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专题29 双（多）星与天体追及相遇问题
常考点 双（多）星与天体追及相遇问题分析
【典例1】
如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星组成，质量分别是M、m（M＞m），他们围绕共同的圆心O
做匀速圆周运动。从地球A看过去，双星运动的平面与AO垂直，AO距离恒为L．观测发现质量较大的恒
星M做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为△θ（单位是弧度）。已知引力常量为G，△θ很小，可
认为sin△θ＝tan△θ＝△θ，忽略其他星体对双星系统的作用力。则（　　）
A．恒星m的角速度大小为
B．恒星m的轨道半径大小为
C．恒星m的线速度大小为
D．两颗恒星的质量m和M满足关系式＝
【解析】A、M的角速度：，①双星系统中，双星的周期与角速度都是相等的，所以m的角速度也是．故A错误；
B、设M与m的轨道半径分别为R与r，由几何关系可知，M的轨道半径：R＝L tan（）≈L ； ②
根据万有引力提供向心力可知：③
所以m的轨道半径大小为：r＝＝． ④故B正确；
C、恒星m的线速度大小为：v＝ωr＝．故C正确；
D、由③可得：，⑤
联立①②④⑤可得质量m和M满足关系式＝．故D正确。
【典例2】
当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。如
图所示为火星冲日年份示意图，下列说法正确的是（　　）
A．火星绕太阳公转线速度大于地球绕太阳公转线速度
B．火星绕太阳公转角速度大于地球绕太阳公转角速度
C．由于统计数据的不完整，两次火星冲日时间可能小于一年
D．相邻两次冲日时间不相等是因为地球、火星公转轨道不是标准圆轨道
【解析】AB、根据可得：，可知，火星绕太阳公转线速度小于地球绕太阳公转线速度，火星绕太阳公转角速度小于地球绕太阳公转角速度，故AB错误；
C、设地球绕太阳的公转周期为T，火星绕太阳的公转周期为T'，相邻两次火星冲日时间为t，则有：，解得：年，即两次火星冲日时间大于一年，故C错误；
D、相邻两次冲日时间不相等是因为地球、火星公转轨道不是标准圆轨道，故D正确。
一、双星模型
1、模型构建
在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。
2、模型特点
如图所示为质量分别是和的两颗相距较近的恒星。它们间的距离为.此双星问题的特点是：
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
(3)两星的运动周期、角速度相同。
(4)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即.
3、规律推导
设：两颗恒星的质量分别为和，做圆周运动的半径分别为、，角速度分别为、
。根据题意有
①
②
根据万有引力定律和牛顿定律，有
③
④
③/④得
⑤
②⑤联立得：
③④分别化简得
⑥
⑦
⑥⑦相加得又得
⑧
4.双星问题的两个结论
(1)运动半径：，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
(2)质量之和：两恒星的质量之和m1＋m2＝。
二．三星模型
(1)三颗质量均为m的星体位于同一直线上，两颗环绕星体围绕中央星体在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。其中一个环绕星由其余两颗星的引力提供向心力：＋＝ma。
(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。每颗星体运动所需向心力都由其余两颗星体对其万有引力的合力来提供。2×cos 30°＝ma，其中L＝2Rcos 30°。
三、四星模型
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
四、天体的追及相遇
1．相距最近：
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)．
2．相距最远：
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)．
【变式演练1】
（多选）宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。
在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如
图所示，若AO＞OB，则（　　）
A．星球A的质量一定大于B的质量
B．星球A的向心加速度一定大于B的向心加速度
C．A与B运动的角速度的大小相等
D．双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越小
【解析】A、根据万有引力提供向心力mAω2rA＝mBω2rB，因为rA＞rB，所以mA＜mB，即A的质量一定小于B的质量，故A错误；
B、双星系统角速度相等，根据a＝rω2，且AO＞OB，可知，A的向心加速度大于B的向心加速度，故B正确；
C、双星运动系统角速度相等，故C正确；
D、设两星体间距为L，中心到A的距离为rA，到B的距离为rB，根据万有引力提供向心力公式得：
L＝rA+rB
解得周期为：T＝
由此可知双星总质量一定时，距离越大，周期越大，故D错误。
【变式演练2】
宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。在浩瀚的
银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。
若AO＞OB，则（　　）
A．星球A的质量一定大于B的质量
B．星球A的线速度一定小于B的线速度
C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大
D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
【解析】A、双星系统A、B角速度相等，设它们之间的距离为L，A、B的质量分别是m1、m2，双星间的万有引力提供向心力＝m1ω2r1＝m2ω2r2，因为r1＞r2，所以m1＜m2，即A的质量一定小于B的质量，故A错误；
B、双星系统角速度相等，根据线速度与角速度的关系v＝ωr，r1＞r2，故星球A的线速度一定大于B的线速度，故B错误。
CD、双星系统的周期相等，设O点到A的距离为r1，到B的距离为r2，根据万有引力提供向心力公式得：＝＝，
解得：T＝，由此可知双星的距离一定，质量越大周期越小，故C错误；总质量一定，双星之间的距离就越大，转动周期越大，故D正确。
【变式演练3】
中国火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天发射场发射升空。如图所示，已知地球和火星到太
阳的距离分别为R和1.5R，若某火星探测器在地球轨道上的A点被发射出去，进入预定的椭圆轨道，通过
椭圆轨道到达远日点B进行变速被火星俘获。下列说法正确的是（　　）
A．探测器在椭圆轨道A点的速度等于地球的公转速度
B．探测器由A点大约经0.7年才能抵达火星附近的B点
C．地球和火星两次相距最近的时间间隔约为2.2年
D．探测器在椭圆轨道A点的加速度小于在B点的加速度
【解析】A、探测器在地球轨道上的A点被发射出去，探测器做离心运动，发动机做正功，速度增大，所以在椭圆轨道A点的速度大于地球的公转速度，故A错误。
B、因为地球的公转周期T1＝1年，设探测器在椭圆轨道运动的周期为T2，根据开普勒第三定律得：
解得：T2≈1.4年，故大约经过 t＝＝0.7年后抵达火星附近的 B 点。故B正确。
设火星公转周期为T3，根据开普勒第三定律得：
解得：T3＝1.84年
设经过t时间地球和火星两次相距最近，即地球比火星多转一圈，根据△θ＝ △t得：
代入数据解得：t＝2.2年，故C正确。
D、根据万有引力提供向心力得：
解得：a＝，可知探测器在椭圆轨道 A 点的加速度大于在 B 点的加速度，故D错误。
1．如图所示，地球和月球组成“地月双星系统”，两者绕共同的圆心C点（图中未画出）做周期相同的圆周运动。数学家拉格朗日发现，处在拉格朗日点（如图所示）的航天器在地球和月球引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心C点做周期相同的圆周运动，从而使地、月、航天器三者在太空的相对位置保持不变。不考虑航天器对地月双星系统的影响，不考虑其它天体对该系统的影响。已知：地球质量为M，月球质量为m，地球与月球球心距离为d。则下列说法正确的是（　　）
A．位于拉格朗日点的绕C点稳定运行的航天器，其向心加速度小于月球的向心加速度
B．地月双星系统的周期为T＝2π
C．圆心C点在地球和月球的连线上，距离地球和月球球心的距离之比等于地球和月球的质量之比
D．拉格朗日点距月球球心的距离x满足关系式G+G＝G（x+）
【解析】A、位于拉格朗日点的绕C点稳定运行的航天器的周期与地球的周期相同，根据可知，探测器的向心加速度大于月球的向心加速度，故A错误；
BC、对于地月双星系统，设地球的轨道半径为r1，月球的轨道半径为r2，据万有引力提供向心力，
对地球：
对月球：
因为d＝r1+r2
联立解得：
，即距离地球和月球球心的距离之比等于地球和月球的质量之比；
，故BC错误；
D、根据d＝r1+r2且有，月球距离圆心C点距离为
航天器在地球和月球引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心C点做周期相同的圆周运动，设航天器的质量为m0
则有
整理可得：，故D正确。
2．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，已知转动周期为T，轨道半径分别为RA、RB且RA＜RB，引力常量G已知，则下列说法正确的是（　　）
A．星球A所受的向心力大于星球B所受的向心力
B．星球A的向心加速度大于星球B的向心加速度
C．星球A和星球B的质量之和为
D．由已知条件可以分别算出星球A和星球B的质量
【解析】A、双星靠相互间的万有引力提供向心力，知向心力大小相等，故A错误；
B、双星的转动周期相等，且RA＜RB，根据可知，星球A的向心加速度一定小于星球B的向心加速度，故B错误；
CD、双星A、B之间万有引力提供向心力，有，其中，双星间距L＝RA+RB，
解得星球A和星球B的质量之和，
由mARA＝mBRB得：，
所以，
同理可得：，故C错误，D正确。
3．宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称为双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示，AO＞OB，则（　　）
A．星球A受到的引力一定大于星球B受到的引力
B．星球A的质量一定大于星球B的质量
C．星球A的角速度一定大于星球B的角速度
D．星球A的线速度一定大于星球B的线速度
【解析】A、星球A受到的引力与星球B受到的引力就是二者之间的万有引力，大小相等，故A错误；
BC、双星系统中两颗星的周期相等，角速度相等，根据万有引力提供向心力可得F万＝mAω2 OA＝mBω2 OB，因为AO＞OB，所以mA＜mB，即A的质量一定小于B的质量，故BC错误；
D、根据线速度与角速度关系v＝rω可知，半径大的线速度大，故星球A的线速度一定大于星球B的线速度，故D正确。
4．宇宙中的有些恒星可组成双星系统。系统内恒星之间的万有引力比其他恒星对它们的万有引力大得多，因此在研究双星的运动时，可以忽略其他星球对它们的作用。已知a和b构成一个双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，a和b的质量之比为2：1，下列判断正确的是（　　）
A．a、b运动的轨道半径之比为2：1
B．a、b的线速度之比为1：2
C．a、b的加速度之比为1：4
D．a、b所受的向心力大小之比为1：1
【解析】设a、b两星球之间的距离为L，a、b星球的质量分别为M1、M2，两星球到O点的钜离分别为r1、r2，有F向＝，解得，由公式v＝ωr可得，由公式a＝ω2r可知，故BD正确，AC错误。
5．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，m1的公转周期为T，引力常量为G，各自做圆周运动的轨道半径之比为r1：r2＝3：2，则可知（　　）
A．两天体的质量之比为m1：m2＝3：2
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2：3
C．两天体的总质量一定等于
D．m1、m2做圆周运动的向心力大小相等
【解析】B、双星是同轴转动模型，其角速度相等，故m1、m2做圆周运动的角速度之比为1：1，故B错误。
AC、根据万有引力提供向心力得：
对m1 ＝
对m2 ＝
其中 L＝r1+r2
解得：m1r1＝m2r2，m1+m2＝
故两天体的质量之比为：
＝＝ 故C正确，A错误。
D、双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律知，m1、m2做圆周运动的向心力大小相等，故D正确。
6．2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。在中子星合并前，只受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转，在浩瀚的银河系中，这样的双星系统很多。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，若AO＞OB，则（　　）
A．星球A的线速度一定大于B的线速度
B．星球A的质量一定大于B的质量
C．双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越小
D．双星之间的距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小
【解析】A、两星球同轴转动，做匀速圆周运动的角速度相等，根据v＝ωr 及AO＞OB可知，星球A的线速度一定大于星球B的线速度，故A正确。
BCD、设A的质量为m，B的质量为M，根据万有引力提供向心力得：
对A：＝mω2rA
对B：＝Mω2rB
且有 rA+rB＝L
联立解得：mrA＝MrB；ω＝； T＝＝
因为rA＞rB，故m＜M，即 星球A的质量一定小于B的质量，故B错误。
当两星球的总质量一定时，两星球之间的距离越大，其转动周期越大，故C错误。
当双星之间的距离一定时，双星的总质量越大，其转动周期越小。故D正确。
7．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的OA点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1：m2＝3：1，则可知（　　）
A．m1对m2的万有引力大于m2对m1的万有引力
B．m2做圆周运动的半径为
C．m1、m2做圆周运动的角速度之比为1：1
D．m1、m2做圆周运动的线速度之比为1：3
【解析】A、两星球间的万有引力是相互作用力，大小相等、方向相反，A错误；
B、设m1、m2，的轨道半径分别为r1、r2，
由引力作为向心力
可得：m1r1＝m2r2
又有r1+r2＝L
联立可得
，故B错误；
C、m1、m2做圆周运动的周期相同，由可知，角速度之比为1：1，故C正确；
D、由v＝ωr可得，m1、m2做圆周运动的线速度之比为1：3，故D正确。
8．如图甲所示，一对相互环绕旋转的超大质量不等的双黑洞系统A、B，如图乙所示是其示意图，A、B在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的O点做匀速圆周运动。若双黑洞A、B做圆周运动的线速度之比为l：n，则下列说法正确的是（　　）
A．双黑洞A、B做圆周运动的角速度之比为1：1
B．双黑洞A、B做圆周运动的向心力之比为n2：1
C．双黑洞A、B做圆周运动的半径之比为1：n
D．双黑洞A、B的质量之比为mA：mB＝n：l
【解析】A、双黑洞绕它们连线上某点做匀速圆周运动，它们在相等时间内转过的圆心角相等，它们做圆周运动的角速度相等，角速度之比为1：1，故A正确；
C、线速度v＝ωr，双黑的线速度之比vA：vB＝ωrA：ωrB＝rA：rB＝1：n，故C正确；
BD、AB之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，所以其做圆周运动的向心力相等，
设双黑洞的距离为L，由牛顿第二定律得：＝mAω2rA＝mBω2rB，
解得双黑洞的轨道半径之比mA：mB＝rB：rA＝n：1，故B错误，D正确。
9．太空中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上。并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示。设这三个星体的质量均为M，且两种系统的运动周期相同，则（　　）
A．直线三星系统运动的线速度大小为V＝
B．此三星系统的运动周期为T＝4πR
C．三角形三星系统的线速度大小为V＝
D．三角形三星系统中星体间的距离为L＝
【解析】AB、在第一种形式下：三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；
其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力。
解之得：v＝
T＝
故A错误、B正确。
CD、另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，
由万有引力定律和牛顿第二定律得：
由于两种系统的运动周期相同，即T＝
故解得：L＝。
所以＝，故C错误、D正确。
10．以两天体A、B中心连线为底的等边三角形的第三个顶点被称为“三角拉格朗日点”。如果在该点有一颗质量远小于A、B的卫星C，则三者可以组成一个稳定的三星系统，如图所示。由于C对A、B的影响很小，故A、B又可视作双星系统绕连线上某定点P（未画出）做匀速圆周运动。已知天体A、B、C的质量分布均匀，且分别为m1、m2、m3，已知m1＝2m2，两天体A、B中心间距为L，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．天体A做匀速圆周运动的轨道半径为
B．天体A、B所需要的向心力大小之比为2：1
C．卫星C所受合力恰好指向P点
D．卫星C的周期为2π
【解析】AB、双星系统属于同轴转动的模型，角速度相等，相互间的万有引力提供向心力，＝，故向心力大小相等，根据几何关系可知，r1+r2＝L，则天体A做匀速圆周运动的轨道半径为，故AB错误；
C、由平行四边形法则可知，C所受合力指向P点，故C正确；
D、卫星C所受的合力始终指向P点，则A、B、C三者周期相等，＝，联立解得周期，T＝2，故D正确。
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