本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．
考向2. 点的坐标特征
【典例精析】
【例】（2021·浙江·一模）如果点在轴上，那么点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据点在轴上可得m=0，然后确定B的坐标,最后根据B的坐标确定B所在的象限即可．
【详解】解：∵点在轴上∴m=0∴，即点B在第四象限．故答案为D．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，根据A点的位置确定m的值成为解答本题的关键．
【变式训练】
变式2-1. （2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是________．
【答案】或
【分析】由题意，设点B的坐标为(-2，y)，则由AB=9可得，解方程即可求得y的值，从而可得点B的坐标．
【详解】∵轴∴设点B的坐标为(-2，y) ∵AB=9∴解得：y=8或y=－10
∴点B的坐标为或故答案为：或
【点睛】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况．
变式2-2. （2021·浙江中考模拟）对任意实数x，点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由，解得,分情况讨论的符号．根据点在平面直角坐标系中各个象限坐标的符号特点解答即可．
【详解】解：, 解得,
（1）当-2＜x＜0时，x+2＞0，x＜0，x 2+2x=x（x+2）＜0，故点P在第三象限；
（2）当x＞0时， x 2+2x=x（x+2）＞0，故点P在第一象限；
（3）当x＜-2时，x+2＜0,x 2+2x=x（x+2）＞0，点P在第二象限．
（4）当时点P（x, ）为P（0，0）或（-2，0）在x轴上，
故对任意实数x，点P可能在第一、二、三象限或x轴上，一定不在第四象限，故选D．
【点睛】本题考查象限点的特征，根据点的横坐标的取值范围，分类考虑函数值的符号是解题关键．
变式2-3. （2021·江苏江都·二模）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点“P到x轴的距离为2，则P点的坐标为______．
【答案】（2，2）或（，-2）
【分析】设P点的坐标为（x，y），由“和谐点“P到x轴的距离为2得出|y|=2，将y=2或-2分别代入x+y=xy，求出x的值即可．
【详解】设P点的坐标为（x，y），∵“和谐点“P到x轴的距离为2，∴|y|=2，∴y=±2．
将y=2代入x+y=xy，得x+2=2x，解得x=2，∴P点的坐标为（2，2）；
将y=-2代入x+y=xy，得x-2=-2x，解得x=，∴P点的坐标为（，-2）．
综上所述，所求P点的坐标为（2，2）或（，-2）．故答案为（2，2）或（，-2）．
【点睛】本题考查了点的坐标，新定义，得出P点的纵坐标为2或-2是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·青海中考真题）已知点在第四象限，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据直角坐标系、一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵点在第四象限∴∴∴故答案为：．
【点睛】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握象限、一元一次不等式组的性质，从而完成求解．
2．（2020·贵州毕节市·中考真题）在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标．
【详解】解：设点M的坐标是（x，y）． ∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4， ∴|y|=5，|x|=4．
又∵点M在第二象限内， ∴x=-4，y=5， ∴点M的坐标为（-4，5）， 故选C．
【点睛】本题考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；第二象限点的坐标符号（-，+）．
3．（2021·广东香洲·二模）在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是____．
【答案】1
【分析】根据y轴上的点的横坐标为0列出方程求解得到a的值，即可得解．
【详解】解：∵点在y轴上，∴a-1=0，解得：a=1，故答案为：1．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点纵坐标为0是解题的关键．
4．（2021·广西·二模）在平面直角坐标系中，有，两点，若轴，则A，B两点间的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据，则两点的纵坐标相等，求得,利用横坐标之差即可求解．
【详解】，
A，B两点间的距离为：．故选A．
【点睛】本题考查了平面内点的位置的确定，平行于坐标轴的点的特点，两点之间的距离，理解平行于坐标轴的线段上点的特点是解题关键．
5．（2021·重庆·字水中学一模）现有四张正面分别标有数字－1，0，－2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m不放回，再从余下的卡片中取一张记作n．则点P（m，n）在第二象限的概率为概率是_______．
【答案】
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，点P（m，n）在第二象限的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，点P（m，n）在第二象限的结果有2种，
∴点P（m，n）在第二象限的概率为=，故答案为：．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．（2020 金华 中考真题）点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可）　　．
【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出m的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：∵点P（m，2）在第二象限内，∴m＜0，
则m的值可以是﹣1（答案不唯一）．故答案为：﹣1（答案不唯一）．
考向3. 对称点的特征
【典例精析】
【例】（2021·湖北荆州市·中考真题）若点关干轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先根据题意求出点关于轴的对称点坐标，根据点在第四象限列方程组，求解即可.
【详解】∵∴点 关于轴的对称点坐标为
∵在第四象限∴ 解得： 故选：C
【点睛】本题考查点关于坐标轴对称点求法，以及根据象限点去判断参数的取值范围，能根据题意找见相关的关系是解题关键．
【变式训练】
变式3-1. （2020·黑龙江大庆市·中考真题）点(2，3)关于y轴对称的点的坐标为_____．
【答案】(﹣2，3)
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【详解】点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
变式3-2. （2021·广西桂平·一模）在平面直角坐标系中，点关于原点对称点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先依据，即可得出点P所在的象限，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出结论．
【详解】解：∵，∴点在第二象限，
∴点关于原点对称点在第四象限.故选D．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，明确关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数是解答的关键．
变式3-3. （2020四川雅安·中考模拟）在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），P点关于x轴的对称点为P2（a、b），则=（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解析】∵P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），∴P（3，），
∵P点关于x轴的对称点为P2（a，b），∴P2（3，﹣），∴．故选A．
考点：1、关于原点对称的点的坐标；2、立方根；3、关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【考点巩固训练】
1．（2020·凉山州·中考真题）点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面直角坐标系内，对称坐标的特点即可解答.
【详解】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数
∴点关于x轴对称的点的坐标是（2，-3）故选B
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内坐标的对称，注意关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数；
关于y轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标都变相反数.
2．（2021·广东黄埔·一模）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是，据此可以求得点关于y轴对称点的坐标．
【详解】解：点关于y轴对称，对称点的坐标为，故选：C．
【点睛】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．（2021·浙江三模）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答．
【详解】解：∵点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点是（3，﹣2），
∴A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在第四象限．故选：D．
【点睛】本题考查了已知点的坐标和该点关于y轴的对称点的坐标的关系（二者的纵坐标不变，横坐标互为相反数），以及四个象限中点的坐标的特点．
4．（2021·河北桥西·模拟预测）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点的对称得到点关于原点对称的点为，根据第四象限点的坐标特征可得，求解不等式组即可得出结论．
【详解】解：点关于原点对称的点为，
∵在第四象限，∴ ，解得，
∴在数轴上表示为：，故选：B．
【点睛】本题考查点的对称、平面直角坐标系内点的坐标特征、解不等式组等内容，掌握上述知识是解题的关键．
5．（2020 菏泽中考真题）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣6，2） D．（﹣6，﹣2）
【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．
【解答】解：∵将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，∴点P'的坐标是（0，2），
∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（0，﹣2）．故选：A．
6．（2021·浙江·九年级零模）如图，三个顶点的坐标分别为，，直线是过点且与轴平行的直线，关于直线对称的三角形为，则点的坐标为（ 　 ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先作出关于直线对称的三角形为，再根据C′的位置写出坐标即可．
【详解】解：如图所示，与关于直线对称，
∴点C′的坐标为故选：A
【点睛】本题考查作图－轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考向4. 坐标系中的平移、旋转与翻折
【典例精析】
【例】（2021·浙江·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，．先将线段沿轴翻折得到线段，再将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若点的坐标为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】只要证明是等腰直角三角形即可解决问题；
【详解】∵，∴，
∵，，∴，∴是等腰直角三角形，
∵，，∴，∴；故答案选B．
【点睛】本题主要考查了翻折变换、坐标与图形的变化、等腰直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．
【变式训练】
变式4-1. （2021·湖南湘潭·中考真题）在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为____．
【答案】
【分析】把点向右平移5个单位，纵坐标不变，横坐标增加5，据此解题．
【详解】把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为，即，
答案：．
【点睛】本题考查平面直角坐标系与点的坐标，涉及平移等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
变式4-2. （2021·江苏·南通田家炳中学二模）已知点，点为坐标原点，连接，将线段按顺时针方向旋转90°，得到线段，则点的坐标是（ ）
A．（-1,-2） B．（1,2） C．（2,1） D．（-2,-1）
【答案】D
【分析】根据旋转的概念结合点A的坐标为(1，-2)，画出图形，利用全等三角形的知识，即可得到点的坐标．
【详解】解：如图，过AD⊥y轴于D，过作E⊥x轴于E，
∵点A的坐标为(1，-2)，∴AD=1，OD=2．
∵∠A1OE+∠A1OD=90°，∠AOD+∠A1OD=90°，∴∠A1OE =∠AOD．
又∵∠A1EO=∠ADO，OA1=OA，∴△A1EO≌△ADO，
∴A1E=AD=1，OE=OD=2，∴A1(-2，-1)，故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．
变式4-3. （2021·浙江宁波·二模）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．(1)试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；(2)若点B的坐标为( 3，5)，试在图中画出直角坐标系，并标出A． C两点的坐标；
(3)根据(2)的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，A(0，1)，C(－3，1)；（3）见解析，B2(3，－5)，C2(3，－1)
【分析】（1）先作出C1，再根据B1C1=BC作出B1，最后连结AC1、AB1、B1C1即可；
（2）根据B点坐标建立直角坐标系后，再写出A、C的坐标；
（3）由题意写出A2、B2、C2的坐标后即可作出△A2B2C2．
【详解】(1)由题意，在过A向上方向作C1，使得AC1=3，再过C1在水平向右方向作B1，使得B1C1=4，
连结AC1、AB1、B1C1，则△AB1C1即为求作图形；
(2)由题意，在B向右3,向下5的点处设立坐标原点，然后根据竖直向上为y轴正方向，水平向右方向为x轴正方向建立直角坐标系如图，
然后根据A、C点所在位置可以得到两点坐标为：A(0，1)，C(－3，1)；
(3)　由题意可以写出A2、B2、C2的坐标分别为：A2（0，-1），B2（3，-5）、C2（3，-1），
∴可以如图画出A2、B2、C2，然后顺次连结A2、B2、C2即可得到如图所示的△A2B2C2 ．
【点睛】本题考查旋转与中心对称坐标变换的应用，熟练掌握直角坐标系的知识及图形的坐标变换是解题关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，，，将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合，则的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
【答案】A
【分析】由题意可得，的值就是线段的长度，过点作，过点作，根据勾股定理求得的长度，再根据三角形相似求得，矩形的性质得到，即可求解．
【详解】解：由题意可得，的值就是线段的长度，
过点作，过点作，如下图：
∵，∴，由勾股定理得
∵∴，
又∵∴∴
∴，即解得，
∵∴∴∴，即解得
由题意可知四边形为矩形，∴ 故选A
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
2．（2021·河北路北·三模）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．
【答案】(4，3)
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案.
【详解】过点A作AH⊥x轴于点H，∵A（1,3），∴AH=3，由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC=BD，
∵，∴BD=3，∴AC=3，∴C(4，3)答案为：(4，3).
【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.
3．（2020·柳州市中考真题）点A的坐标是（2，﹣3），将点A向上平移4个单位长度得到点A'，则点A'的坐标为_____．
【答案】（2，1）．
【分析】将点A的纵坐标加4，横坐标不变，即可得出点A′的坐标．
【详解】解：将点A（2，﹣3）向上平移4个单位得到点A′，
则点A′的坐标是（2，﹣3+4），即（2，1）．故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
4．（2021·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室二模）如图，将一矩形OBAC放在平面直角坐标系中，O为原点，点B，C分别在x轴、y轴上，点A为（8，6），点D为线段OC上一动点．将△BOD沿BD翻折，点O落在点E处，连接CE．当CE的长最小时，点D的坐标为_____________．
【答案】（0，）
【分析】当C、E、B共线时，EC最小，此时EC=BC-BE=BC-BO，设OD=DE=x，在RT△CDE中利用勾股定理，列出方程即可解决问题．
【详解】解：如图：
当C、E、B共线时，EC最小，此时EC=BC-BE=BC-BO，
在中，
EC的最小值=BC-BO=10-8=2设OD=DE=x
在Rt△CDE中，
解得：点D的坐标为：（0，）．故答案为：（0，）．
【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找点E位置，学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．
5．（2021·吉林双阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点和的坐标分别为，，若将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为______．
【答案】（，2）；
【分析】过点C作CD⊥x轴，垂足为D，然后证明△ACD≌△BAO，然后得到AD和CD的长度，即可求出答案．
【详解】解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，如图
由旋转的性质，则，，∴，∴，
∵，，∴△ACD≌△BAO，∴AD=BO，CD=AO，
∵点和的坐标分别为，，∴BO=4，AO=2，∴AD=4，CD=2，∴DO=ADAO=2，
∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（，2）；故答案为：（，2）；
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出所需线段的长度．
6．（2021·浙江九年级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、．（1）请画出绕点顺时针旋转得到的；（2）若点在线段上，且直线将分成面积相等的两部分，请画出线段，并写出的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，
【分析】（1）根据题意将绕点顺时针旋转，即将绕点顺时针旋转，得到，连接即可，则即为所求；（2）根据三角形中线的性质，找到，的中点，连接即可，根据坐标系写出点的坐标即可．
【详解】（1）如图，将绕点顺时针旋转，即将绕点顺时针旋转，得到，连接即可，则即为所求；
（2）如图，根据三角形中线的性质，找到，的中点，连接，则
【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
考向5. 点的坐标规律探索
【典例精析】
【例】（2021·浙江金东·一模）如图，动点P从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2021次碰到矩形的边时，点P的坐标为_____．
【答案】（1，4）
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2021除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解： 如图，
经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），反射角等于入射角，等于45°，
∵P从(0，3)出发，∴第一次反弹的碰触点为（3,0），第二次反弹的碰触点为（7,4），第三次反弹的碰触点为（8,3），第四次反弹的碰触点为（5,0），第五次反弹的碰触点为（1,4），第六次反弹的碰触点为（0,3），依次循环，∵2021÷6=336…5，∴当点P第2021次碰到矩形的边时为第336个循环组的第5次反弹，点P的坐标为（1，4）．故答案为：（1，4）．
【点睛】本题考查了坐标系坐标的规律问题，正确作出反弹的规律图是解题的关键．
【变式训练】
变式5-1. （2021·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为___________．
【答案】
【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点的坐标，再归纳类推出一般规律即可得．
【详解】解：由题意得：，即，，即，
，即，，即，
观察可知，点的坐标为，其中，
点的坐标为，其中，点的坐标为，其中，
归纳类推得：点的坐标为，其中为正整数，
，点的坐标为，故答案为：．
【点睛】本题考查点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
变式5-2. （2021·江苏中考模拟）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为(1，2，5)，点B的坐标可表示为(4，1，3)，按此方法，则点C的坐标可表示为_______．
【答案】
【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
【详解】解：根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，所以点C的坐标可表示为（2，4，2），故答案为（2，4，2）．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
变式5-3. （2020·辽宁营口市·中考真题）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为_____．
【答案】（1+）2019
【分析】解直角三角形求出A1B1，A2B2，A3B3，…，探究规律利用规律即可解决问题．
【详解】解：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1 tan60°＝，∵A1B1∥A2B2，∴，∴，
∴A2B2＝（1+），同法可得，A3B3＝（1+）2，……
由此规律可知，A2020B2020＝（1+）2019，故答案为：（1+）2019．
【点睛】本题考查解直角三角形，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
【考点巩固训练】
1.（2021·浙江九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2021个等腰直角三角形的面积是_____．
【答案】
【分析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【详解】解：∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为 =，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），∴第3个等腰直角三角形的边长为10 6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，…
第n个等腰直角三角形的面积则第2021个等腰直角三角形的面积是；故答案为：．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
2．（2021·山东中考真题）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 _______．
【答案】2022
【分析】终点在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值．
【详解】解：∵是第四象限的点，∴落在第四象限．
∴在第四象限的点为
∵
∴故答案为：2022
【点睛】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．
3．（2021·广西柳江·二模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2,0），第3次接着运动到点（3,2），…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点P的坐标．
【详解】解：观察点的坐标变化可知：第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），第4次接着运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…
按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，4个数一个循环，
所以2021÷4=505…1，所以经过第2021次运动后，动点P的坐标是（2021，1）．故选B．
【点睛】本题考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律．
4．（2020·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角钱OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3……以此类推，则正方形OB2020B2021C2021的顶点B2021的坐标是________．
【答案】（-21011，-21011）
【分析】首先先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点B2021的坐标．
【详解】解：∵正方形OA1B1C1的边长为2，∴OB1=2，点B1的坐标为（2，2）
∴OB2=2×=4∴B2（0，4），同理可知B3（-4，4），B4（-8，0），B5（-8，-8），B6（0，-16），B7（16，-16），B8（32，0），B9（32，32），B10（0，64）．
由规律可以发现，点B1在第一象限角平分线上、B2在y轴正半轴上、B3在第二象限角平分线上、B4在x轴负半轴上、B5在第三象限角平分线上、B6在y轴负半轴上、B7在第四象限角平分线上、B8在x轴正半轴上、B9在第一象限角平分线上、B10在y轴正半轴上，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2021÷8=252 5，∴B2021和B5都在第三象限角平分线上，且OB2021=2×=2×21010×=21011×
∴点B2021到x轴和y轴的距离都为21011×÷=21011．∴B2021（-21011，-21011）故答案为：（-21011，-21011）．
【点睛】此题考查的是一个循环规律归纳的题目，解答此题的关键是确定几个点坐标为一个循环，再确定规律即可．
5．（2021·湖北十堰·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如图顺序依次排列为，，，，，，…，根据这个规律，第2021个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．
【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，…
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），
∴2021个点的坐标是（45，4）；故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．
考向6. 函数的相关概念与函数图象问题
【典例精析】
【例】（2021 嘉兴）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．（1）y是关于x的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
【分析】（1）根据函数的定义，可直接判断；（2）由图象可知，“加速期”结束时，即跑30米时，小斌的速度为10.4m/s．（3）答案不唯一．建议合理即可．
【详解】解：（1）y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．
（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．
【变式训练】
变式6-1. （2021·湖北黄石市·中考真题）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不为0以及零次幂的底数不为0，列式计算即可得解．
【详解】解：函数的自变量的取值范围是：且，
解得：且，故选：C．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
变式6-2. （2021·辽宁阜新·中考真题）育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要_________ h才能追上七（1）班．
【答案】2
【分析】分析题目可知，当七（2）班出发时，七（1）班出发1小时，已经走了4km，即七（1）班的速度为图中表示联络员追上七（1）班，用时h，可以算出联络员与七（1）班的速度差那么联络员的速度为联络员用了第一次返回到自己班级七（2）班，即联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和，据此列出方程，求出七（2）班的速度，即可计算出追上七（1）班所需时间．
【详解】解：由题意得：七（1）班的速度为：联络员与七（1）班的速度差为：
即联络员的速度为： 当七（2）班出发时，
联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和，
设七（2）班的速度为列出方程： ，解得：
即七（2）班的速度为，则七（2）班追上七（1）班需要的时间为：故填：2．
【点睛】本题考查从函数图像获取信息，解题关键是由图像给出的信息，结合实际问题，求出两个班级的速度．
变式6-3. （2021·湖南邵阳市·中考真题）某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（ ）
A．小明修车花了15min B．小明家距离学校1100m
C．小明修好车后花了30min到达学校 D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s
【答案】A
【分析】根据函数图像进行分析计算即可判断．
【详解】解：根据图像7:05-7:20为修车时间20-5=15分钟，故A正确；
小明家距离学校2100m，故B错误；小明修好车后花了30-20=10分钟到达学校，故C错误；
小明修好车后骑行到学校的平均速度是（2100-1000）÷600=m/s，故D错误；故选：A．
【点睛】本题考查函数图像的识别，正确理解函数图像的实际意义是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·黑龙江中考真题）在函数中，自变量的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件及函数的概念可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：，解得：，
∴在函数中，自变量的取值范围是；故答案为．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件及函数，熟练掌握分式有意义的条件及函数是解题的关键．
2．（2021·湖南永州市·中考真题）已知函数，若，则_________．
【答案】2
【分析】根据y值可确定x的取值范围，根据x的取值范围结合函数关系式列方程求出x的值即可得答案．
【详解】∵0≤x＜1时，0≤x2＜1，，
∴y=2时，x≥1，∴2x-2=2，解得：x=2，故答案为：2
【点睛】本题考查函数值，根据y值结合各函数关系式得出对应的x的取值范围是解题关键．
3．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）春耕期间，市农资公司连续8天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第七天开始销售．若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量s（单位：吨）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是____天．
【答案】10
【分析】通过分析题意和图象可求调入化肥的速度，销售化肥的速度；从而可计算最后销售化肥20吨所花的时间．
【详解】解：调入化肥的速度是30÷6=5（吨/天），
当在第6天时，库存物资应该有30吨，在第8天时库存20吨，
∴销售化肥的速度是（吨/天），∴剩余的20吨完全调出需要20÷10=2（天），
故该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是8+2=10（天）．故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了从函数图象获取信息．解题的关键是注意调入化肥需8天，但6天后调入化肥和销售化肥同时进行．
4．（2020·湖北武汉市·中考真题）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
【答案】C
【分析】设每分钟的进水量为，出水量为，先根据函数图象分别求出b、c的值，再求出时，y的值，然后根据每分钟的出水量列出等式求解即可．
【详解】设每分钟的进水量为，出水量为,由第一段函数图象可知，
由第二段函数图象可知，即解得
则当时，
因此，解得故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象的应用，理解题意，从函数图象中正确获取信息，从而求出每分钟的进水量和出水量是解题关键．
5．（2021·四川资阳市·中考真题）一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境：
①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；
②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升；
③在矩形中，，点P从点A出发．沿路线运动至点A停止．设点P的运动路程为x，的面积为y．其中，符合图中函数关系的情境个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】由题意及函数图象可直接进行判断①②，③由题意作出图形，然后再根据矩形的性质、勾股定理及三角形面积计算公式可进行判断．
【详解】解：①设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米，
600×2.5=1500（米）=1.5千米，1500÷1000=1.5分钟，
∵4.5-2.5=2分钟，6-4.5=1.5分钟，∴①符合该函数关系；
②设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升，∴0.6×2.5=1.5升，1.5÷1=1.5秒，∴②符合该函数关系；
③如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，，∴，
∴，设点P的运动路程为x，的面积为y，
由题意可得当点P从点A运动到点C时，的面积逐渐增大，直到运动到点C时，达到最大，即为，
当点P在线段CD上运动时，的面积保持不变，此时x的范围为，
当点P在线段DA上时，则的面积逐渐减小，当点P与点A重合时，的面积为0，此时x=6，
∴③也符合该函数关系；∴符合图中函数关系的情境个数为3个；故选A．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质及矩形的性质、勾股定理，熟练掌握一次函数的图象与性质及矩形的性质、勾股定理是解题的关键．
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第三章 函数（浙江省专用）
第10节 平面直角坐标系与函数的概念
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·四川内江·中考真题）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件可得结果．
【详解】解：由题意得：，，解得：且，故选：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟知根号下为非负数以及分母不为零是解题的关键．
2．（2021 下城区期末）已知点A的坐标为（a+1，3﹣a），下列说法正确的是（　　）
A．若点A在y轴上，则a＝3 B．若点A在一三象限角平分线上，则a＝1
C．若点A到x轴的距离是3，则a＝±6 D．若点A在第四象限，则a的值可以为﹣2
【思路点拨】依据坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，即可得出结论．
【答案】解：A．若点A在y轴上，则a+1＝0，解得a＝﹣1，故本选项错误；
B．若点A在一三象限角平分线上，则a+1＝3﹣a，解得a＝1，故本选项正确；
C．若点A到x轴的距离是3，则|3﹣a|＝3，解得a＝6或0，故本选项错误；
D．若点A在第四象限，则a+1＞0，且3﹣a＜0，解得a＞3，故a的值不可以为﹣2；故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征，解题时注意：横轴上点的纵坐标为0，纵轴上点的横坐标为0．
3．（2021 嘉兴中考真题）已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】结合选项可知，只需要判断出a和b的正负即可，点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，代入可得关于a和b的等式，再代入不等式2a﹣5b≤0中，可判断出a与b正负，即可得出结论．
【详解】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，∴﹣3a﹣4＝b，
又2a﹣5b≤0，∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，解得a0，当a时，得b，∴b，
∵2a﹣5b≤0，∴2a≤5b，∴．故选：D．
4．（2021·四川巴中·中考真题）小风在1000米中长跑训练时，已跑路程x（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．小风的成绩是220秒 B．小风最后冲刺阶段的速度是5米/秒
C．小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等 D．小风的平均速度是4米/秒
【答案】D
【分析】根据函数图像上的数据，求出相应阶段的速度即可得到正确的结论.
【详解】解：A、由函数图像可知，小风到底终点的时间是220秒，故此选项正确；
B、由函数图像可知，最后的冲刺时间是220-200=20秒，冲刺距离是1000-900=100米，即可得到冲刺速度是100÷20=5米/秒，故此选项正确；
C、由函数图像可知一开始阶段20秒跑了100米，所以此时的速度是100÷20=5米/秒，故此选项正确；
D、全程路程为1000米，时间为220秒，所以平均速度是1000÷220≠4米/秒，故此选项错误；故选D.
【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息，正确地理解函数图像横纵坐标表示的意义是解题的关键.
5．（2021·北京石景山·二模）下图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为，表示冰壶馆的点的坐标为，则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是（ ）
A．滑雪大跳台 B．五一剧场 C．冬奥组委会 D．全民畅读艺术书店
【答案】A
【分析】以群明湖的位置向右2个单位，为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出各建筑点的坐标，从而得解．
【详解】解：∵群明湖的点的坐标为，表示冰壶馆的点的坐标为，
则建立平面直角坐标系如图所示，
∴滑雪大跳台，五一剧场，冬奥组委会，全民畅读艺术书店，
故A正确，B、C、D错误；故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．
6．（2021·福建·厦门市第九中学二模）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据实数的意义可知＜0，可知其在第四象限.
【详解】解：∵∴点（2，）在第四象限，故选D.
【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系的点的特点，解题关键是明确各象限的点的特点，然后可判断.第一象限的点的特点为（+，+），第二象限的点的特点为（-，+），第三象限的点的特点为（-，-），第四象限的点的特点为（+，-）.
7．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）已知点关于原点对称的点在第二象限，则x的取值范图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点M关于原点的对称点为M′，利用关于原点对称求出M′，根据第二象限的符号特征列不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：设点M关于原点的对称点为M′，∴点，
∵点在第二象限，∴列不等式组得，
解不等式①得，解不等式②得，∴不等式组的解集为：．故选择B．
【点睛】本题考查关于原点对称的特征，点在象限的特征，列不等式组以及解不等式组，掌握关于原点对称的特征，点在象限的特征，列不等式组以及解不等式组是解题关键．
8．（2020 枣庄中考真题）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（　　）
A．（，3） B．（﹣3，） C．（，2） D．（﹣1，2）
【分析】如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出′H，B′H即可．
【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°，
∴OH＝2+1＝3，∴B′（，3），故选：A．
9．（2020·湖南天心区·九年级其他模拟）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的点的坐标为（　　）
A．（2，5） B．（﹣6，5） C．（2，1） D．（﹣6，1）
【答案】C
【分析】横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所得到的点的坐标为（﹣2+4，3﹣2），再解即可．
【详解】解：将点P（﹣2，3）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（﹣2+4，3﹣2），即（2，1）．故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化--平移，关键是掌握点的坐标与图形的平移的关系．
10．（2021·安徽义安·一模）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2021的面积是（　　）
A．505.5 m2 B．505 m2 C．504.5 m2 D．506 m2
【答案】A
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出，，据此利用三角形的面积公式计算可得．
【详解】由题意得：……
结合图形可得移动4次图象完成一个循环，∴，
∴ ( m2) 故选A
【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．
11．（2021·广西玉林市·中考真题）图（1），在中，，点从点出发，沿三角形的边以/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度（）随运动时间（秒）变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图象及题意易得AB=8cm，AB+BC=18cm，则有BC=10cm，当x=13s时，点P为BC的中点，进而根据直角三角形斜边中线定理可求解．
【详解】解：由题意及图象可得：当点P在线段AB上时，则有，AP的长不断增大，当到达点B时，AP为最大，所以此时AP=AB=8cm；
当点P在线段BC上时，由图象可知线段的长度先随运动时间的增大而减小，再随运动时间的增大而增大，当到达点C时，则有AB+BC=18cm，即BC=10cm，由图象可知当时间为13s时，则BP=13-8=5cm，此时点P为BC的中点，如图所示：
∵，∴，∴点的坐标是；故选C．
【点睛】本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边中线定理及函数图象，解题的关键是根据函数图象得到相关信息，然后进行求解即可．
12．（2021·湖南中考真题）如图，在边长为4的菱形中，．点从点出发，沿路线运动．设点经过的路程为，以点，，为顶点的三角形的面积为，则下列图象能反映与的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】过点B作BE⊥AD于点E，由题意易得，当点P从点A运动到点B时，△ADP的面积逐渐增大，当点P在线段BC上时，△ADP的面积保持不变，当点P在CD上时，△ADP的面积逐渐减小，由此可排除选项．
【详解】解：过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：
∵边长为4的菱形中，，∴，∴∠ABE=30°，∴，∴，
当点P从点A运动到点B时，△ADP的面积逐渐增大，点P与点B重合时，△ADP的面积最大，最大为；当点P在线段BC上时，△ADP的面积保持不变；
当点P在CD上时，△ADP的面积逐渐减小，最小值为0；∴综上可得只有A选项符合题意；故选A．
【点睛】本题主要考查函数图象及菱形的性质、勾股定理，熟练掌握函数图象及菱形的性质、勾股定理是解题的关键．
二、填空题
13．（2021 杭州 中考真题）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC　　∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．
【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系．
【详解】解：连接DE，
由上图可知AB═2，BC═2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC═45°，
又∵AE═══，同理可得DE══，AD══，
则在△ADE中，有AE2+DE2═AD2，∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE═45°，∴∠BAC═∠DAE，故答案为：═．
14．（2019 金华 中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是　 　．
【分析】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决．
【详解】解：令150t＝240（t﹣12），解得，t＝32，
则150t＝150×32＝4800，∴点P的坐标为（32，4800），故答案为：（32，4800）．
15．（2021·甘肃酒泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，，已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，以此类推，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解．
【详解】解：由题意得，作出如下图形：
N点坐标为（-1，0），N点关于A点对称的N1点的坐标为（-3，0），
N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），N2点关于C点对称的N3点的坐标为（-3，-8），
N3点关于A点对称的N4点的坐标为（-1，8），N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，-4），
N5点关于C点对称的N6点的坐标为（-1，0），此时刚好回到最开始的点N处，∴其每6个点循环一次，
∵2021÷6=336……5，即循环了336次后余下5，
故N2021的坐标与N5点的坐标相同，其坐标为（3，-4）．故答案为（3，-4）．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的对称规律问题，本题需要先去验算前面一部分点的坐标，进而找到其循环的规律后即可求解．
16．（2021·上海中考真题）已知，那么__________．
【答案】．
【分析】直接利用已知的公式将x的值代入求出答案．
【详解】解：∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了函数值，正确把已知代入是解题关键．
17．（2021·福建湖里·二模）在平面直角坐标系中，轴，点，，则点的坐标为______．
【答案】或
【分析】由AB平行于x轴知A、B两点的纵坐标均为，由线段AB的长为，分点B在A的左、右两侧分别求解即可．
【详解】解：∵AB平行于轴，且A，∴A、B两点的纵坐标相同，均为，
又∵线段AB的长为，∴点B的坐标为或．故答案为：或
【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，根据平行于轴得出纵坐标相等是关键，要注意全面考虑到各种情况．
18．（2020 泰安中考真题）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M的坐标为　 　．
【分析】延长A'B'后得出点M，进而利用图中坐标解答即可．
【解答】解：将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，如图所示：
所以点M的坐标为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．
三、解答题
19．（2020·湖北孝感市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．
【答案】（1）（2，-4） （2） （3）（0,4）
【分析】（1）平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，向下平移5个单位，故可以确定D点坐标．（2）根据B、C、E三点坐标，连接BE，可以判断出△BCE为直角三角形，故可求解的值．（3）过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．此时△ABF的
周长最小，通过求解函数解析式确认点Ｆ的坐标．
【详解】解：(1)如图所示：平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，再向下平移5个单位，根据题意可知，B点(-3,1)平移到D点，故可以确定点D的坐标．点D的坐标为；
(2)如图所示：根据题意，AE是线段AB围绕点A逆时针旋转90°得到，故AB=AE，不难算出点E的坐标为(3,3)．连接BE，根据B、C、E三点坐标算出BC=、EC=、BE=，故,可以判断出△BEC为直角三角形．故
(3)如图所示：过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．故可知A’的坐标为(1,5)，点B的坐标为(-3,1),设A’B的函数解析式为y=kx+b，将(1,5)，(-3,1)代入函数解析中解得k=1，b=4，则函数解析式为y=x+4,则F点坐标为(0,4), 故点F的坐标为(0,4)．
【点睛】（1）本题主要考查平移，洞察点A是如何平移到点C，是求出D点坐标的关键．（2）连接BE，根据B、C、E三点坐标判断出△BCE是直角三角形，就不难算出的值．（3）本题通过做A点的对称点A’，连接A’B，找到A’B与y轴的交点F是解答本题的关键．
20．（2021·浙江·一模）如图，已知的三个顶点坐标为，，.
（1）将绕坐标原点旋转，画出旋转后的，并写出点的对应点的坐标 ；（2）将绕坐标原点逆时针旋转，直接写出点的对应点Q的坐标 ；
（3）请直接写出：以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标 .
【答案】（1）；（2）；（3）或或.
【分析】（1）根据题意作出图形，即可根据直角坐标系求出坐标；（2）根据题意作出图形，即可根据直角坐标系求出坐标；（3）根据平行四边形的性质作出图形即可写出.
【详解】解：（1）旋转后的图形如图所示，点的对应点Q的坐标为：；
（2）如图点的对应点的坐标；
（3）如图以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为：
或或
【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知图形的旋转作图及平行四边形的性质.
21．（2021·四川·广汉市教学研究教师培训中心九年级期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC绕原点旋转180°的△A2B2C2；并写出各点的坐标．（2）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．
【答案】（1）图见解析，A2（﹣1，﹣1），B2（﹣4，﹣2），C2（﹣3，﹣4）；（2）图见解析，点P坐标为（2，0）．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、、关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；（2）找出点A关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，然后利用待定系数法求A′B的解析式，求出A′B与x轴的交点坐标可求点的坐标．
【详解】解：（1）△ABC绕原点旋转180°的△A2B2C2；中心对称的点的特征是对应点的的横纵坐标互为相反数，A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
∴对称点的坐标为A2（-1，-1），B2（-4，-2），C2（-3，-4），
在平面直角坐标系中描出点A2（-1，-1），B2（-4，-2），C2（-3，-4），
顺次连接A2B2， B2C2，C2A2，△如图所示；
（2）作点A(1，1)关于x轴的对应点，连接，
点P即为A′B与x轴的交点，此时△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+A′B最短，
设A′B的解析式为，过点A′与点B，把坐标代入解析式得：
，解得，A′B的解析式为，当y=0时，，
解得．此时点P坐标为(2，0) ．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，待定系数法求直线解析式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．（2021·四川·中江县凯江中学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（ 4，1），B（ 2，4），C（ 2，1）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，写出顶点C1的坐标；
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，2），画出平移后对应的△A2B2C2，写出顶点C2的坐标；（3）在x轴上有一点P，使得PA＋PA2的值最小，请作图，直接写点P的坐标．
【答案】（1）作图见解析，；（2）作图见解析，；（3）作图见解析，
【分析】（1）找到以点O为旋转中心旋转180°，的对应点,顺次连接，则△A1B1C1即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可；
（2）根据题意，点A的对应点A2的坐标为（0，2），可知平移方式为向右平移4个单位向上平移1个单位，进而可得的坐标，顺次连接，则△A2B2C2即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可；（3）根据轴对称求线段和最值问题，作关于的对称点，连接与轴交于点，点即为所求，根据两点待定系数法求解析式，令，进而即可求得点的坐标．
【详解】（1）如图，找到以点O为旋转中心旋转180°，的对应点,顺次连接，则△A1B1C1即为所求，点的坐标为；
（2）如图，点A的对应点A2的坐标为（0，2），可知平移方式为向右平移4个单位向上平移1个单位，进而可得的坐标，顺次连接，则△A2B2C2即为所求，点的坐标为；
（3）如图，作关于的对称点，连接与轴交于点，点即为所求，点的坐标为．
关于轴对称的点为
又，设的解析式为
则解得的解析式为令，解得．
【点睛】本题考查了画旋转图，平移作图，轴对称的性质，坐标与图形，掌握旋转、平移、轴对称的性质是解题的关键．
23．（2019 湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
（2）根据函数图象中的数据可以求得OA的函数解析式，然后将x＝18代入OA的函数解析式，即可求得点E的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
（3）根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以函数图象补充完整．
【详解】解：（1）由图可得，甲步行的速度为：2400÷30＝80（米/分），
乙出发时甲离开小区的路程是10×80＝800（米），
答：甲步行的速度是80米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800米；
（2）设直线OA的解析式为y＝kx，30k＝2400，得k＝80，
∴直线OA的解析式为y＝80x，当x＝18时，y＝80×18＝1440，
则乙骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分），
∵乙骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟），
∴乙骑自行车的路程为：180×15＝2700（米），
当x＝25时，甲走过的路程为：80×25＝2000（米），
∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米），
答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米；
（3）乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分），
乙到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分），
当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如右图所示．
24．（2021·江苏宿迁市·中考真题）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图：
(1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ．(2)慢车出发多少小时候，两车相距200km．
【答案】（1）100，（8,480）；（2）1.75h和4.875h．
【分析】（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km， 0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶，进而求出慢车速度，然后再求出快车的速度；A、B段为快车已维修好，两车共同行驶且快车在B点到站，BC段仅为慢车行驶；则可求出B点坐标，进而求出C点的横坐标即可解答；（2）分快车出现故障前和故障后两种情况解答即可．
【详解】解：（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km
在0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶
则慢车速度为=60km/h 设快车速度为v，则有：（v+60）×3=480，解得v=100km/h
∴B点的横坐标为+1=5.8，从坐标为60+（60+100）×（5.8-4）=348，即B（5.8,348）
∴慢车行驶时间为h，∴C点的横坐标为8∴C点的坐标为（8,480）；
（2）在快车出现故障前，两车相距200km 所用时间为：（480-200）÷（100+60）=1.75h；
在快车出现故障后，慢车1小时行驶了60km，然后两车共同行驶了200-60=140km
共同行驶时间为140÷（100+60）=0.875h∴两车相距200km 所用时间为4+0.875=4.875h．
答：两车相距200km 所用时间为1.75h和4.875h．
【点睛】本题考查从函数图象中获取信息和行程问题，从函数图象中获取有用的信息成为解答本题的关键．
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第三章 函数（浙江省专用）
第10节 平面直角坐标系与函数的概念
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·四川内江·中考真题）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
2．（2021 下城区期末）已知点A的坐标为（a+1，3﹣a），下列说法正确的是（　　）
A．若点A在y轴上，则a＝3 B．若点A在一三象限角平分线上，则a＝1
C．若点A到x轴的距离是3，则a＝±6 D．若点A在第四象限，则a的值可以为﹣2
3．（2021 嘉兴中考真题）已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021·四川巴中·中考真题）小风在1000米中长跑训练时，已跑路程x（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．小风的成绩是220秒 B．小风最后冲刺阶段的速度是5米/秒
C．小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等 D．小风的平均速度是4米/秒
5．（2021·北京石景山·二模）下图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为，表示冰壶馆的点的坐标为，则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是（ ）
A．滑雪大跳台 B．五一剧场 C．冬奥组委会 D．全民畅读艺术书店
6．（2021·福建·厦门市第九中学二模）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）已知点关于原点对称的点在第二象限，则x的取值范图是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020 枣庄中考真题）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（　　）
A．（，3） B．（﹣3，） C．（，2） D．（﹣1，2）
9．（2020·湖南天心区·九年级其他模拟）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的点的坐标为（　　）
A．（2，5） B．（﹣6，5） C．（2，1） D．（﹣6，1）
10．（2021·安徽义安·一模）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2021的面积是（　　）
A．505.5 m2 B．505 m2 C．504.5 m2 D．506 m2
11．（2021·广西玉林市·中考真题）图（1），在中，，点从点出发，沿三角形的边以/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度（）随运动时间（秒）变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·湖南中考真题）如图，在边长为4的菱形中，．点从点出发，沿路线运动．设点经过的路程为，以点，，为顶点的三角形的面积为，则下列图象能反映与的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．（2021 杭州 中考真题）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC　　∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．
14．（2019 金华 中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是　 　．
15．（2021·甘肃酒泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，，已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，以此类推，则点的坐标为______．
16．（2021·上海中考真题）已知，那么__________．
17．（2021·福建湖里·二模）在平面直角坐标系中，轴，点，，则点的坐标为______．
18．（2020 泰安中考真题）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M的坐标为　 　．
三、解答题
19．（2020·湖北孝感市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．
20．（2021·浙江·一模）如图，已知的三个顶点坐标为，，.
（1）将绕坐标原点旋转，画出旋转后的，并写出点的对应点的坐标 ；（2）将绕坐标原点逆时针旋转，直接写出点的对应点Q的坐标 ；（3）请直接写出：以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标 .
21．（2021·四川·广汉市教学研究教师培训中心九年级期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC绕原点旋转180°的△A2B2C2；并写出各点的坐标．（2）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．
22．（2021·四川·中江县凯江中学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（ 4，1），B（ 2，4），C（ 2，1）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，写出顶点C1的坐标；
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，2），画出平移后对应的△A2B2C2，写出顶点C2的坐标；（3）在x轴上有一点P，使得PA＋PA2的值最小，请作图，直接写点P的坐标．
23．（2019 湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
24．（2021·江苏宿迁市·中考真题）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图：(1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ．(2)慢车出发多少小时候，两车相距200km．
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第三章 函数（浙江省专用）
第10节 平面直角坐标系与函数的概念
【考试要求】
1.认识并能画出平面直角坐标系，了解平面直角坐标系内点的特征，能根据坐标确定点的位置，能点的位置写出它的坐标；
2.掌握关于原点、坐标轴对称的点的坐标特征，能综合运用图形的坐标的特征解决简单的实际问题；
3.了解函数的概念并能确定自变量的取值范围，能根据条件列出函数关系式并求出函数值，能用描点法画函数图象.
【考情预测】
该版块内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，是非常基础也是非常重要的，年年都会考查，分值为8分左右，预计2022年各地中考还将出现，在选填题中出现的可能性较大.
【考点梳理】
1．平面直角坐标系的概念及点的坐标特征：
(1)各象限内点的坐标特征如图所示．
(2)点到坐标轴或坐标原点的距离：点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为．
(3)特殊点的坐标特征：点P(x，y)在x轴上为(x，0)，在y轴上为(0，y)．若在第一、三象限的角平分线上，则x＝y；若在第二、四象限的角平分线上，则x＋y＝0．
(4)坐标系内点的对称及平移：
点P(x，y) 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称
对称点的坐标 (x，－y) (－x，y) (－x，－y)
将点P(x，y)向左(或右)平移a(a＞0)个单位，得对应点为(x－a，y)或(x＋a，y)．向上(或下)平移b(b＞0)个单位，得对应点为(x，y＋b)或(x，y－b)．
(5)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：①平行于x轴的直线上，所有点的 纵 坐标相等．
②平行于y轴的直线上，所有点的 横 坐标相等．
2．函数与图象：
(1)函数的定义：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．
(2)函数自变量的取值范围：由表达式给出的函数，自变量的取值范围应使表达式有意义．对于实际意义的函数，自变量的取值范围还应使实际问题有意义．
(3)函数的三种表示方法：①解析法；②列表法；③图象法．
(4)函数图象的画法：①列表；②描点；③连线．
【重难点突破】
考向1. 有序数对与位置确定
【典例精析】
【例】1．（2019·浙江中考真题）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（ ）
A．在南偏东75 方向处 B．在5km处 C．在南偏东15 方向5km处 D．在南偏东75 方向5km处
【变式训练】
变式1-1．（2021·海南中考真题）如图，点都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．（2021·湖北宜昌·模拟预测）如果第二列第一行用有序数对（2，1）表示，那么数对（3，6）和（3，4）表示的位置是（ ）
A．同一行 B．同一列 C．同行同列 D．不同行不同列
变式1-3．（2021·浙江·一模）如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达；从出发向北走也到达．下列说法错误的是（ ）
A．从点向北偏西45°走到达 B．公路的走向是南偏西45°
C．公路的走向是北偏东45° D．从点向北走后，再向西走到达
【考点巩固训练】
1．（2021·贵州遵义·中考真题）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（　　）
A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．（﹣1，2）
2．（2020·湖北宜昌市·中考真题）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．
A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列
3．（2021·四川成都·二模）如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（　　）
A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（ 4，240°） D．E（3，60°）
4．（2021·山西中考真题）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为__________．
5．（2021·浙江九年级月考）如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”．若“今”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是_____，破译“正做数学”的真实意思是_____．
6．（2020·山东威海·中考真题）如图①，某广场地面是用．．三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（型）地砖记作，第二块（型）地时记作…若位置恰好为型地砖，则正整数，须满足的条是__________．
考向2. 点的坐标特征
【典例精析】
【例】（2021·浙江·一模）如果点在轴上，那么点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练】
变式2-1. （2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是________．
变式2-2. （2021·浙江中考模拟）对任意实数x，点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式2-3. （2021·江苏江都·二模）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点“P到x轴的距离为2，则P点的坐标为______．
【考点巩固训练】
1．（2021·青海中考真题）已知点在第四象限，则的取值范围是______．
2．（2020·贵州毕节市·中考真题）在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·广东香洲·二模）在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是____．
4．（2021·广西·二模）在平面直角坐标系中，有，两点，若轴，则A，B两点间的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021·重庆·字水中学一模）现有四张正面分别标有数字－1，0，－2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m不放回，再从余下的卡片中取一张记作n．则点P（m，n）在第二象限的概率为概率是_______．
6．（2020 金华 中考真题）点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可）　　．
考向3. 对称点的特征
【典例精析】
【例】（2021·湖北荆州市·中考真题）若点关干轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
变式3-1. （2020·黑龙江大庆市·中考真题）点(2，3)关于y轴对称的点的坐标为_____．
变式3-2. （2021·广西桂平·一模）在平面直角坐标系中，点关于原点对称点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式3-3. （2020四川雅安·中考模拟）在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），P点关于x轴的对称点为P2（a、b），则=（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
【考点巩固训练】
1．（2020·凉山州·中考真题）点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广东黄埔·一模）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江三模）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2021·河北桥西·模拟预测）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020 菏泽中考真题）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣6，2） D．（﹣6，﹣2）
6．（2021·浙江·九年级零模）如图，三个顶点的坐标分别为，，直线是过点且与轴平行的直线，关于直线对称的三角形为，则点的坐标为（ 　 ）
A． B． C． D．
考向4. 坐标系中的平移、旋转与翻折
【典例精析】
【例】（2021·浙江·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，．先将线段沿轴翻折得到线段，再将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若点的坐标为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式4-1. （2021·湖南湘潭·中考真题）在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为____．
变式4-2. （2021·江苏·南通田家炳中学二模）已知点，点为坐标原点，连接，将线段按顺时针方向旋转90°，得到线段，则点的坐标是（ ）
A．（-1,-2） B．（1,2） C．（2,1） D．（-2,-1）
变式4-3. （2021·浙江宁波·二模）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．(1)试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；(2)若点B的坐标为( 3，5)，试在图中画出直角坐标系，并标出A． C两点的坐标；
(3)根据(2)的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．
【考点巩固训练】
1．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，，，将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合，则的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
2．（2021·河北路北·三模）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．
3．（2020·柳州市中考真题）点A的坐标是（2，﹣3），将点A向上平移4个单位长度得到点A'，则点A'的坐标为_____．
4．（2021·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室二模）如图，将一矩形OBAC放在平面直角坐标系中，O为原点，点B，C分别在x轴、y轴上，点A为（8，6），点D为线段OC上一动点．将△BOD沿BD翻折，点O落在点E处，连接CE．当CE的长最小时，点D的坐标为_____________．
5．（2021·吉林双阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点和的坐标分别为，，若将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为______．
6．（2021·浙江九年级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、．（1）请画出绕点顺时针旋转得到的；（2）若点在线段上，且直线将分成面积相等的两部分，请画出线段，并写出的坐标．
考向5. 点的坐标规律探索
【典例精析】
【例】（2021·浙江金东·一模）如图，动点P从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2021次碰到矩形的边时，点P的坐标为_____．
【变式训练】
变式5-1. （2021·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为___________．
变式5-2. （2021·江苏中考模拟）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为(1，2，5)，点B的坐标可表示为(4，1，3)，按此方法，则点C的坐标可表示为_______．
变式5-3. （2020·辽宁营口市·中考真题）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为_____．
【考点巩固训练】
1.（2021·浙江九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2021个等腰直角三角形的面积是_____．
2．（2021·山东中考真题）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 _______．
3．（2021·广西柳江·二模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2,0），第3次接着运动到点（3,2），…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角钱OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3……以此类推，则正方形OB2020B2021C2021的顶点B2021的坐标是________．
5．（2021·湖北十堰·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如图顺序依次排列为，，，，，，…，根据这个规律，第2021个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考向6. 函数的相关概念与函数图象问题
【典例精析】
【例】（2021 嘉兴）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．（1）y是关于x的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
【变式训练】
变式6-1. （2021·湖北黄石市·中考真题）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
变式6-2. （2021·辽宁阜新·中考真题）育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要_________ h才能追上七（1）班．
变式6-3. （2021·湖南邵阳市·中考真题）某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（ ）
A．小明修车花了15min B．小明家距离学校1100m
C．小明修好车后花了30min到达学校 D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s
【考点巩固训练】
1．（2021·黑龙江中考真题）在函数中，自变量的取值范围是_________．
2．（2021·湖南永州市·中考真题）已知函数，若，则_________．
3．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）春耕期间，市农资公司连续8天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第七天开始销售．若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量s（单位：吨）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是____天．
4．（2020·湖北武汉市·中考真题）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
5．（2021·四川资阳市·中考真题）一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境：
①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；
②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升；
③在矩形中，，点P从点A出发．沿路线运动至点A停止．设点P的运动路程为x，的面积为y．其中，符合图中函数关系的情境个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
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