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人教A版（2019） 选修第三册 第7.4节综合训练
一、单选题
1．每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为
A． B．
C． D．
2．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，流星数为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为(　　)
A．3.32×10－5 B．3.32×10－9 C．6.64×10－5 D．6.64×10－9
3．袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，那么下列事件中发生的概率为的是（ ）
A．都不是白球
B．恰有1个白球
C．至少有1个白球
D．至多有1个白球
4．设离散型随机变量的概率分布列为，则
A． B． C． D．
5．将标号为1，2，3，4，…，9的9个球放入标号为1，2，3，4，…，9的9个盒子中去，每个盒内放入一个小球，则恰好有5个小球的标号与其所在的盒子的标号一致的方法总数为
A．378 B．630 C．1134 D．812
6．已知，满足约束条件若（，）的最大值为7，则的最小值为
A．5 B．6 C．7 D．8
7．设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．事件A B，则P（A）＜P（B）
B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
D． P（A）+P（B）≤1
8．在4次的独立重复试验中，事件在一次试验中发生的概率为，则事件恰有1次发生的概率是
A． B． C． D．
二、填空题
9．在报名的5名男生和3名女生中，选取5人参加数学竞赛，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为__________．(结果用数值表示)
10．某一批花生种子，若每1粒发芽的概率为，则播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为________.
11．已知随机变量，且，则______．
12．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出个球，摸出红球的概是 摸出白球的概率是，那么摸出黑球的概率是 _____．
三、解答题
13．已知集合，从P中任取2个元素，分别记为a，b.
（1）若，随机变量X表示ab被3除的余数，求的概率；
（2）若（且），随机变量Y表示被5除的余数，求Y的概率分布及数学期望.
14．某抛掷骰子游戏中，规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子，若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.用随机变量表示该游戏者所得分数.
（1）求该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率;
（2）求随机变量的分布列和数学期望．
15．1.近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为部分人的消费习惯．某企业社团部为了解该企业员工、两种支付方式的使用情况，随机抽取了名男员工、名女员工，统计了他们的消费习惯，获得数据如下表：
男员工 女员工
经常使用 偶尔使用 从不使用 经常使用 偶尔使用 从不使用
方式 人 人 人 人 人
方式 人 人 人 人 人 人
(1)分别估算该企业男、女员工从不使用方式的概率；
(2)从该企业全体男员工中随机抽取人，全体女员工中随机抽取人，估算这人中恰有人经常使用方式的概率．
16．垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为p，小亮每轮答对的概率为且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知一轮活动中，“明亮队”至少答对1道题概率为．
(1)求p的值；
(2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率．
17．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中经X表示．
（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．
（注：方差其中为，，的平均数）
18．高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：，，，，，，．其中，，成等差数列且．物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分），若数学成绩不低于140分等第为“优”，物理成绩不低于90分等第为“优”.
分组
频数 6 9 20 10 5
（1）根据频率分布直方图，求出实数，，的值以及数学成绩为“优”的人数；
（2）已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从该6人中随机抽取3人，记为抽到两个“优”的学生人数，求的分布列和数学期望．
19．中国国际智能产业博览会（智博会）每年在重庆市举办一届，每年参加服务的志愿者分“嘉宾”、“法医”等若干小组．2018年底，来自重庆大学、西南大学、重庆医科大学、西南政法大学的500名学生在重庆科技馆多功能厅参加了“志愿者培训”，如图是四所大学参加培训人数的不完整条形统计图，现用分层抽样的方法从中抽出50人作为2019年中国国际智博会服务的志愿者．
（1）若“嘉宾”小组需要2名志愿者，求这2人分别来自不同大学的概率（结果用分数表示）．
（2）若法医小组的3名志愿者只能从重庆医科大学或西南政法大学抽出，用5表示抽出志愿者来自重庆医科大学的人数，求的分布列.
20．某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中选出3种商品进行促销活动．
（1）试求选出的3种商品中至少有1种是服装的概率；
（2）商场对选出的某种商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高120元，规定购买该商品的顾客均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到红球的总数为2，则可获得n元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得3n元奖励金；其他情况不给予奖励．规定每位购买该商品的顾客均可参加两次摸奖游戏．则商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】
【详解】
成功率为，则不成功的概率为.前7次都未成功概率为，后3次都成功概率为，故C正确．
考点：独立重复试验的概率.
2．B
【解析】
【详解】
相当于个流星独立重复次，其中落在地面上的有次的概率，应选B.
3．D
【解析】
【分析】
利用概型的概率公式逐个分析求解可得答案
【详解】
P(都不是白球)＝＝，P(恰有1个白球)＝＝，P(至少有1个白球)＝＝，P(至多有1个白球)＝＝.
故选：D.
4．B
【解析】
【分析】
利用分布列中，各随机变量对应概率的和为列方程求解即可.
【详解】
因为离散型随机变量的概率分布列为，
所以，可得，故选B.
【点睛】
本题主要考查分布列的定义与性质，意在考查对基本性质的掌握与应用，属于简单题.
5．C
【解析】
【详解】
由题意知本题是一个分步计数问题，
首先5个小球对号放入,即这5个小球可有种方法，
下一步任意一球去选有3种，选完后再由被选盒子号所对应的球去选也有3种，剩下两球没得选只有1种 ，
则剩下的4球放入4盒子中且不对号则总共有9种方法，
∴方法总数为：.
故选C.
6．C
【解析】
【详解】
解：由x,y满足约束条件画出可行域：
∵a>0,b>0,z=a(4x+2y)+b，
∴y= 2x+ ,其斜率 2<0,在y轴上的截距为，
由图象可知：当此直线过点(2, 1)时,z=a(4x+2y)+b取得最大值7.即6a+b=7.
则： ，
当且仅当a=b=1时取等号．
∴ 的最小值为7.
本题选择C选项.
7．C
【解析】
【分析】
根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概率与性质进行判断．
【详解】
若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误；
若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，
若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；
若事件A，B相互独立，且P（A），P（B），则P（A）+P（B）＞1，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查概率的性质，属于基础题.
8．C
【解析】
【详解】
试题分析：独立重复试验的性质可知，事件恰有1次发生的概率是.
考点：独立重复试验.
9．55
【解析】
【分析】
先计算所有的情况，排除不满足的情况得到答案.
【详解】
总共有种情况，排除全是男生的1种情况，共有种情况
故答案为：
【点睛】
本题考查了组合的应用，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键.
10．.
【解析】
由题意知，发芽种子的粒数满足二项分布，根据二项分布概率计算公式求解即可.
【详解】
由题意得，发芽种子的粒数X～B(n，p)，
其中；则播下3粒种子恰有2粒发芽的概率
故答案为：.
【点睛】
本题考查二项分布的实际应用，涉及二项分布概率计算公式.
11．
【解析】
【分析】
根据二项分布的期望公式得，进而根据二项分布概率公式计算即可.
【详解】
解：解法一：由题知，，解得，所以，
所以．
解法二：由题知，，解得，所以，
所以．
故答案为：
12．0．3
【解析】
【详解】
试题分析：：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的 摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，摸出黑球的概率是1-0．42-0．28=0．3
考点：互斥事件的概率
13．（1）（2）分布列详见解析，.
【解析】
【分析】
（1）从10个数中任取2个数有种可能，其中被3除余数为0，可分为两类，一类两个数是从中取得，一类是一个数从中取，一个数有其余7个数中取，这样可得基本事件的个数，从而得概率．
（2）把集合中的数按除以5后所得余数分成5类，，，，，.随机变量Y的可能取值为0，1，2，3，4，如事件“”分三类：从中任取2个数，从，中各取1个数，从，中各取1个数，以上类推可求得各概率，得概率分布列，再由期望公式计算出期望．
【详解】
（1）当时，从集合中任取2个元素a，b，共有种等可能基本事件，其中共包括种基本事件，
所以.
（2）当时，将集合中元素按被5除的余数分为五类：
，
，
，
，
.
因为随机变量Y表示被5除的余数，所以Y的可能取值为0，1，2，3，4.
事件“”分三类：从中任取2个数，从，中各取1个数，从，中各取1个数，所以
同理可得，
，
，
，
则Y的概率分布如下：
Y 0 1 2 3 4
P
所以.
【点睛】
本题考查古典概型，解题关键是求得各事件中所含基本事件的总数，这可由分类计数原理和排列组合知识计算，本题还考查随机事件的概率分布列与数学期望，属于中档题．
14．（1）（2）见解析
【解析】
【详解】
分析：⑴该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为、、，该游戏者有机会抛掷第3次骰子为事件．则；
(2)由题意可知，的可能取值为、、、、，分别求出，，，
，得到的分布列及数学期望．
详解：
⑴该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为、、，该游戏者有机会抛掷第3次骰子为事件．
则；
答：该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为
(2)由题意可知，的可能取值为、、、、，
， ，
，
，
，
所以的分布列为
所以的数学期望
点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．
15．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）先通过表格分别得出男女员工从不使用方式B的人数，进而求得答案；
（2）先算出男女员工经常使用方式A概率，进而分两名男员工和一名男员工经常使用方式A，最后求得答案.
(1)
该企业男员工从不使用方式的概率为，
该企业女员工从不使用方式的概率为.
(2)
该企业男员工经常使用方式A的概率为，该企业女员工经常使用方式A的概率为，两名男员工经常使用方式A，女员工不经常使用方式A的概率为，
有一名男员工经常使用方式A，一名女员工经常使用方式A的概率为，
所以人中恰有人经常使用方式A的概率为.
16．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设“一轮活动中，“明亮队”至少答对的1道题”，利用对立事件两人都没有答对可求解.
（2）设“两轮活动中小明答对了1道题”，“两轮活动中小亮答对了1道题”，，1，2，分别求出其概率，设“明亮队”在两轮活动中答对3道题”，则从而可得答案.
(1)
设 “一轮活动中小明答对一题”，
“一轮活动中小亮答对一题”，则，.
设“一轮活动中，“明亮队”至少答对的1道题”，
则，由于每轮答题中小明和小亮答对与否不影响，
所以A与B相互独立，从而与相互独立，
所以，
所以
(2)
设“两轮活动中小明答对了1道题”，“两轮活动中小亮答对了1道题”，，1，2.
由题意得，，
，
设“明亮队”在两轮活动中答对3道题”，
则.由于和相互独立，则与互斥，
所以.
所以，“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率为.
17．略
【解析】
【详解】
试题分析：（1）利用茎叶图中的数据以及平均数与方差的计算公式即可求解；（2）分别列出所有基本事件以及符合题意的基本事件的种数，利用古典概型即可求解.
试题解析：（1）当时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是，，，，
∴平均数，方差；
（2）记甲组四名同学分别为，，，，他们植树的棵数依次为，，，；乙组四名同学分别为，，，，他们植树的棵数依次为，，，，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有个，即，，，，，，，
，，，，，，，，，
用表示“选出的两名同学的植树总棵数为”这一事件，则中的结果有个，它们是，，，，故所示概率.
考点：1.茎叶图；2.平均数与方差的计算；3.古典概型．
18．（1），，，4人；（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件和频率分布直方图的性质列出方程，从而解得结果；
（2）依题意可得抽取的6人中，两科均为“优”的同学为3人，写出的可能值，求出对应的概率，进而可得分布列和数学期望.
【详解】
（1）由于，，．
解得，，，
数学成绩为“优”的人数：（人）
（2）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的同学为3人，
故的取值为0，1，2，3．
，
，．
则的分布列为
0 1 2 3
．
19．（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由分层抽样的性质得出重庆大学、西南大学、重庆医科大学、西南政法大学志愿者分别为15，20，10，5人，用减去2人都在同一所大学的概率，即可得出这2人分别来自不同大学的概率；
（2）得出的可能取值，并算出对应的概率，即可得出的分布列.
【详解】
解：（1）2019年中国国际智博会服务的志愿者中重庆医科大学的人数为人
则重庆大学、西南大学、重庆医科大学、西南政法大学志愿者分别为15，20，10，5人．
所以.
（2）的可能取值为：0，1，2，3
则分布列为：
0 1 2 3
P
【点睛】
本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率以及求超几何分布的分布列，属于中档题.
20．（1）；（2）最高定为125元．
【解析】
【分析】
（1）设选出的3种商品中至少有1种是家电为事件A，求得基本事件的总数，以及选出的3种商品中没有服装的选法的种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）得出随机变量的可能值为“0，n，3n”，求得摸到红球的概率，利用独立重复试验的概率计算公式求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得数学期望，结合期望，即可得到结论.
【详解】
（1）设选出的3种商品中至少有1种是家电为事件A，
从2种服装、3种家电、4种日用品中选出3种商品，一共有种不同的选法，
选出的3种商品中没有服装的选法有种，
所以选出的3种商品中至少有1种是服装的概率．
（2）设表示顾客参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能值为“0，n，3n”，
因为摸到红球的概率：，
所以，
，
所以随机变量的分布列为：
0 n 3n
P
元，
顾客在两次摸奖游戏中所获得的奖金总额的期望值，
由，解得，
所以奖金数额n最高定为125元，才能使促销方案对商场有利．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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