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人教版 七年级数学下册
第5章 相交线与平行线
5.1.2 垂线
学习目标
1. 理解垂线的有关概念、性质及画法.
2. 知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用解决问题.
日常生活中，如下图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？
引入新课
活动：在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，
当b的位置变化时，a、b所成的角α也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
当角α为90度时，我们就称a与b互相垂直
新知探究
问题：如图，当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 等于多少度？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角和邻补角的性质，知当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
1. 垂线的定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
2. 垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”.
如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.
O
A
B
C
D
3. 交点O叫做垂足.
4. 垂直是相交的特殊情况.
一、垂线的概念
新课讲解
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
①判定：∵∠AOD=90°,（已知）
∴AB⊥CD.（垂直的定义）
垂线的符号语言
符号语言：
②性质：∵ AB⊥CD ，（已知）
∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
A
B
C
D
O
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么∠AOD=90°.
例1：(1)如图1，若直线m、n相交于点 O ，∠1＝90°， ；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD =______；
(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____，∠BOC的补角为 .
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
图1
图2
典例分析
问题:
(1)画已知直线 l 的垂线能画几条
(2)过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
(3)过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
A
.B
l
.
二、垂线的画法及基本事实
新知探究
问题：像这样画l的垂线可以画几条？
1.放
2.靠
3.画
l
O
如图，已知直线 l ，作 l 的垂线.
A
无数条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和 l 上的一点A ，作 l 的垂线.
问题：这样画l的垂线可以画几条？
一条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操作，你能得出什么结论
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
注意：
总结归纳
C
D
E
l
1. 线段AB, AC, AD , AE谁最短？
2. 你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
B
A
三、垂线段及点到直线的距离
新知探究
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.
简单说成：垂线段最短
线段 AD 的长度叫做点 A 到直线 l 的距离.
特别规定：
D
l
A
总结归纳
例2：在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
典例分析
1. 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( )
A. 有两个角相等 B.有两对角相等
C. 有三个角相等 D.有四对邻补角
C
2. 如图, AB⊥CD, ∠ACB=90° ，线段AC、BC、CD中最短的是 ( )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
当堂巩固
3. 过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
A B C D
C
5. 如图，已知直线AB、CD都经过O 点，OE为射线，若∠1＝35°, ∠2＝ 55°，则OE与AB的位置关系是 .
垂直
D
C
A
B
O
E
1
2
4. 下列说法正确的是（ ）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
B.线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
C.线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
D.线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
A
B
C
D
D
6. 已知：如图， AB⊥CD ,垂足为 O , EF 为过点 O 的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A. 相等 B. 互余
C. 互补 D. 互为对顶角
A
B
C
D
E
F
O
1
2
B
1.（2分）（2021 北京3/28）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
又∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
故选：A．
感受中考
2.（3分）（2020 河北1/26）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【解答】解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，
所以作已知直线m的垂线，可作无数条．
故选：D．
感受中考
3.（3分）（2020 吉林11/26）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．
他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 ．
垂线段最短
感受中考
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1. 垂线的定义
2. 垂线的画法
3. 垂线的性质
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
一、放；二、靠；三、移 ；四、画.
4. 点到直线的距离
(2)垂线段最短
课堂小结
A层作业：数学书第5页练习，第8页3、4题.
B层作业：数学书第8页第5、6 题.
布置作业

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