资源简介

“直角三角形（第一课时）”教学设计
一、教材的地位与作用
“直角三角形（第一课时）”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版）·数学》八年级下册第一章第二节。本课是《直角三角形》(第1课时)的教学内容，是在学生学习和掌握了直角三角形相关知识的基础上，进步探讨直角三角形的性质定理以及判定定理。教学内容主要为勾股定理及其逆定理的证明方法，了解逆命题、互逆命题、逆定理的概念，让学生经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性，并通过具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。
本节通过观察、操作、推理、交流等数学活动进一步探索直角三角形的性质和判定。以直观认识为基础进行简单的说理,将直观与简单推理相结合，体现具体--抽象--具体的过程，培养学生学习数学的兴趣，提高他们应用所学知识解决问题的能力。
二、学情分析
在图形的学习中，学生已经历观察、画图、推理、合作等活动体验，具备了本节课所需的探索、交流和演绎推理能力。
本节课在学生已经认识了直角三角形的性质和判定方法的基础上，将进一步探索直角三角形的性质和判定的证明方法。让学生对命题的条件和结论经历观察、归纳出他们的共性，以得出互逆命题、逆命题的概念。并能解决一些简单的实际问题。同时注重培养学生寻找生活中蕴含数学知识的例子。在活动中引导学生主动参与、相互合作，让他们感受到数学的乐趣、魅力和成功的快乐。让学生参与知识的产生和发展教学过程，注重培养他们的自主学习的能力。
三、教学目标
1.知识与能力目标
（1）掌握直角三角形的性质定理及判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股定理逆定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.
（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.
2.过程与方法目标
（1）经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.
3.情感、态度、价值观目标
（1）积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
（2）在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
四、教学重点与难点
1.教学重点：探索勾股定理及其逆定理的证明方法；结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立．
2.教学难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．
五、教学关键
以学生为主体，通过学生自己的观察、讨论与探索，了解勾股定理与逆定理的证明方法，体会几何证明的必要性，发展学生严谨的演绎推理能力。
六、教学方法
以探索导学法为主，启发引导式等多种教法相互穿插、综合运用。
七、教具学具准备
课件、三角尺等
八、教学设计
（一）创设情境 激活思维
活动过程：让学生感受数学家大会的巨大魅力。
生活实例：2002年国际数学家大会在我国北京召开，大会会徽是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的,它是由四个全等的直角三角形围成。
同学们回忆一下，什么是直角三角形？我们曾经学直角三角形的性质有哪些？
直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
直角三角形的性质：
（1）直角三角形的两锐角互余．
（2）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
设计意图：在我国举办的世界数学家大会，利用了我国古代数学的伟大成就赵爽的“弦图”作为会徽，学生会因中国古代数学文明而感到骄傲和自豪，对数学学习产生极强的自信心，向往数学殿堂，使他们树立攀登数学高峰的远大理想；学生在观察会徽的时候，会发现其中的直角三角形，为探索勾股定理及其逆定理的证明过程做铺垫。
通过知识再现，为探究直角三角形的性质及判定的推理证明方法做准备。
（二）问题探究 思维生长
活动1：直角三角形的性质: 直角三角形的两个锐角为什么互余？
活动过程：教师引导学生独立完成推理证明的书面表达过程。
已知：如图(1) 所示，在中，.
求证：.
证明：在中，
.
又，
即：直角三角形的两个锐角互余.
设计意图：探究并能独立完成直角三角形在角上性质的证明。
活动2：直角三角形的判定:反之，如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
活动过程：教师鼓励学生认真思考，大胆猜想，独立进行证明，然后互相交流.
已知：如图（2）所示，在中，
求证：是直角三角形
证明：在中，
.
又，
∴ .
∴是直角三角形.
即：有两个角互余的三角形是直角三角形.
设计意图：探究并能独立完成直角三角形在角上判定的证明。
归纳：直角三角形的性质与判定
活动过程：教师引导学生概括出直角三角形在角上的性质及判定方法，并描述出他们的几何语言。
直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
几何语言： 几何语言：
在中， 在 ABC中，
∵， ∵
∴ . ∴是直角三角形.
设计意图：概括出直角三角形在角上的性质及判定方法，，并能熟练运用其几何语言
活动3：直角三角形的性质:在上学期，我们通过数方格和割补法得到了勾股定理，你能说一说勾股定理的内容吗？
活动过程1：教师引导学生结合课堂开始设计的“弦图”，回顾出勾股定理的内容及几何语言表达形式，并探索赵爽的证明方法。
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
在中
∵，
∴.
活动过程2：师生共同合作探索赵爽证明勾股定理的方法。
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。
赵爽创制的“勾股圆方图”如图：
大正方形的面积可以表示为,也可以用4个直角三角形和中间小正方形的面积之和表示为
∵
∴
设计意图：引导学生观察“弦图”中的直角三角形，再现勾股定理的内容并证明。增强师生探索勾股定理证法的合作能力。
活动4：直角三角形的判定: 反之：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形吗？
活动过程：先让学生提前预习认真思考，参与讨论；教师重点分析证法的构思，需要用到的数学原理、方法和表达过程。
已知：如图所示，在中，.
求证：是直角三角形
证明：如图 ,作,使
则（勾股定理）.
∵ ，
∴
∴.
∴(SSS).
∴ (全等三角形的对应角相等）.
因此，是直角三角形.
设计意图：让学生能够接受直角三角形在边上判定的证明方法和过程，即勾股定理的逆定理.
归纳：直角三角形的判定
活动过程：教师引导学生概括出直角三角形在边上的判定方法，并描述出他们的几何语言。
判定定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言：
在中
∵，
∴ 是直角三角形.
设计意图：概括出直角三角形在边上的判定方法，并能熟练运用其几何语言。
活动5：命题的互逆关系
活动过程：教师引导学生观察这几对命题的结论与条件之间的关系，相互交流，并归纳出它们的共性，已得到互逆命题、逆命题的概念；其中第一、二组为特殊的命题即定理，从而也可以得到互逆定理、逆定理的概念．
议一议：观察下面各组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
直角三角形的两个锐角互余．
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧．
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．
一个三角形中相等的边所对的角相等．
一个三角形中相等的角所对的边相等．
归纳：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
强调：互逆命题是一对命题的称呼，其中一个命题称原命题，另一个命题称原命题的逆命题．
想一想：逆命题一定是真命题吗？
你能写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？
鼓励学生回答：如果两个有理数的平方相等,那么这两个有理数相等. 原命题是真命题，它的逆命题是假命题.
学生尝试运用“互逆”，并能举“互逆定理”的例子．
归纳：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们把这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．你还能举一些互逆定理的例子吗？
设计意图：结合事例认识互逆命题、逆命题、互逆定理和逆定理的概念，会识别两个互逆命题，互逆定理，并能意识到一对互逆命题的真假性不一定一致。
（三）典型例题，巩固新知
活动1：基础巩固。教师引导学生自主完成两道例题。
例题1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假
（1）两直线平行，同旁内角互补：
逆命题： ，原命题是 命题，逆命题是 命题
（2）如果两个角是对顶角，那么它们相等
逆命题： ，原命题是 命题，逆命题是 命题
例题2.如图所示，在中，于点,.
（1）求CD、AD的长；
（2）判断的形状，并说明理由.
解：（1）在中，
由勾股定理可知：
∴ 同理可得：
(2)是直角三角形，理由如下：
由（1）可知：
在中，
∴
由勾股定理的逆定理可知：是直角三角形
设计意图：通过两道例题，让学生掌握逆命题的概念，熟练运用勾股定理以及逆定理。
（四）归纳小结，反思提高
活动过程：师生共同回忆本节课所学知识.，谈谈本节课最大的收获。
设计意图：巩固知识，增强学生梳理、分类和掌握零散知识的能力。
（五）分层作业，深化新知
1.必做题：
(1)一个三角形三边长为15、20、25，则最大边上的高为
(2)如图，以中的三边向外作正方形，其面积分别,则_____；
(3)如图，在四边形中,,为上的一点,且 .
(4)一个直角三角形房梁如图所示，其中，垂足分别为那么=_____；
2.选做题：
（1）在正方形ABCD中，如图所示，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC＝BC.求证：∠EFA＝90°．
（2）赵爽创制的“勾股圆方图”如图：请探究：
①勾,股满足什么关系时？中间的小正方形面积最小。
②当勾对应的锐角为30°时，此图最和谐美丽，请问此时大正方形的面积和中间小正方形的面积有何关系？
设计意图：作业分为必做题和选做题，体现分层教学的理念。
九、教学反思
在课堂教学中，创设的情境“弦图”很快把学生的积极性调动了起来。他们迫切于探究“弦图”中直角三角形的奥秘。在证明定理直角三角形的两个锐角互余，有两个角互余的三角形是直角三角形时，学生都能独立的主动完成。学生积极参与了我分析讲解的定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.他们较好的掌握了其中的证明中方法，演绎推理能力得到了较好的锻炼。他们观察了直角三角形的性质和判定定理的条件和结论，从中很快发现了其中的共性，并概括总结了互逆命题、互逆定理。我特意探索赵爽利用“弦图”证明勾股定理的方法，并在提升拓展中围绕“弦图”设置了一些问题，既有利于整堂课的前后呼应，又锻炼了不同的学生相应的数学能力。
教师的课堂教学应满足多层次的要求。但学生的情感是丰富而又特有的。我将继续注重与学生在课堂内外的情感互动，讲授有温度的数学课。(共20张PPT)
课题：直角三角形（1）
一、创设情景，激活思维
2002年国际数学家大会在我国北京召开，大会会徽是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的,它是由四个全等的直角三角形围成。
回忆：什么是直角三角形？直角三角形的性质有哪些？
直角三角形的两个锐角互余。
1.直角三角形的定义是什么？
有一个角是直角的三角形叫直角三角形。
2.我们探究过直角三角形的哪些性质？
直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
探究1：直角三角形的两锐角互余，为什么？
根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”。
二、问题探究，思维生长
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
小结：
（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
探究2：你能说出勾股定理的内容并证明吗？
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.
a
c
b
如何利用赵爽弦图来证明勾股定理呢？
∵ c2= +(b-a)2，
c2 =2ab+b2-2ab+a2，
c2 =a2+b2，
∴ a2+b2=c2.
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为　　　　 ．
c2
赵爽弦图的证明方法如下：
+(b-a)2
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
这个命题是真命题吗？为什么？
已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形．
分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写出证明过程吗？
A
B
C
探究3：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形吗？如何证明？
证明：作Rt△DEF,使∠E=90°,
DE=AC,FE=BC，
则DE2+EF2=DF2(勾股定理)．
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图),
∴AB2=DF2，
∴AB=DF，
∴△ABC≌△DFE（SSS）．
∴∠C=∠E=90°,
∴△ABC是直角三角形．
D
F
E
┏
A
B
C
归纳总结
定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
探究4：观察下面各组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件。
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎
一个三角形中相等的边所对的角相等
一个三角形中相等的角所对的边相等
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。
上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置。
归纳总结
思考：逆命题一定是真命题吗？
你能写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？
如果两个有理数的平方相等,那么这两个有理数相等。
原命题是真命题，它的逆命题是假命题。
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
【注意1】逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题。
【注意2】不是所有的定理都有逆定理。
知识归纳
三、典型例题，巩固新知
同旁内角互补，两直线平行
真
真
真
假
如果两个角相等，那么他们是对顶角
直角三角形
角的方面
边的方面
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
定理1：直角三角形的两个锐角互余；
定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
四、归纳小结，反思提高
互逆命题与互逆定理
互逆命题
互逆定理
一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理
概念
第一个命题的条件是第二个命题的结论；
第一个命题的结论是第二个命题的条件。
概念
谢谢大家的聆听！直角三角形（1）导学案
一、创设情境，激活思维
1.直角三角形的定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形。
2.直角三角形的性质：
（1）直角三角形两条直角边的 等于斜边的平方
（2）直角三角形的两个锐角 。
（3）如果直角三角形的一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 的一半。
问题探究 思维生长
[探究1]直角三角形的两个锐角为什么互余？
[探究2]如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
小结1：直角三角形的两个锐角 .有两个角互余的三角形是
[探究3]勾股定理： .
探索赵爽证明勾股定理的方法。
[探究4]如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形吗？如何证明？
小结2：
勾股定理：
直角三角形的判定：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 .
[探究5]命题的互逆关系
观察下面四组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
直角三角形的两个锐角互余．
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧．
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．
一个三角形中相等的边所对的角相等．
一个三角形中相等的角所对的边相等．
小结3：在两个命题中，如果一个命题的 和 分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 ，相对于逆命题来说，另一个就为原命题.
想一想：命题一定是真命题吗？
在第一组中，原命题是 命题，逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
在第二组中，原命题是 命题，逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
在第三组中，原命题是 命题，逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
在第四组中，原命题是 命题，逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
小结4：我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题 是真命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个 ，其中一个定理称为另一个定理的 .
三、典型例题，巩固新知
例题1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假
（1）两直线平行，同旁内角互补：
逆命题： ，原命题是 命题，逆命题是 命题
（2）如果如果两个角是对顶角，那么它们相等
逆命题： ，原命题是 命题，逆命题是 命题
例题2.如图所示，在中，于点,.
（1）求CD、AD的长；
（2）判断的形状，并说明理由.
四、归纳小结，反思提高
谈谈本节课最大的收获。
五、分层作业，深化新知
1.必做题：
(1)一个三角形三边长为15、20、25，则最大边上的高为
(2)如图，以中的三边向外作正方形，其面积分别,则_____；
(3)如图，在四边形中,,为上的一点,且 .
(4)一个直角三角形房梁如图所示，其中，垂足分别为那么=_____；
2.选做题：
（1）在正方形ABCD中，如图所示，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC＝BC.求证：∠EFA＝90°．
（2）赵爽创制的“勾股圆方图”如图：请探究：
①勾,股满足什么关系时？中间的小正方形面积最小。
②当勾对应的锐角为30°时，此图最和谐美丽，请问此时大正方形的面积和中间小正方形的面积有何关系？

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