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人教A版（2019） 选修第三册 第七章 单元检测
一、单选题
1．若不等式对任意恒成立，则实数a取值范围为（ ）
A．（-2，2） B．[2，+∞） C．（） D．（，2]
2．已知随机变量服从正态分布，如果，则
A．0.3413 B．0.6826 C．0.1587 D．0.0794
3．设随机变量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量，的分布列如下表所示，其中．
1
1
若，则（ ）A． B．
C． D．
5．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是
A． B． C． D．
6．盒子中有4个球，其中3个白球，1个红球，现在从盒中随机无放回地取球，每次取出一个，直到取出红球为止．则取出3个球停止的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．从分别写有1，2，3的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，连续抽取4次，则恰好有3次抽到的卡片上的数字为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则下列说法正确的是（ ）
A．该产品能销售的概率为 B．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
C．若表示一箱产品中可以销售的件数，则； D．
三、双空题
9．一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个.若从中随机取球，每次只取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好取到两次白球”的概率为_________；若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为，则随机变量的期望为__________.
10．已知某随机变量的分布列如下:
1 -1
那么的数学期望__________．的方差___________.
四、解答题
11．为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取140名客户，对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的有90名客户.
（1）完成下面列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人数
合计
（2）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；
（3）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该社区中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少
附：
0010 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中.
12．甲、乙两位同学参加数学建模比赛.在备选的道题中，甲答对每道题的概率都是；乙能答对其中的道题.甲、乙两人都从备选的道题中随机抽出道题独立进行测试.规定至少答对题才能获奖.
（1）求甲同学在比赛中答对的题数的分布列和数学期望；
（2）求比赛中甲、乙两人至少有一人获奖的概率.
13．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击3次．
（1）求恰有2次击中目标的概率；
（2）现在对射手的3次射击进行计分：每击中目标1次得1分，未击中目标得0分；若仅有2次连续击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记为射手射击3次后的总得分，求的概率分布列与数学期望．
14．某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求该频率分布直方图中的值，并求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）；
（2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间和内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机选择2人作为“幸运客户”，求幸运客户中恰有1人来自区间的概率.
15．2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占，而男生有人表示对足球运动没有兴趣.
（1）完成列联表,并回答能否有的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女
合计
（2）若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取名学生,抽取次，记被抽取的名学生中对足球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.
附:
16．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“”和“”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“”和“”之一，其中出现“”的概率为，出现“”的概率为，若第次出现“”，则记；若第次出现“”，则记，记.
（1）若，求的分布列及数学期望；
（2）若，，求且（=1，2，3，4）的概率.
17．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．
为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：
年龄
受访人数 5 6 15 9 10 5
支持发展共享单车人数 4 5 12 9 7 3
（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；
年龄低于35岁 年龄不低于35岁 合计
支持
不支持
合计
（Ⅱ）若对年龄在，的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中．
18．在上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门学科中选择三门参加等级考试，受各因素影响，小李同学决定选择物理，并在生物和地理中至少选择一门.
（1）小李同学共有多少种不同的选科方案？
（2）若小吴同学已确定选择生物和地理，求小吴同学与小李同学选科方案相同的概率.
19．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后分成组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，第七组，得到如图所示的频率分布直方图（不完整）.
（1）求第四组的频率并补全频率分布直方图；
（2）现采取分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取名学生测量肺活量，求每组抽取的学生数.
20．为了整顿道路交通秩序，某地考虑对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通人中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：
处罚金额（单位：元） 5 10 15 20
会闯红灯的人数 50 40 20 0
若用表中数据所得频率代替概率.
（1）当处罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？
（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其它市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
运用分离常变量法、构造函数，结合对钩函数的单调性进行求解即可.
【详解】
因为，所以由，
设，因为函数在上单调递减，所以当时，
，因此要想不等式对任意恒成立，
只需，
故选：D.
2．A
【解析】
【详解】
依题意得：，．
故选A．
3．B
【解析】
【分析】
根据二项分布的概率公式先求的值，即可求的值.
【详解】
因为随机变量，
所以
整理得：，
解得：或（舍）
，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了二项分布的概率公式，属于基础题.
4．C
【解析】
由分布列分别求出，再根据选项中的不等关系求解.
【详解】
由分布列知，，
即，，即
所以，，
，
故选：
【点睛】
本题主要考查随机变量的分布列的期望与方差以及不等关系的比较，考查学生的信息处理能力和转化能力，尤其是对分布列的性质要熟记.
5．D
【解析】
【详解】
分析：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．
详解：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，
则P（C）=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9；
则目标是被甲击中的概率为P=.
故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 条件概率的公式: ，=.条件概率一般有“在已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.
6．B
【解析】
【分析】
由于每次只取一球，要取3次就停止，故计算每一次取球的概率，再由分步原理可得结果.
【详解】
由于是不放回地抽取，第3次结束，故前两次抽到白球，第3次抽到红球.
第1次抽到白球的概率，
第2次抽到白球的概率，
第3次抽到红球的概率.
所以直到取到红球为止，取出3个球停止的概率为.
故选：B.
7．D
【解析】
【分析】
每次抽到的卡片上的数字为奇数的概率为，根据次独立重复试验恰好发生次的概率即可得到结果.
【详解】
每次抽到的卡片上的数字为奇数的概率为，则恰好有3次抽到的卡片上的数字为奇数的概率为.
故选：D
8．ABD
【解析】
【分析】
根据题意先求出该产品能销售的概率，从而选项A可判断，由题意可得可判断选项B，根据独立重复事件的概率问题可判断C，D选项.
【详解】
选项A. 该产品能销售的概率为,故选项A正确;
选项B. 由A 可得每件产品能销售的概率为
一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则，故选项B正确;
选项C. 由题意，故选项C不正确;
选项D. 由题意，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售,
所以,故选项D正确.
故选：ABD.
9． 1
【解析】
【分析】
求出每一次取到白球的概率，再列式即可求出连续取球四次，恰好取到两次白球的概率；可得随机变量的可能取值为0，1，2，求出取2不同值的概率，即可求出数学期望.
【详解】
由题可得每一次取到白球的概率为，
连续取球四次，恰好取到两次白球的概率为，
随机变量的可能取值为0，1，2，
则，，，
.
故答案为：；1.
10．
【解析】
【详解】
分析：根据离散型随机变量分布列的性质求出，再根据数学期望和方差的公式求出答案.
详解：由离散型随机变量分布列的性质得，，解得，
的数学期望，
的方差
故答案为 .
点睛：本题考查离散型随机变量分布列的性质、数学期望和方差的计算方法，属于基础题.
11．（1）表格见解析，有；（2）分布列见解析，期望为；（3）.
【解析】
（1）根据题中数据，直接完善列联表，由公式计算，结合临界值表，即可判定结果；
（2）根据题意，得到的可能取值，分别求出对应的概率，即可得出分布列，进而可得出期望；
（3）先由题意，计算出从该运营系统中任选一名客户流失的概率，再由互斥事件的概率计算公式，即可得出结果.
【详解】
解：（1）由题意知对业务水平的满意的为120人，对服务水平的满意的为100人，得列联表：
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数 90 30 120
对业务水平不满意人数 10 10 20
合计 100 40 140
.
所以，有的把握认为业务水平与服务水平有关.
（2）的可能取值为0，1，2；
所以，，.
则的分布列如下，
0 1 2
.
（3）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为，
只对其中一项不满意的客户流失率为，
对两项都不满意的客户流失率为.
从该运营系统中任选一名客户流失的概率为，
在业务服务协议终止时，从社区中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为.
【点睛】
本题主要考查独立性检验，考查求离散型随机变量的分布列和期望，考查互斥事件的概率计算，属于跨章节综合题.
12．（1）分布列答案见解析，数学期望为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列以及的值；
（2）计算出甲、乙分别获奖的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
（1）由题意可知，
，，
，，
，
所以的分布列如下：
所以，；
（2）记“甲获奖”为事件，设乙答对的题数为，“乙获奖”为事件.
；
.
记“甲、乙至少有一人获奖”为事件，则为“甲、乙两人都未获奖”.
.
答：甲、乙至少有一人获奖的概率为.
13．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件，根据题中条件，即可得出结果；
（2）先由题意确定的可能取值，求出对应概率，进而可得出分布列，再由分布列求出期望即可.
【详解】
（1）记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件，
因为射手每次射击击中目标的概率是，
所以；
（2）由题意可得，的可能取值为，
；；
，，
；
所以的分布列如下：
因此，.
【点睛】
本题主要考查独立重复试验，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概率计算公式，以及分布列与期望的概念即可，属于常考题型.
14．（1），0.466万元；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题得，求得.
由频率分布直方图求平均数方法可得这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数
（2）先利用分层抽样得到分组区间中抽取2人，分组区间中抽取3人，再由古典概型用列举法得到样本空间得解
【详解】
（1）由题可知，
即，所以.
由频率分布直方图可得
因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元.
（2）记“幸运客户中恰有1人来自区间”为事件.
因为区间与频率之比为，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，故从分组区间中抽取2人，分别记为，从分组区间中抽取3人，分别记为，从这5个人中随机选择2人作为“幸运客户”，样本点表示“选出”（余类推），则样本空间为
.
所以.
答：（1）该频率分布直方图中的值为1.3，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元；（2）幸运客户中恰有1人来自区间的概率为.
15．（1）有；（2）.
【解析】
【详解】
分析：（1）根据已知数据完成2×2列联表，计算，判断有的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”.（2）先求得从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是，再利用二项分布求的分布列和数学期望.
详解：（1）根据已知数据得到如下列联表：
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女
合计
根据列联表中的数据，得到,
所以有的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”.
（2）由列联表中数据可知，对足球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，
即从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是，
有题意知
,
,
,
,
从而的分布列为
.
点睛：(1)本题主要考查独立性检验，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)若 ～则
16．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）可取，，，，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.
（2）根据题意考虑第一、三秒出现“”和第一、二秒出现“”，第三秒出现“”两种情况，计算得到答案.
【详解】
（1）由题意得可取，，，，
，，
，，
故的分布列如下：
.
（2）当时，即前八秒出现“”5次和“”3次，
又已知（=1，2，3，4），
若第一、三秒出现“”，则其余六秒可任意出现三次“”；
若第一、二秒出现“”，则第三秒出现“”，则后五秒可任出现“”三次，
故概率为：.
【点睛】
本题考查了分布列和数学期望，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
17．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）由题意可知a=30,b=10,c=5,d=5,代入：．（2）
年龄在的5个受访人中，有4人支持发展共享单车；年龄在的6个受访人中，有5人支持发展共享单车．随机变量的所有可能取值为2，3，4．所以，，.
试题解析：（Ⅰ）根据所给数据得到如下列联表：
年龄低于35岁 年龄不低于35岁 合计
支持 30 10 40
不支持 5 5 10
合计 35 15 50
根据列联表中的数据，得到的观测值为
．
∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．
（Ⅱ）由题意，年龄在的5个受访人中，有4人支持发展共享单车；年龄在的6个受访人中，有5人支持发展共享单车．
∴随机变量的所有可能取值为2，3，4．
∵，，，
∴随机变量的分布列为
2 3 4
∴随机变量的数学期望．
18．（1）小李同学共有7种不同的选科方案（2）
【解析】
【分析】
(1)运用排除法求解；
(2)列出两位同学相同的选科方案，求比值可求解.
【详解】
解：（1）在化学、生物、政治、历史、地理任意选两门的方法数为，
在化学、政治、历史任意选两门的方法数为，
，
因此，小李同学共有7种不同的选科方案；
（2）小吴同学有4种不同的选科方案，
小吴同学与小李同学两人选科的方案共有种，
其中两人选科相同的方案只有1种，
因此，小吴同学与小李同学选科方案相同的概率为.
【点睛】
本题考查有条件的组合问题，属于基础题.
19．（1）直方图见解析；（2）3,2,1.
【解析】
【详解】
分析：（1）根据频率和为1即可求出第四组的概率，从而即可得到答案；
（2）第三、四、五组的频率依次为，，，若采取分层抽样的方法，则需从第三、四、五组中按抽取，从而即可得到答案.
详解：（1）第四组的频率
.
频率分布直方图如图所示：
（2）第三、四、五组的频率依次为，，，
若采取分层抽样的方法，则需从第三、四、五组中按抽取，所以第三组应抽取人，第四组应抽取人，第五组应抽取人.
点睛：(1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.
(2)对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据．
20．(1)；(2).
【解析】
【分析】
（1）用频率近似概率计算可得行人闯红灯的概率会降低.
（2）由题意可知类市民和类市民各抽出两人，列出所有可能的事件，结合古典概型计算公式可得抽取4人中前两位均为类市民的概率是.
【详解】
（1）设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件，
则.
∴当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低.
（2）由题可知类市民和类市民各有40人，
故分别从类市民和类市民各抽出两人，
设从类市民抽出的两人分别为、，设从类市民抽出的两人分别为、.
设从“类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件，
则事件中首先抽出的事件有，，，，，，共6种.
同理首先抽出、、的事件也各有6种.
故事件共有种.
设从“抽取4人中前两位均为类市民”为事件，则事件有，，，.
∴.
∴抽取4人中前两位均为类市民的概率是.
【点睛】
本题主要考查频率与概率的应用，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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